6份高考数学文北师大版一轮复习高考大题规范练及答案.docx
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6份高考数学文北师大版一轮复习高考大题规范练及答案
【6份】2017高考数学文(北师大版)
一轮复习高考大题规范练及答案
目录
高考大题规范练
(一) 函数与导数1
高考大题规范练
(二) 三角函数、解三角形7
高考大题规范练(三) 数列13
高考大题规范练(四) 立体几何18
高考大题规范练(五) 平面解析几何24
高考大题规范练(六) 概率与统计33
高考大题规范练
(一) 函数与导数
1.(2015·重庆卷)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-处取得极值。
(1)确定a的值;
(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性。
解
(1)对f(x)求导得f′(x)=3ax2+2x,
因为f(x)在x=-处取得极值,所以f′=0,
即3a·+2·=-=0,解得a=。
(2)由
(1)得g(x)=ex,
故g′(x)=ex+ex
=ex
=x(x+1)(x+4)ex。
令g′(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4。
当x<-4时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;
当-4
当-1 当x>0时,g′(x)>0,故g(x)为增函数。 综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数。 2.(2015·北京卷)设函数f(x)=-klnx,k>0。 (1)求f(x)的单调区间和极值; (2)证明: 若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,)上仅有一个零点。 解 (1)由f(x)=-klnx(k>0)得 f′(x)=x-=。 由f′(x)=0解得x=。 f(x)与f′(x)在区间(0,+∞)上的情况如下: x (0,) (,+∞) f′(x) - 0 + f(x) 所以,f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+∞),f(x)在x=处取得极小值f()=。 (2)证明: 由 (1)知,f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为f()=。 因为f(x)存在零点,所以≤0,从而k≥e。 当k=e时,f(x)在区间(1,)上单调递减,且f()=0, 所以x=是f(x)在区间(1,]上的唯一零点。 当k>e时,f(x)在区间(0,)上单调递减,且f (1)=>0,f()=<0, 所以f(x)在区间(1,]上仅有一个零点。 综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点。 3.已知函数f(x)=ax2+x-xlnx。 (1)若a=0,求函数f(x)的单调区间; (2)若f (1)=2,且在定义域内f(x)≥bx2+2x恒成立,求实数b的取值范围。 解 (1)当a=0时,f(x)=x-xlnx,函数定义域为(0,+∞)。 f′(x)=-lnx,由-lnx=0,得x=1。 当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)在(0,1)上是增函数; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)上是减函数。 所以函数f(x)的单调增区间是(0,1),单调减区间是(1,+∞)。 (2)由f (1)=2,得a+1=2,∴a=1,∴f(x)=x2+x-xlnx, 由f(x)≥bx2+2x,得x2+x-xlnx≥bx2+2x, 又∵x>0,∴b≤1--恒成立。 令g(x)=1--,可得g′(x)=, ∴g(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增, ∴g(x)min=g (1)=0, ∴实数b的取值范围是(-∞,0]。 4.已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0,设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同。 (1)用a表示b; (2)求证: f(x)≥g(x)(x>0)。 解 (1)设曲线y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同, ∵f′(x)=x+2a,g′(x)=, ∴依题意得 即 由x0+2a=,得x0=a或x0=-3a(舍去), 则b=a2+2a2-3a2lna=a2-3a2lna。 (2)证明: 设F(x)=f(x)-g(x) =x2+2ax-3a2lnx-b(x>0), 则F′(x)=x+2a-=(x>0), 由F′(x)=0得x=a或x=-3a(舍去)。 当x变化时,F′(x),F(x)的变化情况如下表: x (0,a) a (a,+∞) F′(x) - 0 + F(x) 极小值 结合 (1)可知函数F(x)在(0,+∞)上的最小值是F(a)=f(a)-g(a)=0。 故当x>0时,有f(x)-g(x)≥0, 即当x>0时,f(x)≥g(x)。 5.(2015·福建卷)已知函数f(x)=lnx-。 (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)证明: 当x>1时,f(x) (3)确定实数k的所有可能取值,使得存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>k(x-1)。 解 (1)f′(x)=-x+1=,x∈(0,+∞)。 由f′(x)>0得 解得0 故f(x)的单调递增区间是。 (2)证明: 令F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞), 则有F′(x)=。 当x∈(1,+∞)时,F′(x)<0, 所以F(x)在[1,+∞)上单调递减, 故当x>1时,F(x) (1)=0,即当x>1时,f(x) (3)由 (2)知,当k=1时,不存在x0>1满足题意。 当k>1时,对于x>1,有f(x) 从而不存在x0>1满足题意。 当k<1时,令G(x)=f(x)=k(x-1),x∈(0,+∞), 则有G′(x)=-x+1-k=。 由G′(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0。 解得x1=<0, x2=>1。 当x∈(1,x2)时,G′(x)>0,故G(x)在[1,x2)内单调递增。 从而当x∈(1,x2)时,G(x)>G (1)=0,即f(x)>k(x-1), 综上,k的取值范围是(-∞,1)。 高考大题规范练 (二) 三角函数、解三角形 1.(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|<在某一个周期内的图像时,列表并填入了部分数据,如下表: ωx+φ 0 π 2π x Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0 (1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式; (2)将y=f(x)图像上所有点向左平行移动个单位长度,得到y=g(x)图像,求y=g(x)的图像离原点O最近的对称中心。 解 (1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-。 数据补全如下表: ωx+φ 0 π 2π x Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0 且函数表达式为f(x)=5sin。 (2)由 (1)知f(x)=5sin, 因此g(x)=5sin=5sin2x+。 因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z, 令2x+=kπ,解得x=-,k∈Z, 即y=g(x)图像的对称中心为,k∈Z,其中离原点O最近的对称中心为。 2.(2015·浙江卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。 已知tan=2。 (1)求的值; (2)若B=,a=3,求△ABC的面积。 解 (1)由tan=2,得tanA=, 所以==。 (2)由tanA=,A∈(0,π),得sinA=,cosA=。 又由a=3,B=及正弦定理=, 得b=3。 由sinC=sin(A+B)=sin得sinC=。 设△ABC的面积为S,则S=absinC=9。 3.(2015·潍坊3月模拟)已知函数f(x)=sin2ωx--4sin2ωx+2(ω>0),其图像与x轴相邻两个交点的距离为。 (1)求函数f(x)的解析式; (2)若将f(x)的图像向左平移m(m>0)个长度单位得到函数g(x)的图像恰好经过点,求当m取得最小值时,g(x)在上的单调递增区间。 解 (1)函数f(x)=sin-4sin2ωx+2=sin2ωx-cos2ωx-4×+2=sin2ωx+cos2ωx=sin(ω>0), 根据函数f(x)的图像与x轴相邻两个交点的距离为,可得函数f(x)的最小正周期为2×=,得ω=1。 故函数f(x)=sin。 (2)将f(x)的图像向左平移m(m>0)个长度单位得到函数g(x)=sin=sin2x+2m+的图像,根据g(x)的图像恰好经过点, 可得sin=0, 即sin=0, 所以2m-=kπ(k∈Z),m=+(k∈Z), 因为m>0,所以当k=0时,m取得最小值,且最小值为。 此时,g(x)=sin。 令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z,故函数g(x)的单调递增区间为kπ-,kπ-,k∈Z。 结合x∈,可得g(x)在上的单调递增区间为和。 4.(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈。 (1)若m⊥n,求tanx的值; (2)若m与n的夹角为,求x的值。 解 (1)∵m=,n=(sinx,cosx),且m⊥n, ∴m·n=·(sinx,cosx) =sinx-cosx=sin=0。 又x∈,∴x-∈。 ∴x-=0,即x=。 ∴tanx=tan=1。 (2)由 (1)和已知得cos= = =sin=, 又x-∈,∴x-=,即x=。 5.(2015·杭州一检)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c。 已知cos2A+=2cosA。 (1)求角A的大小; (2)若a=1,求△ABC的周长l的取值范围。 解 (1)根据二倍角公式: cos2x=2cos2x-1,得 2cos2A+=2cosA,即4cos2A-4cosA+1=0, 所以(2cosA-1)2=0,所以cosA=。
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