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数学分析课程与数学素质培养的关系研究
摘要
本文通过对数学分析课程的教学研究,寻找其与数学素质培养的关系,一方面促进数学师范生学好本专业知识的基础,另一方面为培养数学师范生的数学意识、数学语言、数学技能、数学思维提供教学思路及策略,进而全面提高数学师范生的数学素质。
关键词:
数学分析;数学素质;培养
ResearchTheRelationOfStudents’MathematicalAttainmentsWithTheTeachingOfMathAnalysis
ABSTRACT
Inthisarticle,throughtheteachingresearchofmathematicalanalysiscourse,tofinditsrelationshipwiththemathematicsqualityeducation,ontheonehand,promotethefoundationoftheMathematicsteachers'professionalstudentslearntheprofessionalknowledge,ontheotherhand,tocultivatetheMathematicsteachers'professionalstudents'consciousnessofmathematicsinmathematics,mathematicallanguageandmathematicalskills,mathematicalthinkingteachingideasandstrategies,thusimprovingmathematicsstudents'mathematicsquality.
KeyWords:
mathanalysis;mathematicalattainments;nurture
目录
第一章前言1
第二章数学素质2
2.1我国数学教育现状2
2.2什么是素质教育3
2.3什么是数学素质4
2.4数学素质的教育意义5
第三章数学素质的培养6
3.1数学意识培养6
3.2数学语言的培养8
3.3数学技能培养9
3.4数学思维的培养12
第四章结论15
参考文献16
致谢17
第一章前言
近些年,我国教育发展很快,已经迈向素质教育的轨道,并将以提高国民整体素质为己任。
不少教育界的人士特别是中小学教师常常提出这样的问题:
现在升学压力这么大,怎么实施素质教育啊!
对于这个问题绝非三言两语就能回答得清楚的。
但是,必须承认一个事实:
多年以来众多的中小学校为了追求升学率,把智育放到了第一位,而德育,体育,美育则被视为可有可无;而在智育中,也是考什么就开什么课程,考什么内容就围绕这一内容反复训练,层层过关。
其结果是,党和国家的教育方针被抛诸脑后,青年学生的想象力和创造力被扼杀,被禁锢在狭窄的知识层面上,他们的身体,心理素质状况被忽视,他们的思想道德培养被漠然置之。
如果让此种应试教育任其发展泛滥,要提高国民整体素质,提高综合国力,使我们的国家在激烈竞争的国际环境中立于不败之地,就可能成为一句空话。
所以全面实施素质教育就显得尤为重要。
而实施素质教育的关键因素就是教师,要使国家教育有更加强劲发展,教师的个人素质就必须要更高。
作为一名数学与应用数学专业的本科生,即将走上数学教育工作岗位的我,不能不认真思考这样一个问题:
什么是数学素质?
简单地说所谓数学素质,就是数学知识与专业素养的双重体现,是人们运用数学观察和处理问题的意识。
具体地说,数学素质包括数学意识、数学语言、数学能力、及数学思维。
而数学分析是数学专业中一门极严密、系统和完善的基础课程。
给出了全新的数学知识和数学方法。
它以极限的方法研究函数,是常量数学向变量数学转变的学科。
通过数学分析的学习而培养的数学素质将会是一笔巨大的人生财富。
第二章数学素质
2.1我国数学教育现状
随着中国经济高速发展,物质文化得到极大丰富的同时,人们精神层次上存在的问题将制约着整个国家的整体发展。
而解决这一问题的最好方法就在于实施素质教育。
可是就中国教育本身而言,尚存在着许多问题与不足。
1.追求高分现象制约着孩子们自身的个性发展
家长、老师乃至几乎所有人的观念中,考高分,上名牌大学是他们理想中的成功。
在学前教育和基础教育阶段,少年儿童就在这种观念的影响下,迷失了自我。
从学前教育开始,就在家长的安排之下进修各种辅导班,家长乐此不疲,而孩子们却渐渐迷失了方向。
基础阶段的小学阶段,学生的课业尚不重,但是家长和老师仍然执迷不悔地催促着孩子们周而复始地参加各种才艺班,却不愿倾听孩子们真正的心声。
到了初中阶段,尽管国家一直在要求减负,学校的课后作业也在一年年减少,可是对高分的追求仍然驱使着家长利用孩子休息时间进行各种补课,而老师们也被各种利益透惑,私下要求学生们参加业余时间补课。
到了高中阶段,在面临生存的压力的同时,学生们也自然而然面临各种题海战术,以死记硬背的方式,花大量时间、精力反复做题,以期待考上众人心目中的名校来体现自己的成功。
到了大学阶段,由于学生们从小就被压抑着玩的欲望,花费过大量的时间学习,当考上大学以后,已经是自由的大学生们重新找回了自我,舍弃了让他们早已厌倦的学习。
忙着交男女朋友、逃课、沉溺于各种虚拟的电脑游戏比比皆是。
基础教育阶段已经严重透支了他们在高等教育的学习热情。
也让他们在这个追分的过程中迷失了自己,失去了前进的方向。
其实社会需要的人才是多种多样的,同时,人也是多种多样的。
我们无法在当今社会中找出一模一样的两个人,不管他们外貌有多相似,他们的内心肯定不相同。
其实发现自己有别于其他人的才能真正帮助自己打开成功之门。
2.学习目标太过功利
随着社会的发展,国人的价值观也在发生相应改变。
人们衡量一件事的价值,主要看它所带来的经济效益如何?
经济效大,它的价值就大;经济效小,它的价值就小。
高考不考的科目,学生没有兴趣,那是必然的,怎么宣传,都没用。
考高分,上大学,是为了得到一份能生存的工作,过好日子。
上完大学又苦读书,考研,读博。
许多人还是冲着好工作,高收入去的。
并不是真正对学习有兴趣才去学习的。
他们的学习目的具有很大的功利性,正是这种功利性使得他们失去了知识获取过程中的乐趣,并成为一种负担。
在这种功利主义催化下的学习能否帮助学生获得真正的成功显而易见。
z_______________________________________________________________________________________________________________________________z_______________________________________________________________________________________________________________________________
3.传统教学理念影响太深
受传统填鸭式教学的影响,还有许多老师不能明白教学的真正含义是什么。
对他们来说,当年自己老师教育自己的方式就是他们在目前教学中的最好方式。
仍然局限在“师者,传道授业解惑也”几千年传统教学思路上。
其实个人感觉,老师只是一个引导者,你的一切教学出发点应当以学生为主体。
他们适合在哪个方向发展,老师只能起引导作用,而真正走路的是学生自己,并不是老师牵着学生走。
只有这样,学生才能真正青出于蓝而胜于蓝。
信息时代的千变万化,也更加对教师的素质进行考验。
传统教师那种无所不知的时代已经结束,老师更需要清醒地认清自己的位置,不断学习,终身学习才能使自己能够当此重任。
而学生在中学阶段会产生自己的是非判定,对那种持固步自封的教师可谓是深恶痛绝。
欲要解决这些教育问题就必须要全面实施素质教育,而素质教育的实施不是一个简单的任务。
2.2什么是素质教育
教育虽然自从有了人类就开始存在,人类对教育的思考也经历了漫长的历史,教育的模式也在不断地进步。
如今我国所实施的素质教育就是一种对教育理念更深入地探索。
而什么是素质教育呢?
所谓“素质教育”,就是全面发展人的综合素质为主的一种教育活动。
这种教育包括两方面:
一是国民素质教育;二是专门人才素质教育。
如今的社会是高度发展的社会,知识在不断地更新。
要想自己不被时代所淘汰就必须不断的学习。
而人的不同年龄,素质教育的任务也不同。
人的素质与人的知识、能力一样,可以通过后天的学习与实践来培养、改造和提高,是非常具体而又实在的,有其规律可循。
素质教育与知识传授和能力培养教育是有区别的,但知识结构完整、能力结构优化,却是成为优秀人才的必备条件。
素质教育的实质就是在教学中,以知识传授和能力培养为主要载体,并在此基础上全面发展学生的综合素质。
换言之,要合理利用知识学习、能力培养和素质提高三者的关系,促进其协调发展,则是素质教育理念的重要核心思想。
就素质教育的实施是有无数个教师来完成的。
作为一名即将走上数学教育岗位的我不得不想这么一个问题,在我的课堂上如何实施素质教育?
我如何将数学素质教育与素质教育链接起来。
2.3什么是数学素质
数学作为一门客观抽象的自然科学,属于社会科学的范畴。
人的数学素质就是数学素养和专业素质的双重体现,大致涵义有以下四个表现特征。
1.数学意识。
即用数学的眼光去观察、处理各种问题,以形成量化意识和良好的数感,进而达到用科学的逻辑思维来看待世界,形成正确的价值观、人生观。
2.数学语言。
数学语言又可分为图像语言、文字语言和符号语言。
它们各有自己的优势,如果能够合理的应用,则数学语言的表达将更加方便。
它是数学的载体,使用通用、简捷、准确的数学语言可以促进社会的发展与进步。
3.数学技能。
数学的技能就是运用数学知识和数学方法的能力,它包括作图、计算、测绘等,运用数学知识去把生产、生活中的实际问题转化为数学模型,并予以解决,这是数学的发展与创新。
众所周知的微积分就是在求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大极小值等科学问题而发展起来的。
4.数学思维。
数学思维是人脑运用数学知识对数学对象间接概括的反映过程。
具体地说,数学思维是以数学知识为细胞,通过抽象、概括、归纳、推理等形式揭示数学对象的本质和内在联系的认识过程。
数学的思维内容、思维方法和个体发展水平,它们的相互作用就构成了数学思维能力。
而数学思维能力则是各种数学技能的核心。
由此可知,数学意识是数学素质的基本表象,数学技能是数学知识和方法的综合运用,数学思维与数学语言体现在数学学习和运用的过程之中。
时至今日,随着数学知识和技术逐渐发展,人们也越来越离不开数学,有成为日常生活和工作中需要的一种通用工具的趋势。
这是因为现代社会生活是高度信息化的,而信息的传播和发展离不开数学。
由此可见,未来人的数学素质将不可少。
2.4数学素质的教育意义
实施数学素质教育的意义不是要把每一个人都培养成数学家,它具有以下三个方面的教育意义。
1.数学素质教育可以优化人的智能结构
优化智能结构是素质教育中的主要任务之一。
学生通过数学知识的学习,了解现实世界,认识数学与现实世界的联系;通过参与数学实验及教学活动,学习并掌握科学研究的基本方法,强化数学意识。
而适当性的数学思维训练可以改善和提高学生的思维品质,成为创造性人才。
而这必将逐步提升为一种创新意识和创造能力。
2.数学素质教育可以健全人的心理素质
心理素质是适应环境,获得成功的必要条件,它在人的素质形成中起着调节作用。
对大自然的好奇心和对科学的兴趣是社会进步的重要原因,“为什么”的提出是社会进步的开始。
数学知识的学习过程中存在无数的问题,充满着神秘与奇趣,许多著名的数学问题激发了人们无尽的智慧与想象。
高度抽象的数学问题的解决经常伴随着困难,使学生遇到挫折和失败。
而随着问题的解决,学生必将收获无数,这也正是磨练意志,提高耐挫力的良好时机,在解决问题的过程中逐渐地培养出百折不挠的良好心理素质。
3.数学素质教育可以完善人的人格品质
学生在数学教育的过程中所形成的品质,会对其将来的工作和事业产生积极影响。
数学的精确、严格,使他们在工作中精益求精、减少含糊笼统;数学的抽象分析,使他们善于透过现象看本质,少走弯路;数学中精辟的论证和精练的表述养成,使他们的谈话干净利索、行文简明扼要;数学中严谨的推理素养,使他们养成独立思考而又公正客观的品格。
第三章数学素质的培养
3.1数学意识培养
数学意识是人们学习数学,应用数学的主观意图和动态趋向。
与具体的数学知识相比,数学意识尽管是无形的,但却是教育附加值最高的,正如马克斯·冯·劳厄所说的:
“教育无非是一切已经学过的东西都忘掉时所剩下的”。
培养学生的数学意识,就要求教师在数学分析课程中注意引导学生重视数学在生产、生活以及其它学科的应用。
许多实际问题表面看起来与数学无关,但若有一定的数学意识,则可化为数学问题。
例如利用导数知识去求解利益最大化的问题。
因此,在数学分析课堂上,教师要善于引导学生捕捉生活中与数学分析中有联系的内容,使学生会从实际问题出发,并运用课堂上所学的知识去解决问题。
在数学分析中,将要学习许多概念,有些概念都有一定的实际背景,有的甚至是从一些实际问题中概括抽象出来的。
对这些概念,学生应该学习这些概念的抽象过程,理解概念,并学会运用概念及相关知识去解决相应的问题,同时通过概念的形成过程,感受其中所蕴含的数学思想方法,培养数学意识。
举一个例子。
函数是《数学分析》研究的主要内容之一,中学时,我们曾经学过函数的概念,在数学分析课堂中又再一次给出函数的概念,只是为了让新生知道大学数学不是孤立存在的,它与中学数学有着紧密的联系,但同时又有着不同,它所研究的深度与广度是有区别的。
现在所学的就是将中学的数学知识进行延伸。
激发学生的求知欲望。
函数在现代生活中的运用也越来越广泛,如经济领域中的收益问题、物理学中力学问题等。
学习的目的是为了应用,当自己学了新知识后,不去运用,就容易忘记,失去学习的意义,也失去了很多学习的乐趣,也许当时的我们不会有太多的想法,认为学会了就可以了,学会了自然也就会应用,忽视了记忆的规律和现实与理论的区别,“书呆子”也就越来越多,当有一天我们自己走上讲台时也可能会如法炮制,后果将不堪设想。
所以教师在教学时要注意将概念与应用概念有机结合起来,尤其是将概念的教学融入到现实生活中,解决实际问题,并引导学生运用所学知识去解决实际问题,一方面让学生对概念有一个初步的认识,另一方面也能让学生更加主动的融入课堂的教学中,摆脱“填鸭式”的教学模式,激发学生的学习兴趣,锻炼学生对数学的应用意识。
例1.某种商品在最近100天内的价格
(单位:
元)与时间
(天数)的函数关系为
销售量
与时间t(天数)的函数关系为
求这种商品的销售额的最大值。
解:
当
时,日销售额
函数
在
上是增函数,在
当
时,y1取得最大值为
。
当
时,日销售额
当
时,y2取得最大值为
第12天日销售额最大,为768元
也许对于爱购物的女孩子而言,当她们学会用函数知识去管理自己的钱袋,如何用最少的钱买最多自己所需要的东西时,她们必将用购物的热情来投入繁琐的学习。
应用新知识解决现实生活中的问题不仅仅使得课堂更加的生动多彩,也是培养学生应用数学的意识,当学生们会用数学的眼光去观察、处理各种问题时,数学就不再只是数学家的数学,她将是大众的宠儿。
而数学意识的培养的任务就完成了一步。
3.2数学语言的培养
数学语言是数学特有的形态化和符号化。
它包括文字语言、图形语言和符号语言三种形式。
其中文字语言是数学逻辑化、科学化、规范化的日常语言形态,又通俗易懂之长和繁琐冗长之短;图形语言通常用图形,图表来表示,并以一定的文字进行说明,其特点是直观性强、形象生动、鲜明具体,但局限性大、精确度不高;符号语言是用固定的数学专用符号来表示的,其特点是简洁、抽象、精确、概括。
根据数学语言的特点和分类特征,数学分析教学应该注意以下策略的运用。
1.注意数学语言的语义转换训练
在数学分析教学中要加强三种数学语言及其自然语言之间的相互转换。
数学中每个符号所表示的是一个确定的数学概念,对学生来说这比较抽象。
所以,数学教师多应注意指导学生对学习数学语言的学习,帮助学生更好地理解、消化各种数学概念。
学习数学语言的目的是为了更好地运用数学知识解决问题,因此,进行数学语言的转换训练是很有必要的。
2.加强数学阅读指导
学生欲要丰富和完善自己的数学语言系统,只有进行大量阅读,使用标准数学语言,才能规范自己的数学语言,从而建立起良好的数学语言系统,提高数学语言的表达和交流能力。
为此,我们必须改变传统教学模式,重视学生阅读数学的能力,多为学生提供的说和读数学的机会。
3.在实践操作中强化数学语言
实践是检验真理的唯一标准,当我们在课堂上所学到的知识总归是运用到我们的实际生活中的。
这样不仅使学生切身感受到学以致用的思想,同时学生也将更加主动地融入数学课堂中去。
从而提高运用数学语言能力。
例2..计算一块材料(图3-1)的面积,
分析:
作图3-2
图3-1图3-2
如图3-2所示的阴影部分的面积就是所求材料的面积,抛物线方程为,直线方程为
解:
由于曲线y=x
+1和直线
相交于点
,所以:
,
在本题中,我们首先利用生活中常见的一个实际问题,这就容易引起学生的注意力。
同时将学以致用的思想灌输给学生,在学生解题的过程中必将进行数学语言之间的互译。
将材料模板转化为图形语言,之后又将图形语言转化为文字语言。
锻炼了学生的数学语言的互译能力,加强对数学语言的认识,提高学生对数学语言的应用能力。
3.3数学技能培养
数学的作图、计算、测绘是数学最基本的技能,而这些我们在小学和中学都有过这方面的训练及培养,这里将不再重点介绍。
大学生的主要数学技能是通过数学课程的学习,并解决日常生活、实际情景以及其它学科的问题,发展提炼数学模型、熟悉数学方法、注意数学应用的创造型数学能力。
本节将主要从两方面介绍在数学分析课程中如何培养学生的数学应用技能。
一、在过程中培养数学能力
在数学分析的教学中,要多让学生经历一些实际问题转变为数学问题的过程;经历提出问题、收集、整理、描述和分析数据的过程,做出决策和预测及自我评价的过程;经历运用数学知识描述现实世界的过程;经历观察、猜想、证明等活动过程,如此等等。
这样,就必须首先让学生在数学学习活动中去‘经历----过程’”。
在这些过程中,学生“以认知主体的身份亲自参加丰富多彩的活动,在情景交互的作用下,从学习组织内部的认知结构,建构自己对内容的理解”。
在这样的数学过程中,学生不仅能够获得知识,而且不断丰富数学活动经验,学会探索究。
因此,经历过程会给学生探索的体验、创新的尝试、实践的机会和发展的能力等。
总之,要重视学生学习过程和学习探究知识形成的方法。
在学习新知识时,学生利用旧知识和经验主动加以构建和完善,锻炼和提高数学能力。
例3.跳水运动员沿铅直方向入水,水面瞬间时速率为
.入水后,运动员所受地球引力和水的浮力相抵消,其仅受水的阻力而减速.加速度,为正常数去水面为坐标原点,向下为
轴正向,运动员入水时开始计时。
求入水后运动员的下沉速度和位移随时间变化的规律。
解:
因为
分离变量得
积分得
由题知
时,
所以
代入,并整理得
再由
将v的表示式代入,并取积分
因
时,
.故
于是
当我们求得这些式子后,在看跳水节目时就能用到这些知识,原来在这些精彩节目的背后也有着丰富的数学的知识,生活无处不存在数学知识,正所谓处处留意皆学问。
激发学生学习兴趣,培养学生数学意识,提高学生应用数学知识和数学方法的能力,拓宽数学思维。
二、在思想方法中培养数学能力
数学思想方法就是对数学知识内容和所用方法的本质认识,一旦学生掌握一定的数学思想方法就能触类旁通,这将对学生的数学认知结构的完善与发展有着促进作用。
因而,学习基本数学思想方法是发展数学技能的基础。
问题是数学的心脏,在运用数学知识解决实际问题的过程中,让学生体会提出问题和解决问题的数学建模思想方法,感受符号化思想方法等。
得出答案时要对答案进行必要的论证,掌握用分析、综合法进行证明的方法,理解证明的基本过程,初步感受公理化思想方法。
在“实践与综合应用”中,强调通过综合实践活动,促进学生进行自主探索、合作交流,用所学知识解决问题,领悟其中的思想方法,发展和提高数学能力。
例4.莱布尼茨公式的推到:
若
都存在
阶导数,求
的
阶导数。
首先,观察
的情形
(1)
(2)
比较一下
(1)与
(2)不难发现它们的相同点,系数是相同的且结构也很相似如果把
看成是它们的零阶导数,则相似更为和谐。
可以引导学生对
进行猜想,当然这只是猜想,欲要是自己的猜想成立则必须进行证明。
用数学归纳法,可得
对于这个公式如果我们仅仅只是即就题论题,不经过观察就着手进行证明,那么学生就失去一次在过程中培养数学思维及技能的机会,领略不到类比、联想和归纳猜想的方法,学生所学到的仅仅只是一个公式而已,教学结果却未必尽如人意,所以教师在教学中要引导学生对定理进行证明。
数学分析与天文学、物理学、几何学等领域的联系是很紧密的,教学中教师要多讲讲数学分析的历史及研究成果,使学生认识到数学课堂不是虚的,它来源于实践,并在实践中加强人的分析问题、归纳解决实际问题的能力,摆脱填鸭式的教学模式,避免在追求高分过程中,失去原有的乐趣。
3.4数学思维的培养
数学思维是人们从事数学活动时的认识过程和学习过程,是数学素质的核心。
数学思维是以逻辑思维为主,并辅以形象思维和直觉思维。
所以培养数学思维主要是培养学生的逻辑思维,而概括是逻辑思维的基础。
学习和研究数学,能否获得正确的抽象结论,完全取决于概括的过程和概括的水平。
数学的概括是一个从具体到抽象、初级到高级的发展过程,概括是有层次的、逐步深入的。
随着概括水平的提高,学生的思维从具体形象思维向抽象逻辑思维发展。
数学教学中,教师应根据学生思维发展水平和概念的发展过程,及时向学生提出高一级的概括任务,以逐步发展学生的概括能力。
在教材中,引入定积分的概念时,大都是先给出计算曲边梯形面积和物体做变速运动时所走的路程这两个实例,然后通过对这两个实例进行抽象概括,再给出定积分的定义。
在教学中教师应对这两个实例作较为详细的分析,让学生再一次去感受“以直代曲”、“以均代匀”的极限思想,领略用极限的思想方法解决问题的过程,同时通过对两实例的抽象概括、对比,让学生了解定积分概念的来龙去脉。
教学时,可以分别用下面的图表进行归纳,让学生对实例解决问题的过程一目了然。
问题
求曲边梯形的面积
求物体作变速运动式的路程
已有知识
求直边梯形的面积
求物体作匀速运动时的路程
主要矛盾
曲与直
非匀与匀
矛盾双方联系
很小时,可以直代曲
很小时,可以匀代均
转化条件
结论
通过对上述两个实例的比较、分析,再要求学生慨括定积分的概念,这样一方面让学生看到概念的来龙去脉,感受到定积分概念中蕴含的数学思维,另一方面也能使学生对定积分的概念有深刻的认识和理解,强化数学技能,优化数学思维。
对于微积分中对于无穷大与无界、极大(小)值与最大(小)值以及可
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