初升高数学提高练习第二十一讲 分类与讨论极其重要.docx
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初升高数学提高练习第二十一讲分类与讨论极其重要
第二十一讲分类与讨论(极其重要)
分类在数学中是常见的,让我们先从一个简单的例子开始.
有四张卡片,它们上面各写有一个数字:
1,9,9,8.从中取出若干张按任意次序排列起来得到一个数,这样的数中有多少个是质数?
因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数,我们分别给予讨论.
任取一张卡片,只能得3个数:
1,8,9,其中没有质数;任取二张卡片,可得7个数:
18,19,81,89,91,98,99,其中19,89两个是质数;任取三张卡片,可得12个数:
189,198,819,891,918,981,199,919,991,899,989,998,其中199,919,991三个数是质数;取四张,所得的任一个四位数的数字和是27,因而是3的倍数,不是质数.综上所述,质数共有2+3=5个.
上面的解题方法称为分类讨论法.当我们要解决一个比较复杂的问题时,经常把所要讨论的对象分成若干类,然后逐类讨论,得出结论.
分类讨论法是一种很重要的数学方法.在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中.分类讨论一般分为三个步骤,首先确定分类对象,即对谁实施分类.第二是对对象实施分类,即分哪几类,这里要特别注意,每次分类要按照同一标准,并做到不重复、不遗漏,有些复杂的问题,还要逐级分类.最后对讨论的结果进行综合,得出结论.
例1求方程
x2-│2x-1│-4=0
的实根.
x2+2x-1-4=0,
x2-2x+1-4=0,
x1=3,x2=-1.
说明在去绝对值时,常常要分类讨论.
例2解方程x2-[x]=2,其中[x]是不超过x的最大整数.
解由[x]的定义,可得
x≥[x]=x2-2,
所以x2-x-2≤0,
解此不等式得
-1≤x≤2.
现把x的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解.
(1)当-1≤x≤0时,原方程为
x2-(-1)=2,
所以x=-1(因x=1不满足-1≤x<0).
(2)当0≤x<1时,原方程为
x2=2.
(3)当1≤x<2时,原方程为
x2-1=2,
所以
(4)当x=2时,满足原方程.
例3a是实数,解方程
x│x+1│+a=0.
分析方程中既含有绝对值,又含有参数a,若以平方化去绝对值的话,则引入了高次方程,把问题更加复杂化了.对这种问题,宜讨论x的取值范围来求解.
解
(1)当x<-1时,原方程变形为
x2+x-a=0.①
当△=1+4a≥0(且a=-x│1+x│>0),即a>0时,①的解为
(2)当x≥-1时,原方程为
x2+x+a=0.②
又x≥-1,即
综上所述,可得:
当a<0时,原方程的解为
例5已知三角形中两角之和为n,最大角比最小角大24°,求n的取值范围.
解设三角形的三个角度数分别是α,β,γ,且有α≥β≥γ.由题设α-γ=24.
(1)若β+γ=n,则α=180°-n,
γ=α-24°=156°-n,β=n-γ=2n-156°.
所以
156°-n≤2n-156°≤180°-n,
所以104°≤n≤112°.
(2)若α+γ=n,则β=180°-n,于是
所以
所以112°≤n≤128°.
(3)若α+β=n,则γ=180°-n,α=γ+24°=204°-n,β=n-α=2n-204°.于是
180°-n≤2n-204°≤204°-n,
所以128°≤n≤136°.
综上所述,n的取值范围是104°≤n≤136°.
例6证明:
若p是大于5的质数,则p2-1是24的倍数.
分析关于整数的问题,我们常把它分成奇数和偶数(即按模2分类)来讨论,有时也把整数按模3分成三类:
3k,3k+1,3k+2.一般地,可根据问题的需要,把整数按模n来分类.本题我们按模6来分类.
证把正整数按模6分类,可分成6类:
6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5.因p是大于5的质数,故p只能属于6k+1,6k+5这两类.
当p=6k+1时,
p2-1=36k2+12k=12k(3k+1).
因k,3k+1中必有一个偶数,此时24│p2-1.
当p=6k+5时,
p2-1=36k2+60k+24
=12k2+12k
=12k(k+1)≡0(mod24).
所以,P2-1是24的倍数.
例7证明
A=││x-y│+x+y-2z│+│x-y│+x+y+2z
=4max{x,y,z},
其中max{x,y,z}表示x,y,z这三个数中的最大者.
分析欲证的等式中含有三个绝对值符号,且其中一个在另一个内,要把绝对值去掉似乎较为困难,但等式的另一边对我们有所提示,如果x为x,y,z中的最大者,即证A=4x,依次再考虑y,z是它们中的最大值便可证得.
证
(1)当x≥y,x≥z时,
A=│x-y+x+y-2z│+x-y+x+y+2z
=2x-2z+2x+2z=4x.
(2)当y≥z,y≥x时,
A=│y-x+x+y-2z│+y-x+x+y+2z
=2y-2z+2y+2z=4y.
(3)当z≥x,z≥y时,因为
│x-y│+x+y=max{x,y}≤2z,
所以
A=2z-│x-y│-x-y+│x-y│+x+y+2z=4z.
从而A=4max{x,y,z}.
例8在1×3的矩形内不重叠地放两个与大矩形相似的小矩形,且每个小矩形的每条边相应地与大矩形的一条边平行,求两个小矩形周长和的最大值.
解两个小矩形的放置情况有如下几种:
(2)两个小矩形都“横放”,如图2-124及图2-125所示,这时两个小矩形的周长和的最大值是
2(a+3a)+2[1-a+3(1-a)]=8.
(3)两个小矩形一个“横放”,一个“竖放”,如图2-126,这时两个小矩形的周长和为
练习二十一
1.解不等式:
│x+1│+│x│<2.
2.解关于x的不等式:
a(ax-1)>x-1.
3.解方程:
││x-3│-2│=a.
4.解方程:
x2-2[x]-3=0.
6.设等腰三角形的一腰与底边分别是方程x2-bx+a=0的两根,当这样的三角形只有一个时,求a的取值范围.
7.x,y都是自然数,求证:
x2+y+1和y2+4x+3的值不能同时是完全平方.
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