备战中考初中数学一轮复习考点精准导练测40讲第02讲整式及其运算讲练版.docx
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备战中考初中数学一轮复习考点精准导练测40讲第02讲整式及其运算讲练版
备战2019年中考初中数学一轮复习考点精准导练测40讲
第02讲整式及其运算
【考题导向】
1.整式的相关概念和化简求值,乘法公式的灵活运用是考查的基本内容.
2.用整式(代数式)表示数量关系,以及探求、归纳与整式有关的一般规律用以解决实际问题.
3.主要的思想方法:
类比的思想、转化的思想以及整体代换的方法.
【考点精练】
考点1:
与整式相关的概念
【典例】(2018包头)(3.00分)如果2xa+1y与x2yb﹣1是同类项,那么
的值是( )
A.
B.
C.1D.3
【同步练】(2018湖北荆州)(3.00分)下列代数式中,整式为( )
A.x+1B.
C.
D.
考点2:
求代数式的值
【典例】(2018包头)(3.00分)若a﹣3b=2,3a﹣b=6,则b﹣a的值为 .
【同步练】.(2018贵阳)(3.00分)当x=﹣1时,代数式3x+1的值是( )
A.﹣1B.﹣2C.4D.﹣4
考点3:
关于整式的规律探索
【典例】(2018湖北荆州)(3.00分)如图所示,是一个运算程序示意图.若第一次输入k的值为125,则第2018次输出的结果是 .
【同步练】(2018•云南)按一定规律排列的单项式:
a,﹣a2,a3,﹣a4,a5,﹣a6,……,第n个单项式是( )
A.anB.﹣anC.(﹣1)n+1anD.(﹣1)nan
考点4:
整式的加减
【典例】(2018•河北)嘉淇准备完成题目:
发现系数“
”印刷不清楚.
(1)他把“
”猜成3,请你化简:
(3x2+6x+8)﹣(6x+5x2+2);
(2)他妈妈说:
“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是常数.”通过计算说明原题中“
”是几?
【同步练】(2018•衢州)有一张边长为a厘米的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加b厘米,木工师傅设计了如图所示的三种方案:
小明发现这三种方案都能验证公式:
a2+2ab+b2=(a+b)2,
对于方案一,小明是这样验证的:
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
请你根据方案二、方案三,写出公式的验证过程.
方案二:
方案三:
考点5:
整式的乘除运算
【典例】化简:
(a+3)(a﹣2)﹣a(a﹣1).
【同步练】(2018•淄博)先化简,再求值:
a(a+2b)﹣(a+1)2+2a,其中
.
考点6:
因式分解
【典例】(2018辽宁抚顺))分解因式:
xy2﹣4x= .
【同步练】(2018哈尔滨)(3.00分)把多项式x3﹣25x分解因式的结果是
考点7:
关于整式的综合考查
【典例】(2018贵阳)(8.00分)如图,将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形,拿掉边长为n的小正方形纸板后,将剩下的三块拼成新的矩形.
(1)用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长;
(2)m=7,n=4,求拼成矩形的面积.
【同步练】(2018吉林)(5.00分)某同学化简a(a+2b)﹣(a+b)(a﹣b)出现了错误,解答过程如下:
原式=a2+2ab﹣(a2﹣b2)(第一步)
=a2+2ab﹣a2﹣b2(第二步)
=2ab﹣b2(第三步)
(1)该同学解答过程从第 步开始出错,错误原因是 ;
(2)写出此题正确的解答过程.
【真题演练】
1.(2018•湘西州)下列运算中,正确的是( )
A.a2•a3=a5B.2a﹣a=2C.(a+b)2=a2+b2D.2a+3b=5ab
2.(2018•温州)计算a6•a2的结果是( )
A.a3B.a4C.a8D.a12
3.(2018•眉山)下列计算正确的是( )
A.(x+y)2=x2+y2B.(﹣
xy2)3=﹣
x3y6
C.x6÷x3=x2D.
=2
4.(2018•绍兴)下面是一位同学做的四道题:
①(a+b)2=a2+b2,②(﹣2a2)2=﹣4a4,③a5÷a3=a2,④a3•a4=a12.其中做对的一道题的序号是( )
A.①B.②C.③D.④
5.(2018•河北)图中的手机截屏内容是某同学完成的作业,他做对的题数是( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
6.(2018•宁波)在矩形ABCD内,将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1,图2两种方式放置(图1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠),矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1中阴影部分的面积为S1,图2中阴影部分的面积为S2.当AD﹣AB=2时,S2﹣S1的值为( )
A.2aB.2bC.2a﹣2bD.﹣2b
7.(2018•玉林)已知ab=a+b+1,则(a﹣1)(b﹣1)= .
8.(2018•金华)化简(x﹣1)(x+1)的结果是 .
9.(2018广西桂林)因式分解:
x2﹣4= .
10.(2018•宜昌)先化简,再求值:
x(x+1)+(2+x)(2﹣x),其中x=
﹣4.
11.(2018•邵阳)先化简,再求值:
(a﹣2b)(a+2b)﹣(a﹣2b)2+8b2,其中a=﹣2,b=
.
【拓展研究】
(2018•自贡)阅读以下材料:
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr,1550﹣1617年),纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr,1707﹣1783年)才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义:
一般地,若ax=N(a>0,a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作:
x=logaN.比如指数式24=16可以转化为4=log216,对数式2=log525可以转化为52=25.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:
loga(M•N)=logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0);理由如下:
设logaM=m,logaN=n,则M=am,N=an
∴M•N=am•an=am+n,由对数的定义得m+n=loga(M•N)
又∵m+n=logaM+logaN
∴loga(M•N)=logaM+logaN
解决以下问题:
(1)将指数43=64转化为对数式 3=log464 ;
(2)证明loga
=logaM﹣logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0)
(3)拓展运用:
计算log32+log36﹣log34= 1 .
第02讲整式及其运算(解析版)
【考题导向】
1.整式的相关概念和化简求值,乘法公式的灵活运用是考查的基本内容.
2.用整式(代数式)表示数量关系,以及探求、归纳与整式有关的一般规律用以解决实际问题.
3.主要的思想方法:
类比的思想、转化的思想以及整体代换的方法.
【考点精练】
考点1:
与整式相关的概念
【典例】(2018包头)(3.00分)如果2xa+1y与x2yb﹣1是同类项,那么
的值是( )
A.
B.
C.1D.3
【分析】根据同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,可得出a、b的值,然后代入求值.
解析:
∵2xa+1y与x2yb﹣1是同类项,∴a+1=2,b﹣1=1,
解得a=1,b=2.∴
=
.故选:
A.
【同步练】(2018湖北荆州)(3.00分)下列代数式中,整式为( )
A.x+1B.
C.
D.
解:
A、x+1是整式,故此选项正确;
B、
,是分式,故此选项错误;
C、
是二次根式,故此选项错误;
D、
,是分式,故此选项错误;故选:
A.
【点评】此类题考查了同类项、整式的知识,属于基础题,掌握同类项所含字母相同,并且相同字母的指数也相同及其整式的概念是解答本题的关键.
考点2:
求代数式的值
【典例】(2018包头)(3.00分)若a﹣3b=2,3a﹣b=6,则b﹣a的值为 ﹣2 .
【分析】将两方程相加可得4a﹣4b=8,再两边都除以2得出a﹣b的值,继而由相反数定义或等式的性质即可得出答案.
解析:
由题意知
,
①+②,得:
4a﹣4b=8,
则a﹣b=2,∴b﹣a=﹣2,
故答案为:
﹣2.
【同步练】.(2018贵阳)(3.00分)当x=﹣1时,代数式3x+1的值是( )
A.﹣1B.﹣2C.4D.﹣4
解:
把x=﹣1代入3x+1=﹣3+1=﹣2,
故选:
B.
【点评】此题考查了代数式求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
考点3:
关于整式的规律探索
【典例】(2018湖北荆州)(3.00分)如图所示,是一个运算程序示意图.若第一次输入k的值为125,则第2018次输出的结果是 5 .
【分析】根据运算程序可找出前几次输出的结果,根据输出结果的变化找出变化规律“第2n次输出的结果是5,第2n+1次输出的结果是1(n为正整数)”,依此规律即可得出结论.
解析:
∵第1次输出的结果是25,第2次输出的结果是5,第3次输出的结果是1,第4次输出的结果是5,第5次输出的结果是5,…,
∴第2n次输出的结果是5,第2n+1次输出的结果是1(n为正整数),
∴第2018次输出的结果是5.
故答案为:
5.
【同步练】(2018•云南)按一定规律排列的单项式:
a,﹣a2,a3,﹣a4,a5,﹣a6,……,第n个单项式是( )
A.anB.﹣anC.(﹣1)n+1anD.(﹣1)nan
解:
a,﹣a2,a3,﹣a4,a5,﹣a6,……,(﹣1)n+1•an.
故选:
C.
【点评】本题考查了代数式求值以及规律型中数字的变化类,根据输出结果的变化找出变化规律是解题的关键.
考点4:
整式的加减
【典例】(2018•河北)嘉淇准备完成题目:
发现系数“
”印刷不清楚.
(1)他把“
”猜成3,请你化简:
(3x2+6x+8)﹣(6x+5x2+2);
(2)他妈妈说:
“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是常数.”通过计算说明原题中“
”是几?
【分析】
(1)原式去括号、合并同类项即可得;
(2)设“
”是a,将a看做常数,去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0,据此得出a的值.
解析:
(1)(3x2+6x+8)﹣(6x+5x2+2)
=3x2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2=﹣2x2+6;
(2)设“
”是a,
则原式=(ax2+6x+8)﹣(6x+5x2+2)
=ax2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2=(a﹣5)x2+6,
∵标准答案的结果是常数,∴a﹣5=0,解得:
a=5.
【同步练】(2018•衢州)有一张边长为a厘米的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加b厘米,木工师傅设计了如图所示的三种方案:
小明发现这三种方案都能验证公式:
a2+2ab+b2=(a+b)2,
对于方案一,小明是这样验证的:
a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
请你根据方案二、方案三,写出公式的验证过程.
方案二:
方案三:
解析:
由题意可得,
方案二:
a2+ab+(a+b)b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2,
方案三:
a2+
=
=a2+2ab+b2=(a+b)2.
【点评】1.对于整式的加、减、乘、除、乘方运算,要充分理解其运算法则,注意运算顺序,正确应用乘法公式以及整体和分类讨论等数学思想.
2.在应用乘法公式时,要充分理解乘法公式的结构特点,分析是否符合乘法公式的条件.
考点5:
整式的乘除运算
【典例】化简:
(a+3)(a﹣2)﹣a(a﹣1).
【分析】先计算多项式乘多项式、单项式乘多项式,再合并同类项即可得.
解析:
原式=a2﹣2a+3a﹣6﹣a2+a
=2a﹣6.
【同步练】(2018•淄博)先化简,再求值:
a(a+2b)﹣(a+1)2+2a,其中
.
解析:
原式=a2+2ab﹣(a2+2a+1)+2a
=a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1+2a
=2ab﹣1,
当
时,
原式=2(
+1)(
)﹣1
=2﹣1=1.
【点评】原式利用完全平方公式化简,去括号合并得到最简结果,把a与b的值代入计算即可求出值.
考点6:
因式分解
【典例】(2018辽宁抚顺))分解因式:
xy2﹣4x= .
【分析】原式提取x,再利用平方差公式分解即可.
解析:
原式=x(y2﹣4)=x(y+2)(y﹣2),
故答案为:
x(y+2)(y﹣2)
【同步练】(2018哈尔滨)(3.00分)把多项式x3﹣25x分解因式的结果是
解:
x3﹣25x
=x(x2﹣25)
=x(x+5)(x﹣5).
故答案为:
x(x+5)(x﹣5).
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
考点7:
关于整式的综合考查
【典例】(2018贵阳)(8.00分)如图,将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形,拿掉边长为n的小正方形纸板后,将剩下的三块拼成新的矩形.
(1)用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长;
(2)m=7,n=4,求拼成矩形的面积.
【分析】
(1)根据题意和矩形的性质列出代数式解答即可.
(2)把m=7,n=4代入矩形的长与宽中,再利用矩形的面积公式解答即可.
解析:
(1)矩形的长为:
m﹣n,
矩形的宽为:
m+n,
矩形的周长为:
4m;
(2)矩形的面积为(m+n)(m﹣n),
把m=7,n=4代入(m+n)(m﹣n)=11×3=33.
【同步练】(2018吉林)(5.00分)某同学化简a(a+2b)﹣(a+b)(a﹣b)出现了错误,解答过程如下:
原式=a2+2ab﹣(a2﹣b2)(第一步)
=a2+2ab﹣a2﹣b2(第二步)
=2ab﹣b2(第三步)
(1)该同学解答过程从第 步开始出错,错误原因是 ;
(2)写出此题正确的解答过程.
解析:
(1)该同学解答过程从第二步开始出错,错误原因是去括号时没有变号;
故答案是:
二;去括号时没有变号;
(2)原式=a2+2ab﹣(a2﹣b2)
=a2+2ab﹣a2+b2
=2ab+b2.
【点评】考查了平方差公式和实数的运算,去括号规律:
①a+(b+c)=a+b+c,括号前是“+”号,去括号时连同它前面的“+”号一起去掉,括号内各项不变号;②a﹣(b﹣c)=a﹣b+c,括号前是“﹣”号,去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉,括号内各项都要变号.整式和其他知识的综合应用,一般先根据题意列出整式,再通过计算进行判断
【真题演练】
1.(2018•湘西州)下列运算中,正确的是( )
A.a2•a3=a5B.2a﹣a=2C.(a+b)2=a2+b2D.2a+3b=5ab
【分析】根据合并同类项的法则,完全平方公式,同底数幂的乘法的性质,对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答】:
A、a2•a3=a5,正确;
B、2a﹣a=a,错误;
C、(a+b)2=a2+2ab+b2,错误;
D、2a+3b=2a+3b,错误;
故选:
A.
2.(2018•温州)计算a6•a2的结果是( )
A.a3B.a4C.a8D.a12
【分析】根据同底数幂相乘,底数不变,指数相加进行计算.
【解答】:
a6•a2=a8,故选:
C.
3.(2018•眉山)下列计算正确的是( )
A.(x+y)2=x2+y2B.(﹣
xy2)3=﹣
x3y6
C.x6÷x3=x2D.
=2
【分析】根据完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则和算术平方根的定义计算,判断即可.
【解答】(x+y)2=x2+2xy+y2,A错误;
(﹣
xy2)3=﹣
x3y6,B错误;
x6÷x3=x3,C错误;
=
=2,D正确;
故选:
D.
4.(2018•绍兴)下面是一位同学做的四道题:
①(a+b)2=a2+b2,②(﹣2a2)2=﹣4a4,③a5÷a3=a2,④a3•a4=a12.其中做对的一道题的序号是( )
A.①B.②C.③D.④
【分析】直接利用完全平方公式以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案.
【解答】①(a+b)2=a2+2ab+b2,故此选项错误;
②(﹣2a2)2=4a4,故此选项错误;
③a5÷a3=a2,正确;
④a3•a4=a7,故此选项错误.
故选:
C.
5.(2018•河北)图中的手机截屏内容是某同学完成的作业,他做对的题数是( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
【分析】根据倒数的定义、绝对值的性质、众数的定义、零指数幂的定义及单项式除以单项式的法则逐一判断可得.
【解答】①﹣1的倒数是﹣1,原题错误,该同学判断正确;
②|﹣3|=3,原题计算正确,该同学判断错误;
③1、2、3、3的众数为3,原题错误,该同学判断错误;
④20=1,原题正确,该同学判断正确;
⑤2m2÷(﹣m)=﹣2m,原题正确,该同学判断正确;
故选:
B.
6.(2018•宁波)在矩形ABCD内,将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1,图2两种方式放置(图1,图2中两张正方形纸片均有部分重叠),矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1中阴影部分的面积为S1,图2中阴影部分的面积为S2.当AD﹣AB=2时,S2﹣S1的值为( )
A.2aB.2bC.2a﹣2bD.﹣2b
【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2,然后利用整式的混合运算计算它们的差.
【解答】S1=(AB﹣a)•a+(CD﹣b)(AD﹣a)=(AB﹣a)•a+(AB﹣b)(AD﹣a),
S2=AB(AD﹣a)+(a﹣b)(AB﹣a),
∴S2﹣S1=AB(AD﹣a)+(a﹣b)(AB﹣a)﹣(AB﹣a)•a﹣(AB﹣b)(AD﹣a)=(AD﹣a)(AB﹣AB+b)+(AB﹣a)(a﹣b﹣a)=b•AD﹣ab﹣b•AB+ab=b(AD﹣AB)=2b.
故选:
B.
7.(2018•玉林)已知ab=a+b+1,则(a﹣1)(b﹣1)= .
【分析】将ab=a+b+1代入原式=ab﹣a﹣b+1合并即可得.
【解答】当ab=a+b+1时,
原式=ab﹣a﹣b+1
=a+b+1﹣a﹣b+1
=2,
故答案为:
2.
8.(2018•金华)化简(x﹣1)(x+1)的结果是 .
【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果.
【解答】原式=x2﹣1,故答案为:
x2﹣1
9.(2018广西桂林)因式分解:
x2﹣4= .
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.
【解答】:
x2﹣4=(x+2)(x﹣2).
故答案为:
(x+2)(x﹣2).
10.(2018•宜昌)先化简,再求值:
x(x+1)+(2+x)(2﹣x),其中x=
﹣4.
【分析】根据单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子,然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题.
【解答】:
x(x+1)+(2+x)(2﹣x)
=x2+x+4﹣x2
=x+4,
当x=
﹣4时,原式=
﹣4+4=
.
11.(2018•邵阳)先化简,再求值:
(a﹣2b)(a+2b)﹣(a﹣2b)2+8b2,其中a=﹣2,b=
.
【分析】原式利用平方差公式,以及完全平方公式化简,去括号合并得到最简结果,把a与b的值代入计算即可求出值.
【解答】:
原式=a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2=4ab,
当a=﹣2,b=
时,原式=﹣4.
【拓展研究】
(2018•自贡)阅读以下材料:
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr,1550﹣1617年),纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr,1707﹣1783年)才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义:
一般地,若ax=N(a>0,a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作:
x=logaN.比如指数式24=16可以转化为4=log216,对数式2=log525可以转化为52=25.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:
loga(M•N)=logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0);理由如下:
设logaM=m,logaN=n,则M=am,N=an
∴M•N=am•an=am+n,由对数的定义得m+n=loga(M•N)
又∵m+n=logaM+logaN
∴loga(M•N)=logaM+logaN
解决以下问题:
(1)将指数43=64转化为对数式 3=log464 ;
(2)证明loga
=logaM﹣logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0)
(3)拓展运用:
计算log32+log36﹣log34= 1 .
【分析】
(1)根据题意可以把指数式43=64写成对数式;
(2)先设logaM=m,logaN=n,根据对数的定义可表示为指数式为:
M=am,N=an,计算
的结果,同理由所给材料的证明过程可得结论;
(3)根据公式:
loga(M•N)=logaM+logaN和loga
=logaM﹣logaN的逆用,将所求式子表示为:
log3(2×6÷4),计算可得结论.
【解答】
(1)由题意可得,指数式43=64写成对数式为:
3=log464,
故答案为:
3=log464;
(2)设logaM=m,logaN=n,则M=am,N=an,
∴
=
=am﹣n,由对数的定义得m﹣n=loga
,
又∵m﹣n=logaM﹣logaN,
∴loga
=logaM﹣logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0);
(3)log32+log36﹣log34,
=log3(2×6÷4),
=log33,
=1,
故答案为:
1.
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- 备战 中考 初中 数学 一轮 复习 考点 精准 导练测 40 02 整式 及其 运算 讲练版