当x≥1时,f(x)=3x+1≥4.
因此f(x)的值域是[4,+∞).
要使f(x)≤|2a-1|的解集不是空集,
必须有|2a-1|≥4,
∴2a-1≥4或2a-1≤-4,
解得a≥
或a≤-
.
因此实数a的取值范围是
.
[探究共研型]
含一个绝对值的不等式的解法
探究1 当c<0时,|ax+b|≤c,|ax+b|≥c的解集分别是什么?
【提示】 c<0时,|ax+b|≤c的解集为∅.
|ax+b|≥c的解集为R.
探究2 如何解含绝对值的不等式?
【提示】 利用绝对值的意义和性质,去掉绝对值转化为不含绝对值的不等式或不等式组,再进一步求解.也可利用函数思想通过图象求解.
探究3 如何解含一个绝对值的不等式?
【提示】 含一个绝对值不等式的常见类型及其解法:
(1)形如|f(x)|<a,|f(x)|>a(a∈R)型不等式.
此类不等式的简单解法是等价命题法,即
①当a>0时,|f(x)|<a⇒-a<f(x)<a.
|f(x)|>a⇔f(x)>a或f(x)<-a.
②当a=0时,|f(x)|<a无解,|f(x)|>a⇔f(x)≠0.
③当a<0时,|f(x)|<a无解,|f(x)|>a⇔f(x)有意义.
(2)形如|f(x)|<g(x),|f(x)|>g(x)型不等式.
此类不等式的简单解法是等价命题法,即①|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x),
②|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)可正也可负).
若此类问题用分类讨论法来解决,就显得较复杂.
(3)形如a<|f(x)|<b(b>a>0)型不等式.
此类问题的简单解法是利用等价命题法,即a<|f(x)|<b(0<a<b)
⇔a<f(x)<b或-b<f(x)<-a.
(4)形如|f(x)|<f(x),|f(x)|>f(x)型不等式.
此类题的简单解法是利用绝对值的含义,即
|f(x)|>f(x)⇔f(x)<0,
|f(x)|<f(x)⇔x∈∅.
已知函数f(x)=|x-8|-|x-4|.
(1)作出函数f(x)的图象;
(2)解不等式f(x)>2.
【精彩点拨】
(1)去掉绝对值,把f(x)表示为分段函数,画出f(x)的图象.
(2)不等式f(x)>2可以看作是函数f(x)的值比2大,结合图象求出.
【自主解答】
(1)f(x)=
函数的图象如图所示.
(2)不等式|x-8|-|x-4|>2,即f(x)>2.
由-2x+12=2,得x=5,
根据函数f(x)的图象可知,原不等式的解集为(-∞,5).
含两个绝对值的不等式的解法
探究4 如何解含两个绝对值的不等式?
【提示】
(1)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的三种解法:
分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性,但较复杂;几何法和图象法直观,但只适用于数据较简单的情况.
(2)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)=|x-a|+|x-b|-c的图象是密切相关的,其图象是折线,正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式.不妨设
a<b,于是f(x)=
这种图象法的关键是合理构造函数,正确画出函数的图象,求出函数的零点,体现了函数与方程结合、数形结合的思想.
(3)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式,此类问题的简单解法是利用平方法,即
|f(x)|<|g(x)|⇔[f(x)]2<[g(x)]2
⇔[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]<0.
解不等式|2x+1|-2|x-1|>0.
【精彩点拨】 去掉绝对值,转化为不含绝对值的不等式.
【自主解答】 法一:
原不等式可化为
|2x+1|>2|x-1|,
∴(2x+1)2>4(x-1)2,解得x>
,∴原不等式的解集为
.
法二:
当x≤-
时,原不等式可化为-1-2x+2(x-1)>0,整理得-3>0,无解;
当-
<x≤1时,原不等式可化为2x+1+2(x-1)>0,整理得4x-1>0,即x>
,∴
<x≤1;
当x>1时,原不等式可化为2x+1-2(x-1)>0,整理得3>0.此时不等式的解集为x>1.
∴原不等式的解集为
∪{x|x>1}=
.
[构建·体系]
1.不等式|x-2|>x-2的解集是( )
A.(-∞,2)B.(-∞,+∞)
C.(2,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)
【解析】 原不等式同解于x-2<0,即x<2.
【答案】 A
2.不等式|x2-2|<2的解集是( )
A.(-1,1) B.(-2,2)
C.(-1,0)∪(0,1)D.(-2,0)∪(0,2)
【解析】 由|x2-2|<2,得-2<x2-2<2,即0<x2<4,所以-2<x<0或0<x<2,故解集为(-2,0)∪(0,2).
【答案】 D
3.不等式
>
的解集是( )
A.(0,2)B.(-∞,0)
C.(2,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)
【解析】 由绝对值的意义知
>
等价于
<0,即x(x-2)<0,解得0【答案】 A
4.若关于x的不等式|x-3|-|x-4|【导学号:
38000010】
【解析】 根据绝对值的几何意义知,|x-3|-|x-4|≥-1,∴要使不等式有解,必须a>-1.
【答案】 (-1,+∞)
5.解不等式|5x-x2|<6.
【解】 法一:
由|5x-x2|<6,得|x2-5x|<6,
∴-6<x2-5x<6,
∴
解得
∴-1<x<2或3<x<6,
∴原不等式的解集为{x|-1<x<2或3<x<6}.
法二:
作函数y=x2-5x的图象.
|x2-5x|<6表示函数图象中直线y=±6间相应的部分的自变量的集合,解x2-5x=6得x1=-1,x2=6,解x2-5x=-6得x1′=2,x2′=3,即得到不等式的解集是{x|-1<x<2或3<x<6}.
我还有这些不足:
(1)
(2)
我的课下提升方案:
(1)
(2)