专题十二中考数学分类讨论专题.docx
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专题十二中考数学分类讨论专题
分类讨论专题
在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不同情况予以考查.这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法,同时也是一种解题策略.
分类是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,掌握分类的方法,领会其实质,对于加深基础知识的理解.提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏.
分类的原则:
(1)分类中的每一部分是相互独立的;
(2)一次分类按一个标准;
(3)分类讨论应逐级有序进行.
(4)以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.
综合中考的复习规律,分类讨论的知识点可分为三大类:
1.代数类:
代数有绝对值、方程及根的定义,函数的定义以及点(坐标未给定)所在象限等.
2.几何类:
几何有各种图形的位置关系,未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.
3.综合类:
代数与几何类分类情况的综合运用.
代数类
考点1与数与式有关的分类讨论
1.化简:
|x-1|+|x-2|
2.已知α、β是关于x的方程x2+x+a=0的两个实根。
(1)求a的取值范围;
(2)试用a表示|α|+|β|。
3.代数式
的所有可能的值有()
A.2个B.3个C.4个D.无数个
考点2与方程有关的分类讨论
4.解方程:
①(a-2)x=b-1②试解关于x的方程
5.关于x的方程
有实数根,则k的取值范围是()
A.
B.
C.k<
D.k≥
6.已知关于x的方程
(1)若方程有实数根,求k的取值范围
(2)若等腰三角形ABC的边长a=3,另两边b和c恰好是这个方程的两个根,求ΔABC的周长.
考点3函数部分
7.一次函数
时,对应的y值为
,则kb的值是()。
A.14B.
C.
或21D.
或14
8.设一次函数
的图象不经过第一象限,求a的取值范围。
9.比较一次函数
与二次函数
的函数值y1与y2的大小。
10.图9是二次函数
的图象,其顶点坐标为M(1,-4).
(1)求出图象与
轴的交点A,B的坐标;
(2)将二次函数的图象在
轴下方的部分沿
轴翻折,图象的其余部分保持不变,
得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:
当直线
与此图象有两个公共点时,
的取值范围.
【变式】就
的取值范围,讨论.直线
与此图象有公共点的个数
几何类
一、与等腰三角形有关的分类讨论
考点4与角有关的分类讨论
1.已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________
考点5与边有关的分类讨论
1.已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_________.
考点6与高有关的分类讨论
1.一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°,则此等腰三角形的顶角是________度.
2.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°,这个等腰三角形的顶角是______度.
3.为美化环境,计划在某小区内用
的草皮铺设一块一边长为10
的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.
4.如图,在网格图中找格点M,使△MPQ为等腰三角形.并画出相应的△MPQ的对称轴.
考点7综合应用
1.在直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(-2,2),试在x轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形,求符合条件的点P的坐标
2.如图,在平面直角坐标系xoy中,分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3,4).连接OA,若在直线a上存在点P,使△AOP是等腰三角形.那么所有满足条件的点P的坐标是
3.直角坐标系中,已知点P(-2,-1),点T(t,0)是x轴上的一个动点.
(1)求点P关于原点的对称点
的坐标;
(2)当t取何值时,△
TO是等腰三角形?
二、与圆有关的分类讨论
圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,还具有旋转不变性,圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解.
考点8由于点与圆的位置关系的不确定而分类讨论
1.已知点P到⊙O的最近距离为3cm,最远距离为13cm,求⊙O的半径.
考点9由于点在圆周上位置关系的不确定而分类讨论
1.A、B是⊙O上的两点,且∠AOB=136o,C是⊙O上不与A、B重合的任意一点,则∠ACB的度数是___________.
考点10由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论
1.已知横截面直径为100cm的圆形下水道,如果水面宽AB为80cm,求下水道中水的最大深度.
考点11由于两弦与直径位置关系的不确定而分类讨论
1.⊙O的直径AB=2,过点A有两条弦AC=
,AD=
,求∠CAD的度数.
考点12由于直线与圆的位置的不确定而分类讨论
1.已知在直角坐标系中,半径为2的圆的圆心坐标为(3,-3),当该圆向上平移个单位时,它与
轴相切.
2.如图,直线
与x轴,y轴分别交于点M,N
(1)求M,N两点的坐标;
(2)如果点P在坐标轴上,以点P为圆心,
为半径的圆与直线
相切,求点P的坐标.
考点13由于圆与圆的位置的不确定而分类讨论
1.已知⊙O1与⊙O2相切,⊙O1的半径为3cm,⊙O2的半径为2cm,则O1O2的长是cm.
2.如图,在8×4的方格(每个方格的边长为1个单位长)中,⊙A的半径为1,⊙B的半径为2,将⊙A由图示位置向右平移个单位长后,⊙A与⊙B相切.
3.如图,小圆的圆心在原点,半径为3,大圆的圆心坐标为(a,0),半径为5,如果两圆内含,那么a的取值范围是_________.
4.在直角坐标平面内,
为原点,点
的坐标为(1,0),点
的坐标为(0,4),直线
轴(如图7所示).点
与点
关于原点对称,直线
(
为常数)经过点
,且与直线CM相交于点D,联结OD.
(1)求
的值和点D的坐标;
(2)设点P在
轴的正半轴上,若△POD是等腰三角形,求点
的坐标;
(3)在
(2)的条件下,如果以PD为半径的⊙
与⊙
外切,求⊙
的半径.
三、与直角三角形有关的分类讨论
1.已知点M(0,1),N(0,3),在直线y=2x+4上找一点P使△MPN为直角三角形,求点P的坐标.
2.如图,已知抛物线C1:
的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边),点B的横坐标是1.
(1)求P点坐标及a的值;
(2)如图
(1),抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求C3的关系式;(3)如图
(2),点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q的坐标.
四、与相似三角形有关的分类讨论
考点14对应边不确定
1.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm..某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点
从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:
是否存在时刻t,使以A,.M,N为顶点的三角形与ΔACD相似?
若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
考点15对应角不确定
1.
如图1,∠A=500,∠B=600,一直线l与△ABC的边AC、AB边相交于点D、E两点,当∠ADE为________度时,△ABC与△ADE相似.
考点16图形的位置不确定
1.在平面直角坐标系中,已知点P(-2,-1).过P作y轴的垂线PA,垂足为A.
点T为坐标轴上的一点.若以P,O,T为顶点的三角形与△AOP相似,请写出点T的坐标?
【变式】若点T在第四象限,请写出点T的坐标.
2.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F.AB=4,BC=6,∠B=60°.
(1)求点E到BC的距离;
(2)点P为线段EF上的一个动点,过P作PM⊥EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连结PN,设EP=x.
①当点N在线段AD上时(如图2),△PMN的形状是否发生改变?
若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说明理由;
②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?
若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由.
课下
巩固练习
一、填空题:
1.已知AB是圆的直径,AC是弦,AB=2,AC=
,弦AD=1,则∠CAD= .
2.直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于.
3.已知两圆内切,一个圆的半径是3,圆心距是2,那么另一个圆的半径是________.
4.等腰三角形的一个内角为70°,则其顶角为______.
5.在方格纸中,每个小格的顶点称为格点,以格点连线为边的三角形叫格点三角形.在如图3中5×5的方格中,作格点△ABC和△OAB相似(相似比不为1),则点C的坐标是_____.
二、选择题:
1.若等腰三角形的一个内角为500,则其他两个内角为()
A.500,80oB.650,650C.500,650D.500,800或650,650
2.若
A.5或-1B.-5或1;C.5或1D.-5或-1
3.等腰三角形的一边长为3cm,周长是13cm,那么这个等腰三角形的腰长是()
A.5cmB.3cmC.5cm或3cmD.不确定
4.若⊙O的弦AB所对的圆心角∠AOB=60°,则弦AB所对的圆周角的度数为()
A.300B、600C.1500D.300或1500
5.若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a,最小距离为b(a>b),则此圆的半径为( )
A.
B.
C.
或
D.a+b或a-b
二、解答题:
1.在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC=
,圆A的半径为1,如图所示,若点O在BC边上运动,(与点B和C不重合),设BO=x,ΔAOC的面积为
.
(1)求
关于
的函数关系式.
(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当圆O与圆A相切时ΔAOC的面积.
2.在直角坐标系XOY中,O为坐标原点,A、B、C三点的坐标分别为A(5,0),B(0,4),C(-1,0),点M和点N在x轴上,(点M在点N的左边)点N在原点的右边,作MP⊥BN,垂足为P(点P在线段BN上,且点P与点B不重合)直线MP与y轴交于点G,MG=BN.
(1)求点M的坐标.
(2)设ON=t,△MOG的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
(3)过点B作直线BK平行于x轴,在直线BK上是否存在点R,使△ORA为等腰三角形?
若存在,请直接写出R的坐标;若不存在,请说明理由.
3.如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知
OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.
(1)直接写出点E、F的坐标;
(2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的关系式.
4.在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,Pk,(有k个就标到PK为止,不必写出画法)
5.已知
与
是反比例函数
图象上的两个点.
(1)求
的值;
(2)若点
,则在反比例函数
图象上是否存在点
,使得以
四点为顶点的四边形为梯形?
若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
6.如图,平面直角坐标系中,直线AB与
轴,
轴分别交于A(3,0),B(0,
)两点,,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥
轴于点D.
(1)求直线AB的关系式;
(2)若S梯形OBCD=
求点C的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
7.二次函数
的图象与
轴交于
两点,与
轴交于点C.
(1)求
的面积.;
(2)在该二次函数的图象上是否存在点
,使四边形
为直角梯形?
若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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