高考经典物理模型弹簧类问题一.docx
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高考经典物理模型弹簧类问题一
弹簧类问题
(一)
——常见弹簧类问题分析
轻弹簧是一种理想化的物理模型,以轻质弹簧为载体,设置复杂的物理情景,考
查力的概念,物体的平衡,牛顿定律的应用及能的转化与守恒,是高考命题的重点,此
类命题几乎每年高考卷面均有所见
.应引起足够重视
.
弹簧类命题突破要点
1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力
.当题目中出现弹簧时,要注意
弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应
.在题目中一般应从弹簧的形变分析入
手,先确定弹簧原长位置,现长位置,找出形变量
x与物体空间位置变化的几何关系,
分析形变所对应的弹力大小、方向,以此来分析计算物体运动状态的可能变化.
2.因弹簧(尤其是软质弹簧)其形变发生改变过程需要一段时间,在瞬间内形变量可以认为不变.因此,在分析瞬时变化时,可以认为弹力大小不变,即弹簧的弹力不突
变.
3.在求弹簧的弹力做功时,因该变力为线性变化,可以先求平均力,再用功的
定义进行计算,也可据动能定理和功能关系:
能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹
力做功的特点:
W=-(
1
2
1
2
.弹性势能的
kx
-
kx
),弹力的功等于弹性势能增量的负值
k
2
2
2
1
公式p=1
kx
2
,高考不作定量要求,可作定性讨论
.因此,在求弹力的功或弹性势能的
E
2
改变时,一般以能量的转化与守恒的角度来求解.
下面就按平衡、动力学、能量、振动、应用类等中常见的弹簧问题进行分析。
一、与物体平衡相关的弹簧问题
1.(1999年,全国)如图示,两木块的质量分别为
m1和
m2,两轻质
弹簧的劲度系数分别为
k1和
k2,上面木块压在上面的弹簧上
(但不拴
接),整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块,直到它刚离
开上面弹簧.在这过程中下面木块移动的距离为()
A.m1g/k1B.m2g/k2C.m1g/k2D.m2g/k2
此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题.题中空间距离的变化,要通过
弹簧形变量的计算求出.注意缓慢上提,说明整个系统处于一动态平衡过程,直至m1
离开上面的弹簧.开始时,下面的弹簧被压缩,比原长短(m1+m2)g/k2,而ml刚离开上
面的弹簧,下面的弹簧仍被压缩,比原长短m2g/k2,因而m2移动△x=(m1+m2)·g/
k2-m2g/k2=mlg/k2.
此题若求ml移动的距离又当如何求解?
参考答案:
C
2.S1和S2表示劲度系数分别为k1,和k2两根轻质弹簧,k1>k2;A和B表示质量分别
为mA和mB的两个小物块,mA>mB,将弹簧与物块按图示方式悬挂起来.现要求两根弹簧的总长度最大则应使().
A.S1在上,A在上
B.S1在上,B在上
C.S2在上,A在上
D.S2在上,B在上
参考答案:
D
3.一根大弹簧内套一根小弹簧,大弹簧比小弹簧长0.2m,它们的一端固定,另一端
自由,如图所示,求这两根弹簧的劲度系数k1(大弹簧)和
k2(小弹簧)分别为多少?
(参考答案k1=100N/mk2=200N/m)
4.(2001年上海高考)如图所示,一质量为m的物体系于长度分别为L1、L2的两根细
线上,L1的一端悬挂在天花板上,与竖直方向夹角为θ,L2水平拉直,物体处于平衡状
态.现将L2线剪断,求剪断瞬时物体的加速度.
(1)下面是某同学对该题的一种解法:
解设L1线上拉力为Tl,L2线上拉力为T2,重力为mg,物体在三力作用下保持平衡
Tlcosθ=mg,Tlsinθ=T2,T2=mgtanθ,
剪断线的瞬间,T2突然消失,物体即在T2反方向获得加速度.
因为mgtanθ=ma,所以加速度a=gtanθ,方向在T2反方向.你认为这个结果正确吗?
清对该解法作出评价并说明理由.
解答:
错.因为L2被剪断的瞬间,L1上的张力大小发生了变化.此瞬间
T2=mgcosθ,a=gsinθ
(2)若将图中的细线Ll改为长度相同、质量不计的轻弹簧,其他条件不变,求解的步骤和结果与
(1)完全相同,即a=gtanθ,你认为这个结果正确吗?
请说明理由.
解答:
对,因为L2被剪断的瞬间,弹簧L1的长度未及发生变化,T1大小和方向
都不变.
二、与动力学相关的弹簧问题
5.如图所示,在重力场中,将一只轻质弹簧的上端悬挂在天花板上,
下端连接一个质量为M的木板,木板下面再挂一个质量为m的物体.当剪掉m后发现:
当木板的速率再次为零时,弹簧恰好能恢复到原长,(不
考虑剪断后m、M间的相互作用)则M与m之间的关系必定为()
A.M>mB.M=mC.M 参考答案: B 6.如图所示,轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板,在薄板上放重物,用手将重物向下压缩到一定程度后,突然将手撤去,则重物将被 弹簧弹射出去,则在弹射过程中(重物与弹簧脱离之前)重物的运动情况 是()参考答案: C A.一直加速运动B.匀加速运动 C.先加速运动后减速运动D.先减速运动后加速运动 [解析]物体的运动状态的改变取决于所受合外力.所以,对物体进行准确的受 力分析是解决此题的关键,物体在整个运动过程中受到重力和弹簧弹力的作用.刚放手 时,弹力大于重力,合力向上,物体向上加速运动,但随着物体上移,弹簧形变量变小, 弹力随之变小,合力减小,加速度减小;当弹力减至与重力相等的瞬间,合力为零,加 速度为零,此时物体的速度最大;此后,弹力继续减小,物体受到的合力向下,物体做 减速运动,当弹簧恢复原长时,二者分离. 7.如图所示,一轻质弹簧竖直放在水平地面上,小球A由弹簧正上方某高度自由落 下,与弹簧接触后,开始压缩弹簧,设此过程中弹簧始终服从胡克定律, 那么在小球压缩弹簧的过程中,以下说法中正确的是() 参考答案: C A.小球加速度方向始终向上B.小球加速度方向始终向下 C.小球加速度方向先向下后向上 D.小球加速度方向先向上后向下 (试分析小球在最低点的加速度与重力加速度的大小关系) 8.如图所示,一轻质弹簧一端系在墙上的O点,自由伸长到B点.今用一小物体m 把弹簧压缩到A点,然后释放,小物体能运动到C点静止,物体与水平地面间的动摩擦 因数恒定,试判断下列说法正确的是() A.物体从A到B速度越来越大,从B到C 速度越来越小 B.物体从A到B速度越来越小,从 B到C 加速度不变 C.物体从A到B先加速后减速,从 B一直减速运动 D.物体在B点受到的合外力为零 参考答案: C 9.如图所示,一轻质弹簧一端与墙相连,另一端与一物体接触,当弹簧在 O点位置 时弹簧没有形变,现用力将物体压缩至 A点,然后放手。 物体向右运动至 C点而静止, AC距离为L。 第二次将物体与弹簧相连,仍将它压缩至 A点,则第二次物体在停止运动 前经过的总路程s可能为: A.s=L B.s>L C.s D. 条件不足,无法判断 参考答案: AC (建议从能量的角度、物块运动的情况考虑) 10 两木块叠放在竖直轻弹簧上,如图所示,已知木块 、 B 质量分别为0.42 .A、B A kg和0.40kg ,弹簧的劲度系数k=100N/m,若在木块A上作用一个竖直向上的力 F, 使A由静止开始以 0.5m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动( g=10m/s 2). (1)使木块A竖直做匀加速运动的过程中,力F的最大值; (2)若木块由静止开始做匀加速运动,直到A、B分离的过 程中,弹簧的弹性势能减少了0.248J,求这一过程F对 木块做的功. 分析: 此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后,确定两物体分离的 临界点,即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力N=0时,恰好 分离. 解: 当F=0(即不加竖直向上F力时),设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x,有 kx=(mA+mB)g x=(mA+mB)g/k① 对A施加F力,分析A、B受力如图 对AF+N-mg=ma ② A A 对 Bkx ′- -B=B′ ③ Nmgma 可知,当 N≠0时,AB有共同加速度 a=a′,由②式知欲使A匀加速运动,随 N减 小F增大.当N=0时,F取得了最大值Fm, 即Fm=mA(g+a)=4.41N 又当N=0时,A、B开始分离,由③式知, 此时,弹簧压缩量kx′=mB(a+g) x′=mB(a+g)/k ④ AB共同速度 v2=2a(x-x′) ⑤ 由题知,此过程弹性势能减少了 WP=EP=0.248J 设F力功WF,对这一过程应用动能定理或功能原理 W+E-(m+m)g(x-x′)= 1 (m+m)v 2 ⑥ FPAB 2 AB 联立①④⑤⑥,且注意到 EP=0.248J F -2 J 可知,W=9.64 ×10 三、与能量相关的弹簧问题 11.( 全国.1997) 质量为 m的钢板与直立轻弹簧的上端连接, 弹簧下 端固定在地上 .平衡时弹簧的压缩量为 x0,如图所示 .一物块从钢板正上 方距离为 3x0的 A处自由落下,打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动, 但不粘连 .它们到达最低点后又向上运动 .已知物块质量为 m时,它们恰 能回到 O点.若物块质量为 2m,仍从 A处自由落下,则物块与钢板回到 O点时,还具有向上的速度 .求物块向上运动到达的最高点与 O点的距离 . 分析: 本题的解题关键是要求对物理过程做出仔细分析,且在每一过程中运用动量守恒定律,机械能守恒定律解决实际问题,本题的难点是对弹性势能的理解,并不要求 写出弹性势能的具体表达式,可用Ep表示,但要求理解弹性势能的大小与伸长有关, 弹簧伸长为零时,弹性势能为零,弹簧的伸长不变时,弹性势能不变.答案: 1 x0 2 12.如图所示,A、B、C三物块质量均为m,置于光滑水平台面上.B、C间夹有原已 完全压紧不能再压缩的弹簧,两物块用细绳相连,使弹簧不能伸展 .物块 A以初速度 v0 沿B、C连线方向向 B运动,相碰后, A与B、C粘合在一起,然后连接 B、C的细绳因受 扰动而突然断开,弹簧伸展,从而使 C与 A、B分离,脱离弹簧后 C的速度为 v0. (1)求弹簧所释放的势能 E. (2)若更换B、C间的弹簧,当物块A以初速v向B运动,物块C在脱离弹簧后的 速度为2v0,则弹簧所释放的势能E′是多少? (3)若情况 (2)中的弹簧与情况 (1)中的弹簧相同,为使物块C在脱离弹簧后的速度仍为2v0,A的初速度v应为多大? (1) 1 2 (2) 1 m(v-6v) 2 (3)4v mv 0 0 0 312 13..某宇航员在太空站内做丁如下实验: 选取两 个质量分别为mA=0.1kg、mB=0.20kg的小球A、B和一 根轻质短弹簧,弹簧的一端与小球A粘连,另一端与小球B接触而不粘连.现使小球A 和B之间夹着被压缩的轻质弹簧,处于锁定状态,一起以速度v0=0.10m/s做匀速直线运 动,如图所示.过一段时间,突然解除锁定(解除锁定没有机械能损失),两球仍沿原直 线运动.从弹簧与小球B刚刚分离开始计时,经时间t=3.0s两球之间的距离增加了 s=2.7m,求弹簧被锁定时的弹性势能E0? 取A、B为系统,由动量守恒得: (m A+mB)v0=mAvA+mBv ;VAt+VBt=s EP 1 mB)V0 2 1 2 1 2 (mA mAvB 2 mBvB 2 2 又A、B和弹簧构成系统,又动量守恒 解得: Ep0.0275J 14.如下图所示,一质量不计的轻质弹簧竖立在地面上,弹簧的 上端与盒子A连接在一起,下端固定在地面上.盒子内装一个光滑小 球,盒子内腔为正方体,一直径略小于此正方体边长的金属圆球B恰好能放在盒内,已 知弹簧的劲度系数为k=400N/m,A和B的质量均为2kg将A向上提高,使弹簧从自由长度伸长10cm后,从静止释放,不计阻力,A和B一起做竖直方向的简谐振动,g取10m/s2 已知弹簧处在弹性限度内,对于同一弹簧,其弹性势能只决定于其形变的大小.试求: (1)盒子A的振幅; (2)盒子A运动到最高点时,A对B的作用力方向; (3)小球B的最大速度 15.如图所示,一弹簧振子.物块质量为m,它与水平桌面动摩擦因数为μ,开始用 手按住物块,弹簧处于伸状态,然后放手,当弹簧回到原长时物块速度为v1,当弹簧再 次回到原长时物块速度为v2,求这两次为原长运动过程中弹簧的最大弹性势能. 16.如图,水平弹簧一端固定,另一端系一质量为m的小球,弹簧的劲度系数为k, 小球与水平面之间的摩擦系数为μ,当弹簧为原长时小球位于O点,开始时小球位于O 点右方的A点,O与A之间的距离为l0,从静止释放小球。 1.为使小球能通过O点,而且只能通过O点一次,试问μ值应在什么范围? 2.在上述条件下,小球在O点左方的停住点B点与O点的最大距离l1是多少? 分析1、小球开始时在A点静止,初始动能为零; 弹簧拉长lo,具有初始弹性势能 2 /2 释放后, kl0 小球在弹性力作用下向左运动,克服摩擦力作 功,总机械能减小.为使小球能通过O点,要求初始弹性势能应大于克服摩擦力 作的功μmgl 0,于是可得出μ值的上限.当小球越过 O点向左运动,又从左方最 远点B往回(即向右)运动时,为使小球不再越过 O点,要求初始弹性势能 2 kl0/2 小于克服摩擦力作的功 μmg(l0+2l1),其中l1是B点与O点的距离,于是可得出 μ值的下限 即满足1 的范围kl0 kl0 . 4mg 2mg 2.设B点为小球向左运动的最远点,且小球在B点能够停住,则小球克服力作的 功应等于弹性势能的减少.此外,小球在B点所受静摩擦力必须小于最大静摩擦 力,由此可得出停住点 B点与 O点之间的最大距离. l1 l0 . 3 17.图中,轻弹簧的一端固定,另一端与滑块 B相连,B静止在水平直导轨上, 弹簧 处在原长状态.另一质量与 B相同的滑块 A,从导轨上的 P点以某一初速度向 B滑行.当 A滑过距离 L1时,与 B相碰,碰撞时间极短,碰后 A、B紧贴在一起运动,但互不粘连.已 知最后 A恰好返回到出发点 P并停止.滑块 A和 B与导轨的滑动摩擦因数都为 μ,运动 过程中弹簧最大形变量为 L2,重力加速度为 g。 求 A从 P点出发时的初速度 v0. 四、振动类问题 18.如图所示,在光滑的水平面上有一弹簧振子,弹簧的劲度系数为k,开始时,振 子被拉到平衡位置O的右侧某处,此时拉力为F,然后轻轻释放振子,振子从初速度为 零的状态开始向左运动,经过时间t后到达平衡位置O处,此时振子的速度为v,则在 这过程中,振子的平均速度为 ( ) A.v/2 B.F/ (2kt) C.v D.F/ (kt) 19.在光滑水平面上有一弹簧振子,弹簧的劲度系数为k,振子质量为M,振动的量 大速度为v0.如图所示,当振子在最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放在其上, 则 (1)要保持物体和振子一起振动,二者间动摩擦因数至少 多大? (2)一起振动时,二者经过平衡位置的速度多大 ? 二者 的振幅又是多大? (已知弹簧弹形势能 2 E=kx,x为弹簧相对 P 原长伸长量) 五、应用型问题 20..惯性制导系统已广泛应用于弹道式导弹工程中, 这个系统的重要元件之一是加 速度计,加速度计的构造原理示意图如下图所示。 沿导弹长度方向安装的固定光滑杆上 套一质量为m的滑块,滑块两侧分别与劲度系数为K的弹簧相连,弹簧处于自然长度, 滑块位于中间,指针指示0刻度,试说明该装置是怎样测出物体的加速度的? [分析]当加速度计固定在待测物体上,具有一定 的加速度时,例如向右的加速度a,滑块将会相对于滑杆 向左滑动一定的距离x而相对静止,也具有相同的加速度 a,由牛顿第二定律可知: a∝F而F∝x,所以a∝x。 因 此在标尺相应地标出加速度的大小,而0点两侧就表示了加速度的方向,这样它就可以 测出物体的加速度了。 21.“加速度计”作为测定运动物体加速度的仪器,已被广泛地应用于飞机,潜艇、 航天器等装置的制导系统中,如图所示是“应变式加速度计”的原理图,支架 A、B固 定在待测系统上,滑块穿在 A、B间的水平光滑杆上,并用轻弹簧固定于支架 A上,随 着系统沿水平方向做变速运动,滑块相对于支架发生位移,滑块下增的滑动臂可在滑动 变阻器上相应地自由滑动,并通过电路转换为电信号从 1,2两接线柱输出. 巳知: 滑块质量为m,弹簧劲度系数为k,电源电动势为 E,内阻为r、滑动变阻器的电阻随长度均匀变化,其总电 阻R=4r,有效总长度L,当待测系统静止时,1、2两接线柱输出的电压U0=0.4E,取A到B的方向为正方向, (1)确定“加速度计”的测量范围. (2)设在1、2两接线柱间接入内阻很大的电压表,其读 数为 u,导出加速度的计算式。 (3)试在 1、2 两接线柱间接入内阻不计的电流表,其读数为 I,导出加速度的计算 式。 解: (1)当待测系统静上时, 1、2接线柱输出的电压 u0=E·R12/(R+r) 由已知条件 U0=0.4E 可推知, R12=2r,此时滑片 P位于变阻器中点,待测系统 沿水平方向做变速运动分为加速运动和减速运动两种情况,弹簧最大压缩与最大伸长时 刻,P点只能滑至变阻器的最左端和最右端,故有: a1=kL/2m,a2=-kL/2m 所以“加速度计”的测量范围为[-k·L/2m,·L/2m], (2)当1、2两接线柱接电压表时,设P由中点向左偏移x,则与电压表并联部分 的电阻R1=(L/2-x)·4r/L 由闭合电路欧姆定律得: I=E/(R+r) 故电压表的读数为: 1 U=I·R 根据牛顿第二定律得 : k·x=m·a 建立以上四式得: a=kL/2m-5kLU/ (4·E·m), (3)当1、2两接线柱接电流表时,滑线变阻器接在 1,2间的电阻被短路.设P 由中点向左偏x,变阻器接入电路的电阻为: R=(L/2+x) ·4r/L 2 由闭合电路欧姆定律得 : E=I(R2+r) 根据牛顿第二定律得 : k·x=m·a 联立上述三式得: a=k·L(E-3I·r)/(4I ·m·r)
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