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论文全国大学生数学建模竞赛

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

A

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

A甲7103

所属学校（请填写完整的全名）：

青岛农业大学

参赛队员（打印并签名）：

1.马龙杰

2.宋均有

3.侯文慧

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

王述香

日期：

2010年9月13日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

储油罐的变位识别与罐容表标定

摘要：

本文研究了储油罐的变位识别与罐容表的标定方法，分析了不规则组合体的体积，应用油浮子位置为纽带，寻求几何关系，建立了储油量与变位量之间关系的数学模型。

对问题一，我们根据示意图定性的分析其影响方式：

比如说使结果偏大或是偏小等。

然后用实验给出的数据做图观察影响情况。

在分析的基础上我们应用精确的体积积分的方式求出储油量、变位量和油浮子高度之间的关系，这就得到了变位量对罐容表的影响关系。

给油浮子高度赋值初值为0.15，步长为0.01，终止值为1.1，用matlab求解便得到了变位后每隔1cm的罐容标定值。

把计算得到的关系做图分析并于实验值比较。

经过分析发现随着液面高度的上升，两者的差别开始逐渐的增大，并且近似成线性关系，分析差异的来源，我们认为差异的来源是实际测量过程中，测量装置与容器壁厚是不能忽略的，而这两项数据的影响都是随液面的增长而变大（没入液体中的体积愈多）。

因此我们考虑模型的修正：

修正参数为

，则实际储油量

，重新作图比较实际测量值和理论计算值，有图看出本此时两条曲线几乎重合，此时的模型精度较高，具有实际的意义，可以用来标定罐容表。

对于问题二，该问题研究的是实际储油罐，要求建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。

我们参考问题一的方法用积分的形式计算出液面下液体的体积，实际的油罐的形状较为复杂，我们采用分割的方法，将其分为球缺1、球缺2和圆柱三部分，对每一部分进行积分，然后再求和计算体积。

在计算球缺时采用抵消误差式的近似计算。

分析油罐的储油量也就是三部分体积之和，其应该是油浮子所在位置实际液面高度与纵向变位量的函数，而油浮子所在位置实际夜面高度应该是横向旋转角和油浮子显示高度的函数。

二者复合可得储油罐储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。

通过分析横向变位对油浮子位置的影响是随液面位置变化的，在液面分别在中心位置以上和以下时影响刚好相反，而在中心位置时，沿轴向的转动对油浮子的高度不产生影响，也就是说此时罐容表显示的进出油量与实际进出油量的差异就只是纵向变位引起的。

我们利用题中给出的处于中心位置的数据来先计算纵向变位参数

，再算横向变位参数

，把参数带入得到储油量与油浮子高度的对应关系，最终给油浮子高度赋值解得罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

利用油浮子处液面位于中间位置时横向变位量对罐容表没有影响的特点消去一个方向的变位影响，并利用流出（注入）一定体积的油液时：

油液体积等于前后液面高度对应的体积差的原理，建立了纵向变位参数与液面高度，注入（流出）液体体积的关系模型。

从而实现了变位参数的分步求解。

在参数的作用下，建立储油量与油浮子高度的关系模型，最终实现了给变位后的油罐标定罐容表的目的。

并在现有模型的基础上作出分析和修正，使模型更加准确。

最后总体上评价了该模型，并指出模型需要完善的方向。

关键词：

储油罐罐容表变位量归一化处理

一．问题重述

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。

图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。

请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。

请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二．模型假设

1.不考虑温度对液体密度的影响

2.不考虑容器受压时的变形

3.假设油浮子沿着垂直于罐体轴线方向的导轨移动

4.导轨始终垂直于油罐底面

5.油浮子始终位于液面位置

6.油浮子及测量装置体积不记

7.测量过程中变位量不发生变化

8.采集数据真实有效

9.油罐尺寸形位公差忽略不记

10.油罐壳体厚度不计

三．符号说明

V:

储油罐的储油量；

h0:

油表显示的储油高度；

h:

实际液面高度；

α：

油罐的纵向倾斜角度；

β：

油罐的横向倾斜角度；

r:

球冠的底面半径；

V1:

左端面的球冠内的液体体积；

V2：

右端面的球冠内的液体体积；

V3：

圆柱体内的液体体积；

l1:

油浮子距离罐体左端的距离；

l2:

油浮子距离罐体右端的距离。

Vm修正后的储油量

四．问题分析

（一）问题一

为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，该问题对小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），罐体无变位和倾斜角为

的纵向变位两种情况做了实验，给出了实验数据，要求建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

要研究罐体变位后对罐容表的影响，我们可以根据示意图定性的分析其影响方式：

比如说使结果偏大或是偏小等。

然后用实验给出的数据做图观察期影响情况。

在分析的基础上我们应用精确的体积积分的方式求出储油量与变位量，油浮子高度之间的关系。

这就得到了变位量对罐容表的影响关系，由题已知变位量为带入关系式并给油浮子高度赋（值初值为0.15，步长为0.01，终止值为1.1）用matlab求解便得到了变位后每隔1cm的罐容标定值。

把计算的到的关系做图分析并于实验值比较。

（二）问题二

该问题研究的是实际储油罐，要求建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。

我们可以参考问题一的方法用积分的形式计算出液面下液体的体积，对比问题一，实际的油罐的形状较为复杂，我们采用分割的方法，将其分为球缺和圆柱三部分，对每一部分进行积分，然后再求和计算体积。

在计算球缺时采用抵消误差式的近似计算。

分析油罐的储油量也就是三部分体积之和，其应该是油浮子所在位置实际液面高度与纵向变位量的函数，而油浮子所在位置实际夜面高度应该是横向旋转角和油浮子显示高度的函数。

二者复合可得储油罐储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。

该问题还要求利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据确定变位参数，通过分析横向变位对油浮子位置的影响是随液面位置变化的，在液面分别在中心位置以上和以下时影响刚好相反，而在中心位置时，沿轴向的转动对油浮子的高度不产生影响，也就是说此时罐容表显示的进出油量与实际进出油量的差异就只是纵向变位引起的。

我们可以利用题中给出的处于中心位置的数据来先计算纵向变位量，然后再算横向变位参数，把参数带入得到储油量与油浮子高度的对应关系，最终给油浮子高度赋值解得罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性

五：

模型建立与求解

（一）问题一

5.1.1变位对罐容的影响：

由题做示意图如下

定性分析：

从示意图上定性分析;当罐体如图倾斜一定角度时，罐体内液体虽然没有增加但是油浮子位置会上升，即显示的液面高度增加，反映出罐容增加，也就是说倾斜会使罐容表的读数失准，所读数据大于罐内实际储油量。

当然罐体的倾斜不一定总是出项图示向油浮子倾斜的情况，当反响倾斜时，原理刚好相反，会造成罐容表上的读书小于实际的储油量。

数据分析

根究题目数据我们选取罐内的储油量为纵坐标，油位高度为横坐标做出倾斜和正常位置时关系图（图1）比较。

图2

做纵标的垂线，与两图像交与两点，从图上我们可以看出当注入同样多的液体时，倾斜状况下的液面高度总是高于正常状况下的液面高度，这里我们就验证了上述的定性分析。

两曲线之间的差就是倾斜对罐容表造成的误差。

5.1.2对罐容表的重新标定：

由题目数据的启发，要对罐容表重新标定，我们可以采取先将罐内液体抽出，再重新定量注入液体标记油浮子带动的探针移动的位置并标上相应刻度。

由于条件有限用实验的方法是不切实际的。

我们观察到罐体的行位参数是已知的，我们可以采用理论计算的方法求出倾斜状况下和正常状况下储油量与液面高度的关系，利用表达式计算对应的液面高度和储油量之间的关系。

建立适当坐标系做出示意图如下

图3

有图可设椭圆的方程

首先给定一个油浮子反映出的液面高度h0，变位量a，设油浮子距罐体两端的距离分别为l1，l2。

取垂直于罐体距罐体左端距离z处的液面的截面（图中阴影），设其面积为A，阴影y方向高度为h，易知截面面积是h的函数，而h是z的函数。

如下

则罐内的储油量也就是上述液体的体积可以表示如下：

可以得到椭圆平头油罐在变位量为a时储油量与油浮子高度之间的对应关系如下

、

有已知条件可令

可得小椭圆油罐的变位量为4.1时储油量与液面高关系模型是：

分别赋予不同的h0值（初值为0.15，步长为0.01，终止值为1.1）利用MATLAB编程求解可得变位后高度间隔为1cm的罐容标定值表，同时我们取

时（无变位时）用同样的方法求解得到此时间隔为1cm的罐容标定值表如下：

表1：

间隔为1cm的罐容标定值

有变位液面高度

储油量（L）

无变位液面高度

储油量（L）

400

970.2

400

1203.8

410

1009.6

410

1245

420

1049.2

420

1286.6

430

1089.2

430

1328.2

440

1129.4

440

1370.2

450

1170

450

1412.4

460

1210.8

460

1454.6

470

1252

470

1497.2

480

1293.2

480

1539.8

490

1334.8

490

1582.6

500

1376.6

500

1625.6

510

1418.6

510

1668.6

520

1460.8

520

1711.8

530

1503.2

530

1755

540

1545.6

540

1798.4

550

1588.2

550

1841.8

560

1631

560

1885.2

570

1674

570

1928.8

580

1717

580

1972.4

590

1760.2

590

2016

600

1803.4

600

2059.6

610

1846.6

610

2103.2

620

1890

620

2146.8

630

1933.4

630

2190.4

640

1976.8

640

2234

650

2020.2

650

2277.4

660

2063.6

660

2320.8

670

2107.2

670

2364.2

680

2150.6

680

2407.4

690

2194

690

2450.6

700

2237.4

700

2493.6

710

2280.6

710

2536.6

720

2324

720

2579.4

730

2367.2

730

2622

740

2410.2

740

2664.6

750

2453.2

750

2707

760

2496.2

760

2749

770

2538.8

770

2791

780

2581.4

780

2832.8

790

2624

790

2874.2

800

2666.2

800

2915.4

810

2708.4

810

2956.4

820

2750.4

820

2997.2

830

2792.2

830

3037.6

840

2833.6

840

3077.8

850

2875

850

3117.6

860

2916

860

3157

870

2956.8

870

3196.2

880

2997.2

880

3235

890

3037.4

890

3273.4

900

3077.4

900

3311.4

910

3117

910

3349

920

3156.2

920

3386.2

930

3195.2

930

3422.8

940

3233.6

940

3459

950

3271.8

950

3494.8

960

3309.6

960

3530

970

3346.8

970

3564.6

980

3383.6

980

3598.8

990

3420

990

3632.2

1000

3456

1000

3665.2

1010

3491.4

1010

3697.4

1020

3526.2

1020

3729

1030

3560.4

1030

3759.8

1040

3594.2

1040

3789.8

1050

3627.2

1050

3819.2

1060

3659.8

1060

3847.8

1070

3691.6

1070

3875.4

1080

3722.6

1080

3902.2

1090

3753

1090

3928

1100

3782.4

1100

3952.6

对上表数据作储油量与液面高度关系图分析如下：

图4

上图与图一反映的关系相同说明定性分析是准确的同时也说明所建的模型符合实际情况，有实际意义。

理论值与测量值的比较：

比较理论计算得到的无变位时的计算结果与原题中给出的实际无变位测量值进行比较得到如图:

图5

结果分析

分析上图，当液面高度较小时，实际测量值与模型计算值拟合的较好。

5.1.3模型的修正

经过分析发现随着液面高度的上升，两者的差别开始逐渐的增大，并且近似成线性关系，分析差异的来源，我们认为差异的来源是实际测量过程中，测量装置，与容器壁厚是不能忽略的，而这两项数据的影响都是随液面的增长而变大（没入液体中的体积愈多）。

因此我们考虑模型的修正：

修正参数为

，则实际储油量

k值的确定取理论值（模型计算值）和实际测量值（实验值的最大差）/液面的最大高度hmax

则应有

代入后重新做图比较如下

图6

有图可以看出本此时两条曲线几乎重合，此时的模型精度较高，具有实际的意义。

可以用来标定罐容表。

（二）问题二

5.2.1变位参数与储油量的关系

实际中油罐的变位涉及两个方向的变位——纵向倾斜和横向偏转。

为了分析变位对罐容表的影响我们对数据表中实际实时进出量和罐容表上显示的进出量进行统计，计算两者的差值，该差值反映了变位量的影响。

为了消去进出油量多少的影响，做归一化处理如下

然后作出油面高度和差值归一化后的关系图如下：

图7

有图可以看出变位对其影响跟液面位置有关，在121和421位置查数据表可得h=1717.30——1680.55处影响较弱。

在液面两端位置，影响相对较大。

5.2.2关于横向偏转

为了简便，我们先假定罐体没有纵向倾斜，只考虑横向偏转，当液面低于罐体中心面时做示意图如下:

图8

由图可以看出当罐体发生横向转动时，假设偏移角度为β，液面由正常位置L’变为L位置。

由于油浮子既要沿着导轨移动又同时始终位于液面高度，则油浮子应该有位置A移动到位置B，则油位探针的高度将下降AB，显示出的储油量将小于馆内实际储油量（即读数偏小）。

为了确定β对罐容表的影响，分析上图中的几何关系，转动前后两位置成对称关系，假设实际液面高度h0，偏转后油浮子显示的高度为h，罐体半径为r，则根据几何关系可得

反解得到实际液面高度h与偏角β的关系如下：

其中r为球缺的半径，由题

所以有

当液面高度高于中心面时，做示意图9：

图9

由图可以看出偏移角度为β时，液面由正常位置L’变为L位置。

由于油浮子既要沿着导轨移动又同时始终位于液面高度，则油浮子应该有位置A移动到位置B，则油位探针的高度将下降AB，显示出的储油量将大于于馆内实际储油量（即读数偏大）。

同样根据几何关系我们可以得到，

可见当液面位置变化时，虽然影响关系相反，但是拥有相同的表达式。

5.2.3关于纵向偏转

在单纯的纵向偏转情况下，液面与储油罐轴线不在平行，而是呈一定的片转角。

为计算方便，在建立坐标系时仍然选取油罐轴线为x方向。

并得到整个油罐的变位时的示意图10。

图10

为了计算液面一下液体的体积（储油量），我们把整个液体空间分割为两个球缺部分和中间的圆柱部分。

球缺部分：

我们观察到球缺被液面分割的方式并不规则，而球缺又不是油罐的主体，精确的计算球缺的体积的意义并不明显，为方便计算，我们把截球缺的部分平面用平行与轴线的平面代替来做近似计算。

此时左右两侧刚好一边多加了一块，一边少加了一块，也可以抵消部分误差。

我们设油浮子所在位置的液面实际高度为h，油浮子距两端圆柱端面的距离分别为

设油浮子距罐体两端的距离分别为l1，l2，变位量为

经过计算得第一部分球缺的液体体积V1：

第二部分球缺的液体体积V3

圆柱体的液体体积V2

由上述影响关系可以看出，油罐内的储油量是油浮子所在位置处实际液面高度和纵向变位量的函数，而油浮子所在位置的实际液面高度是横向变位量和油浮子反映出的液面高度的函数。

因此我们可以用函数复合的方法来确定储油量和整体变位量之间的关系。

把横向变位量带入储油量关于实际液面高度的函数中可得

第一部分球缺的液体体积V1：

圆柱体的液体体积V2:

第二部分球缺的液体体积V3

则储油量

从而得到罐内储油量与油面高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向倾斜角度β）之间的关系。

5.2.4关于变位量的计算

要计算油罐的变位量，由上面的模型可知我们已经得到了储油量与变位量之间的关系式，我们可以利用已知数据求出储油量和其对应的油浮子反映的液面高度带入关系式可以利用解方程的思想来求出相应的变位量。

通过上述的变位量分析，我们发现，横向变位对油浮子位置的影响是随液面位置变化的，在液面分别在中心位置以上和以下时影响刚好相反，而在中心位置时，沿轴向的转动对油浮子的高度不产生影响，也就是说此时罐容表显示的进出油量与实际进出油量的差异就只是纵向变位引起的。

我们可以利用题中给出的处于中心位置的数据来计算纵向变位量。

5.2.5模型建立：

因为在中间位置横向变位对罐容表没有影响，我们可以令此时

=0，

设h1h2分别为中间液面附近的油浮子高度值

则根据上述模型储油量的计算式可得液面为h1时储油量为

液面为h2时储油量为：

则，液面由h1变到h2过程中放出（加入）的油量V为

在已知数据表中取符合条件的h1h2值同时计算放出（加入）的油量V带入上述关系式，用matlab编程求解可得一组α值，

表2：

α值

0.08

0.04

0.025

0.0125

0.03

对α求平均值可以得到

当纵向变位参数确定以后，影响油罐的储油量的参数包括横向变位和油浮子高度，有已知数据可以用同样的方法求出如下：

设h1h2分别为距中间液面较远处的油浮子高度值

则根据上述模型储油量的计算式可得液面为h1时储油量为

液面为h2时储油量为;

则，液面由h1变到h2过程中放出（加入）的油量V为

令

解得一组β值；

表3：

β值

0.074

0.082

0.06

0.0635

0.0705

对β求平均值可以得到

罐容表的标定：

前边我们已经求出储油量与变位参数（纵向倾斜角度，横向偏转角度）

和油位高度之间的一般关系，同时我们也得到了变位参数的相应值。

将参数带入一般表达式，我们便得到了变位后储油量与油浮子高度的对应关系，如下

利用matlab编程分别赋相应的值给油浮子高度求出相应的储量，我们就可以给变位后的罐容表标定值。

通过编程求得每隔10cm的标定值表如下

表4：

每隔10cm的标定值表

液面高度（mm）

储油量（L）

液面高度（mm）

储油量（L）

300

2198

1700

35842.8

400

3670.3

1800

38636.1

500

5395

1900

41394.8

600

7330

2000

44103

700

9443.9

2100

46744.6

800

11711

2200

49302.5

900

14109.1

2300

51758.9

1000

16618.1

2400

54094.7

1100

19219.7

2500

56288.9

1200

21896.4

2600

58317.6

1300

24631.6

2700