版高考数学考点14利用导数解决综合问题试题解读与变式.docx
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版高考数学考点14利用导数解决综合问题试题解读与变式
考点十四:
利用导数解决综合问题
【考纲要求】
(1)了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
(3)会利用导数解决某些实际问题。
【命题规律】
导数综合问题是高考中的难点所在,题型变化较多,尤其是利用导数证明不等式等相关知识.
熟练掌握利用导数这一工具,将试题进行分解,逐一突破,灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等,分析问题解决问题,这也是2018年考试的热点问题.【典型高考试题变式】
(一)构造函数在导数问题中的应用
例1.【2015全国2卷(理)】设函数是奇函数()的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】试题分析:
考虑取特殊函数,是奇函数,且,,当时,>0,满足题设条件.直接研究函数,图象如下图,可知选B答案.
【方法技巧归纳】本题主要考查了函数的奇偶性、导数在研究函数的单调性中的应用和导数在研究函数的极值中的应用,考查学生综合知识能力,渗透着转化与化归的数学思想,属中档题.其解题的方法运用的是特值法,将抽象问题具体化,找出与已知条件符合的特殊函数,分析其函数的图像及其性质,进而得出所求的结果,其解题的关键是特值函数的正确选取.
【变式1】【改编例题条件,利用导数运算法则构造函数求最值】【2017河南郑州三质检】设函数满足,,则时,的最小值为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】对于等式,因为,故此等式可化为:
,且.令,..当时,,单调递增,故,因此当时,恒成立.因为,所以恒成立.因此,在上单调递增,的最小值为.故本题正确答案为D.
【变式2】【改编例题条件,利用导数运算法则构造函数求解不等式】【2017河南息县第一高级中学三质检】已知函数的定义域为,其图象关于点中心对称,其导函数,当时,,则不等式的解集为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题意设,则,当时,
,当时,,则在上递增,函数的定义域为,其图象关于点中心对称,函数的图象关于点中心对称,则函数是奇函数,令是上的偶函数,且在递增,由偶函数的性质得:
函数在上递减,不等式化为:
,即,解得,不等式解集是,故选C.
【变式3】【改编例题条件,利用函数单调性构造函数求解不等式】【2017江西省鹰潭市高三第一次模拟考试数学(理)】函数是定义在区间上的可导函数,其导函数为,且满足,则不等式的解集为()
A.B.
C.D.
【答案】D
【变式4】【改编例题条件,构造函数解决恒成立问题】【2018安徽蚌埠二中高三7月月考(文)】已知对任意实数,关于的不等式在上恒成立,则的最大整数值为()
A.0B.C.D.
【答案】B
【解析】令,依题意,对任意,当时,图象在直线下方,∴列表
得的大致图象
则当时,∵,∴当时不成立;
当时,设与相切于点.
则,解得.
∴,故成立,∴当时,.故选B.
(二)方程解(函数零点)的个数问题
例2.【2015全国1卷(理)】已知函数,.
(1)当为何值时,轴为曲线的切线;
(2)用表示中的最小值,设函数,讨论零点的个数.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)当或时,由一个零点;当或时,有两个零点;当时,有三个零点.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组,解出切点坐标与对应的值;(Ⅱ)根据对数函数的图像与性质将分为研究的零点个数,若零点不容易求解,则对再分类讨论.
试题解析:
(Ⅰ)设曲线与轴相切于点,则,,即,解得.
因此,当时,轴是曲线的切线.
(Ⅱ)当时,,从而,
∴在(1,+∞)无零点.
当=1时,若,则,,故=1是的零点;若,则,,故=1不是的零点.
当时,,所以只需考虑在(0,1)的零点个数.
(ⅰ)若或,则在(0,1)无零点,故在(0,1)单调,而,,所以当时,在(0,1)有一个零点;当0时,在(0,1)无零点.
(ⅱ)若,则在(0,)单调递减,在(,1)单调递增,故当=时,取的最小值,最小值为=.
①若>0,即<<0,在(0,1)无零点.
②若=0,即,则在(0,1)有唯一零点;
③若<0,即,由于,,所以当时,在(0,1)有两个零点;当时,在(0,1)有一个零点.…10分
综上,当或时,由一个零点;当或时,有两个零点;当时,有三个零点.
【方法技巧归纳】1.确定零点的个数问题:
可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂,可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.
2.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理.
3.与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨论其图象与轴的位置关系,进而确定参数的取值范围;或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.
【变式1】【改编例题的条件,依据函数零点个数求参数的取值】【2015江苏卷】已知函数.
(1)试讨论的单调性;
(2)若(实数c是a与无关的常数),当函数有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是,求c的值.
【答案】
(1)当时,在上单调递增;
当时,在,上单调递增,在上单调递减;
当时,在,上单调递增,在上单调递减.
(2)
【解析】
试题分析
(1)先求函数导数,根据导函数零点大小讨论函数单调性,注意需分三种情况讨论,不要忽略相等的情况
(2)首先转化条件:
函数有三个不同的零点,就是零在极大值与极小值之间,然后研究不等式以及解集情况,令,则当时且当时,因此确定,然后再利用函数因式分解验证满足题意
(2)由
(1)知,函数的两个极值为,,则函数有三个
零点等价于,从而或.
又,所以当时,或当时,.
设,因为函数有三个零点时,的取值范围恰好是
,则在上,且在上均恒成立,
从而,且,因此.
此时,,
因函数有三个零点,则有两个异于的不等实根,
所以,且,
解得.
综上.
【变式2】【改编例题的条件,依据函数零点个数证明不等式】【2015天津卷(理)】已知函数,其中.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:
对于任意的正实数,都有;
(Ⅲ)若关于的方程有两个正实根,求证:
【答案】(Ⅰ)当为奇数时,在,上单调递减,在内单调递增;当为偶数时,在上单调递增,在上单调递减.(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析.
【解析】(Ⅰ)由,可得,其中且,
下面分两种情况讨论:
(1)当为奇数时:
令,解得或,
当变化时,的变化情况如下表:
所以,在,上单调递减,在内单调递增.
(Ⅱ)证明:
设点的坐标为,则,,曲线在点处的切线方程为,即,令,即,则
由于在上单调递减,故在上单调递减,又因为,所以当时,,当时,,所以在内单调递增,在内单调递减,所以对任意的正实数都有,即对任意的正实数,都有.
(Ⅲ)证明:
不妨设,由(Ⅱ)知,设方程的根为,可得
,当时,在上单调递减,又由(Ⅱ)知可得.
类似的,设曲线在原点处的切线方程为,可得,当,
,即对任意,
设方程的根为,可得,因为在上单调递增,且,因此.
由此可得.
因为,所以,故,
所以.
【变式3】【改编例题的条件和结论,函数零点与充要条件综合】【2016北京卷(文)】设函数
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)设,若函数有三个不同零点,求c的取值范围;
(Ⅲ)求证:
是有三个不同零点的必要而不充分条件.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)见解析.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)求函数f(x)的导数,根据,求切线方程;
(Ⅱ)根据导函数判断函数f(x)的单调性,由函数有三个不同零点,求c的取值范围;
(Ⅲ)从两方面必要性和不充分性证明,根据函数的单调性判断零点个数.
试题解析:
(Ⅰ)由,得.
因为,,
所以曲线在点处的切线方程为.
(Ⅱ)当时,,
所以.
令,得,解得或.
与在区间上的情况如下:
所以,当且时,存在,,
,使得.
由的单调性知,当且仅当时,函数有三个不同零点.
综上所述,若函数有三个不同零点,则必有.
故是有三个不同零点的必要条件.
当,时,,只有两个不同零点,所以不是有三个不同零点的充分条件.
因此是有三个不同零点的必要而不充分条件.
(三)函数中的隐零点问题
例3.【2017全国1卷(理)】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求的取值范围.
【解析】
(1)由于,
故.
当时,,.从而恒成立.
在上单调递减.
当时,令,从而,得.
极小值
综上,当时,在上单调递减;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
(2)由
(1)知,
当时,在上单调减,故在上至多一个零点,不满足条件.
当时,.
令.
令,则.从而在上单调增,而.
当时,.当时.当时
若,则,故恒成立,从而无零点,不满足条件.
若,则,故仅有一个实根,不满足条件.
若,则,注意到..
故在上有一个实根,而又.
且
.故在上有一个实根.
又在上单调减,在单调增,故在上至多两个实根.
又在及上均至少有一个实数根,故在上恰有两个实根.
综上,.
【方法技巧归纳】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围,第一种方法是分离参数,构造不含参数的函数,研究其单调性、极值、最值,判断与其交点的个数,从而求出a的取值范围;第二种方法是直接对含参函数进行研究,研究其单调性、极值、最值,注意点是若有2个零点,且函数先减后增,则只需其最小值小于0,且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.
【变式1】【改编例题的条件,根据零点个数不同,确定参数取值范围】【2018山西孝义高三入学摸底考试】已知函数.
(1)讨论函数在区间上的单调性;
(2)已知函数,若,且函数在区间内有零点,求的取值范围.
【答案】
(1)见解析
(2)
试题解析:
解:
(1)由题得,所以.
当时,,所以在上单调递增;
当时,,所以在上单调递减;
当时,令,得,
所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.
综上所述,当时,在上单调递增;
当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增;
当时,所以在上单调递减.
(2),,
设为在区间内的一个零点,则由,可知在区间上不单调,则在区间内存在零点,同理,在区间内存在零点,所以在区间内至少有两个零点.
由
(1)知,当时,在上单调递增,故在内至多有一个零点,不合题意.
当时,在上单调递减,故在内至多有一个零点,不合题意,所以,
此时在区间上单调递减,在区间上单调递增.
因此,,,必有,.
由,得,.
又,,解得.
(4)极值点偏移问题
例4.【2016全国1卷(理)】已知函数有两个零点.
(Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)设x1,x2是的两个零点,证明:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)求导,根据导函数的符号来确定(主要要根据导函数零点来分类);(Ⅱ)借助(Ⅰ)的结论来证明,由单调性可知等价于,即.设,则.则当时,,而,故当时,.从而,故
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