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大一上学期微积分复习资料
10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导
第一章函数
'.本章重点
复合函数及分解,初等函数的概念。
.复习要求
1、能熟练地求函数定义域;会求函数的值域。
2、理解函数的简单性质,知道它们的几何特点。
3、牢记常函数、幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式,知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。
其中
⑴.对于对数函数yInx不仅要熟记它的运
算性质,还能熟练应用它与指数函数yeX
互为反函数的关系,能熟练将幕指函数作如下代数运算:
uvevlnu
⑵.对于常用的四个反三角函数,不仅要熟
习它们的定义域、值域及简单性质,还要熟记它
们在特殊点的函数值•
4、掌握复合函数,初等函数的概念,能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。
5、知道分段函数,隐函数的概念。
•三•例题选解
例1•试分析下列函数为哪几个简单函数(基本初
等函或基本初等函数的线性函数)复合而成的?
sin2X
⑴•ye
⑵.yarctanu,u,vx21.
v
例2.yarccotx的定义域、值域各是什
么?
ar@ot1=?
答:
yarccotx是ycotx,x(0,)
的反函数,根据反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域,可知yarccotx的定义域是
Df(,),值域为Zf(0,).
arccot1
4
四.练习题及参考答案
1.f(x)arctanx
则f(x)定义域为,值域为
f
(1)=;f(0).
2.f(x)arcsinx
1
arctan
(2)
1x
分析:
分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行,每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数(即简单函数)。
解:
⑴.yeU,uv2,vsinx
3.分解下列函数为简单函数的复合:
e3x
3
⑵.yln(x1)
答案:
2.1,
1,
JJ
22
2,3
.3.⑴.y
u
e
u
3x
⑵.y
lnu,
3
uX
1.
自我复习:
习题一
.(A)55.
⑴、⑵、⑶;
习题一
.(B).11.
第二
早
极限与连续
(i).lim1
x0x
(n).lim(1
x
el[叫1
记住它们的形式、
形式(变形式).并能熟练应用其求极限,
重要极限
限:
特点、
自变量的变化趋势及扩展
特别是应用
(n)的如下扩展形式求1
型未定式极
1.本章重点
极限的计算;函数的连续及间断的判定;初等函数的连续性。
2.复习要求
1.了解变量极限的概念,掌握函数f(x)在X0点有
极限的充要条件是:
函数在X0点的左右极限都存
在且相等。
2•理解无穷小量与无穷大量的概念和关系,掌握无穷小量的运算性质,仍为无穷小。
例如:
limxsin—
x0x
3.会比较无穷小的阶。
特别是无穷小量乘以有界变量
limSinx
x
在求无穷小之比的极限时
利用等价无穷小代换可使运算简化,常用的等价无
穷小代换有:
当(x)0时,有:
sin(x)〜(x);tan(x)〜(x)
e(x)1〜(x);
ln(1(x))〜(x);
n1~~(x)1
(x)
n
1cos(x)
2(x)
2
(参见教材P79)
4.掌握两个重要极限
lim(1
x
k、x
ek
lim(1
x0
1
kx尸
lim(1
x
lim(1
x0
5.掌握函数连续的概念,其定义区间内都是连续的,的不连续点只可能是分段点。
处连续的充要条是:
函数在
f(x°),即:
初等函数在
知道结论:
分段函数在定义区间内
函数f(x)在分段点X0
X0点极限存在且等于
limf(x)f(x。
)
xxq
当分段函数在分段点x0的左右两边表达式不相同
时,函数f(x)在分段点xo处连续的充要条件则是:
limf(x)limf(x)f(x0).
xxoXXo
6.掌握函数间断点及类型的判定。
函数的不连续点称为间断点,函数f(X)在
Xo点间断,必至少有下列三种情况之一发生:
⑴、f(X)在Xo点无定义;
⑵、limf(x)不存在;
XXo
⑶、存在limf(x),但limf(x)f(x0).
XXoXXo
若x0为f(x)的间断点,当limf(x)及
Xxo
limf(x)都存在时,称x0为f(x)的第一类间断
XXo
点,特别limf(x)=limf(x)时(即limf(x)
XX。
XX0xX0
存在时),称X。
为f(x)的可去间断点;
tanx…、
limf(x)lim1limf(x)
X0X0xx0
即D也不对,剩下的B就是正确答案。
⑵.
由于
limf(x)limf(x)时称x0为f(x)的跳
xx0XX0
跃间断点。
不是第一类间断点的都称为第二类间断点。
7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。
8.能够熟练地利用极限的四则运算性质;无穷小量、无穷大量的关系与性质;等价无穷小代换;教材P69公式(2.6);两个重要极限;初等函数的连续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。
2x2
三.例题选解
例1•单项选择题
⑴下列极限中正确的是(
A.lim沁1
Xx
B.
lim
X
)
.1sin—x
1
C.
.2
sinx’
1
0x
D.
limtanX
x0
x0时,
一12x2
1是sin2x
(
A.低阶无穷小;
C.同阶无穷小,但不是等价无穷小;
D.等价无穷小;分析与解:
⑴.A与C显然都不对,对于D,
B.高阶无穷小;
记f(x)
tanx
I?
tanx
则f(x)
X
tanx
•limf(x)lim
x0x0
tanx
lim
x0
<12x21代换
sin2x
lim2
X
0X2
lim笃1
X0X2
应选择
例3•求极限:
⑴lim
x0
⑵lim
X
解:
⑴
D.
2
ln(1x)
1COSX
此极限为-型
0
•••当x0时,
ln(1
x2)〜(
),
COSX
2
ln(1x)
COSX
2
X
-2~
X
2
⑵此极限为
lim(X
X
lim(1
X
lim
X
例2.
1型,可用重要极限
2
x5)
=lim(1
X
lim
X
判断函数y
3
x5)
lim层
xx5
x29
的间断点,并
判断其类型。
解:
由于y
2x
9
(x3)(x+3)
2x
x6
(x3)(x2)
/.x3,
x2是函数
y无疋义的点,因而疋
函数y的间断点。
•••lim(x
X3(x
3)(x
3)(x
3)
2)
x36
lim
x3x25
x3为函数y的可去间断点;
⑵.阿矜
⑶.00
x[cos(3x)1]tan§(e2x1)ln(1~~5P]
2.单项选择题
..•lim(x3)(x3)
x
2(x3)(x
limU
2)x2x2
⑴•设y\3)宀2),下面说法正确的是
x25x6
;
2为函数
y的第二类
(无穷型)
间断。
函数
xcos—2_2x
k
在点x0处连续,求常数
f(x)
A.
点x
3,x2都是可去间断点;
B.
点x
占;
八、、\
2是跳跃间断点,
占
八、、
x
3是无穷间断
C.
点x
占;
八、、\
2是可去间断点,
占
八、、
x
3是无穷间断
D.
⑵.
点x2是可去间断点,
占;
八、、\
下面正确的是
占
八、、
x
3是跳跃间断
tanxA.lim
x0
B.
limx
x0
.1
sin
x
分析与解:
由于分段函数
f(x)在分段点
左右两边表达式相同,
因此
f(x)在x
0连续的
C.lim
x0
tanx
不存在;
D.
tanx
充要条件是
lim0f(x)
f(0)
k.
lim
x0x
叭f(x)
1lim
x0
x
co辽代换
2
x
lim82
x0x
23
答案:
1.⑴.同阶而不等价的:
⑵.e;⑶..
20
2.⑴.C;⑵.B.
自我复习.习题二(A)
11.(4).24.,(4),(7).
27.⑴.(4).28.⑴,⑵.
30.⑵.37•⑴,⑶.
习题二(B).14.
第三章导数与微分
四.练习题及参考答案
1填空
⑴.当x0时,(ex1)sin2x与
.本章重点.
导数的概念,导数及微分的计算
.复习要求
(、、1x1)ln(12x)相比,是
无穷小;
1.掌握函数x在X。
处可导的定义,并能熟练应
用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。
导数是一个逐点概念,x在x0处的导数的定
义式常用的有如下
种形式
⑵本题为幕指函数求导,必须用取对数求导法
f(X。
)lim
X
f(x。
X)f(x。
)厂
原方程两边取对数:
lim
h0
f(Xoh)f(Xo)
lny、,3xlnx
上式两边对x求导,
视y为中间变量:
XX0
f(Xo)
Xo
y'3
y
——=lnx
2、3x
2•知道导数的几何意义,会求X在Xo处的切线
方程。
3•熟记基本求导公式及求导的运算法则,熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数:
⑴运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导;⑵复合函数求导法;⑶隐函数求导法;⑷取对数
求导法。
4.理解高阶导数的概念,能熟练求函数的二阶导数。
5•理解微分的概念,能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。
6•掌握函数可微,可导及连续的关系。
三•例题选解
y
3
x3x
3x
、.3x
Inx
1ln
2lnx
2(t
1)
注:
本题除此方法外,也可以:
3xlnx
e
1
(2、3x3^
3x
例1•求下列函数的导数:
⑴.
y
2
f(1+X),求y,
y•
⑵.
y
=x,求y••
⑶.
设
y=e,求dy
⑷•
y
ln(1x3),求y
解:
⑴、本题为抽象函数求导,
由复合函数求导法,
得:
⑶.
tanx
e
(tanx)
tanx
e
2
secx
•••dy
tanx
e
sec2xdx
3x2
1x3
6x(1x3)
3x23x2
3、2
(1x)
3x(2x3)
3、2
(1X)
例2.设x在X1处可导,且
'
(1)2.
22
yf(1+x)(1+x)
求lim
X1
(43x)
x1
f(1
x2)2x
2x
f(1
x2)
y2f
(1
x2)
2xf(1x2)2x
2f
(1
x2)
4x2f(1x2)
分析:
将
结构式:
("=沪0
X在X1处的导数的定义式理解为
(1W)
(1)
W
其中W为xx1或x的函数.且当x0
时,X0即可.
解:
(43x)
x1
(2)讨论f(x)在x0处的可导性。
分段函数在分段点的导数必须用定义求:
O
01
(X1)]
3(x1)
(3)
\7
o
3f
(1)6
例3•求曲线x3y33axya3在点
0,a处的切线方程。
解:
显然,点0,a在曲线上,
-设f(x)
现求切线的斜率,即y(0,a)
曲线方程两边对x求导:
22
3x3yy3ay3axy0
2
解得y
yax
•••y(0,a)=1
切线方程为:
yax
即yxa
x2
例4、设f(x)
四.练习题及参考答案
1•单项选择题
2
ln(1x)
2
x
1
f(x)在x
0不连续;
f(x)在x
0连续,但不可导;
f(x)在x
0可导,且
f(0)
f(x)在x
0可导,且
f(0)
F面说法正确的是(
).
B..
C.
0.
D.
2.填空题
A.
f(x)在x
x0处可导,
f(X。
)
试讨论f(x)在x
0处的连续性及可导性。
分析与解:
由已知,f(0)0;
(1)讨论f(x)在x0处的连续性。
(x)
lxm0
x2
代换
0=f(0).
(1)|imf(x°h)f(x°h)厲h
3.求函数的导数或微分:
1
⑴yxx,求y
⑵yfln(1x)(x1),
求y,y
f(x)在x0处连续。
⑶.yIn\x21,求dy.
3
4.设yxcos(xy)确定y是x的函数,求
(1).
cosx
2x
dy,并求出函数在点(0,1)的切线方程。
dx
5、证明:
(1)若f(X)是偶函数且可导,那么f(X)
是奇函数,
(2)若f(X)是奇函数且可导,那么
f(x)是偶函数,
答案:
1.D.
2.2
3.⑴.
y
1
x7
2
(1
lnx)
(2).
y
1
x
f
1
ln(1
x);
y
1
f
ln(1
x)
(
x
2f
1)2
1
fln(1
x)
(x
1)2
⑶.dy
xdx
2dx.
x1
dy1
4.2
ysin(xy)
dx3y
xsin(xy)
切线方程:
3yx3.
自我复习:
习题三(A)13;21,⑹,⑼;24.⑴,⑵;25;26•⑴,⑺;27.⑸;29.⑵,⑹,⑺;
47.⑴,⑵.54.
习题三(B)1;3;11.
第四章中值定理与导数的应用
1.本章重点
求未定式极限的洛必达法则;应用导数判定函数的单调性,求函数的极值和最值;应用导数确定曲线的凹向与拐点;对经济问题作边际分析;
2.复习要求
1知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论,
会求定理中的,掌握拉格朗日定理推论的意义。
注意:
⑴洛必达法则只能直接用于求“-”型或
0
“―”型未定式的极限,对于其他类型的未定式
极限,必须将其转化为“-”型或“—”型未定
0
式才能使用法则。
⑵洛必达法则可以连续使用,当再次使用法
则时,一定要检验法则的条件是否成立,当条件不
满足时必须停止使用,改用其他求极限的方法计算.
⑶.在求未定式极限时,将洛必达法则和等
价无穷小代换等其它方法结合使用,可使运算更简
便。
3.掌握用一阶导数判定函数单调性的方法,并能利
用函数的单调性证明不等式。
4.掌握函数极值的概念及求函数极值方法.
5.掌握最值的概念及其与极值的关系,能熟练求闭区间上连续函数的最大、最小值;会求经济应用问题的最值.如求最大总收入,最大总利润等.
6.掌握函数的凹向,拐点的概念及求曲线凹向,拐
点的方法.
.例题选解
例1.求下列极限
exsinx2xlim
x0xln(1x)
2sinx
(2).lim0x
x0
1
1
⑶.lim
X0x
ln(1x)
解:
x
「・e
sinx2x1
0x
(1)lim0
(—)
x0
xln(1x)
0
代换
x
x
lim—
x0
2.熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
洛exsinx
=lim(不是未疋式)
x02
=1
2*
例2•求函数y2的单调区间和极值,凹凸区
1x
间和拐点。
X
解:
函数y2的定义域为(,)
1x
v
vlnu
换:
u
e,
得:
2sinx
2sinxlnx
limx
lim
e
x0
x0
lim
2sinxlnx
(2)原式为幕指型不定式(00型),利用代数变
x
0
22
(1x)2xx1x
2~22~2
(1x)(1x)
2222
(2x)(1x)2(1x)2x(1x)
4
(1x)
其中
x0
lim2sinxInx
2
2x(x3)
厂
(1x)
lim2xInx
x0
lim
2lnx
x0
1
x
2
洛
—
lim
x
x0
1
2
x
lim(
x0
2x)
0.
(0)
(代换)
(-)
(1x)(1x)
2x2
(1x)
0,得驻点x
x
(
1)
1
(1,1)
1
(1,)
y
0
0
y
]
极小
Z
极大
]
x1;无不可导点。
两驻点分定义域为三个子区间,列表讨论如下:
11
(3)lim
x0
..In(1=lim
ln(1
x)
x)x
x0xln(1x)
0’
原式=e1(型)
(通分化为0型)
令2x(x3(x「3)0
(1x2)3
得x0,x.,3,无y不存在的点。
曲线的
(代换)
x
(,心
(V3.0)
0
(0^3)
73
(巧,)
y
—
0
+
0
—
0
+
y
I
拐点
U
拐点
I
拐点
U
凹向及拐点列表讨论如下:
由上面的讨论看出:
X2X
叫
HX
mo
HX
(洛必达)
1
2.
函数yJ的单减区间为(,1)(1,);
1x
单增区间为[1,1]。
极小值是y
(1)1,
2
1
极大值是y
(1)
F(x)
arctan■.x21
.1arcsin
x
由拉格朗日定理的推论,若能证明
曲线y牛的凸区间是(,,3)(0,・、,3)
1x
凹区间是(3,0)(、3)。
曲线y刍的拐点有三个:
(,3,二3),
1x4
(0,0),C.3^3)。
4
例3•证明不等式
12
(1x)ln(1x)x2x(x0)
2
分析与证:
证明不等式的方法很多,利用函数的单调性或最值证明不等式是常用的方法之一。
这里用
单调性来证明。
即令
F(x)0贝UF(x)c,再确定
c即可。
2
证:
当x1时,
1
F(x)厂「X2
1
1x21
1_
x、x21
f(x)(1x)ln(1
x)
F(x)c
则问题转化为证f(x)0f(0)
(x0)
tF
(1)arctan0
即证在x0时,f(x)单减。
f(x)ln(1
x)
f(x)
ln(1x)x
•••x0时,f(x)单减,有
f(x)f(0)0
•f(x)也单减,有f(x)f(0)0,证毕。
例4•证明:
对任意x1,有
arctanx21arcsin——
x2
分析:
本题为恒等式的证明。
我们设
1)2Gx
_2x_
2.x21
1
X「X2
arcsin1
(丄)
1
7
1厂
x
例5求出函数
y
54
x5x
5x3
1在区间
[2,1]上的最大、
最小值。
解:
显然函数
y
54
x5x
5x3
1在闭区间
c,证毕!
2
y
5x4
20x3
15x25x2(x1)(x
3)
由y
0,
解得区间
(1,2)内的可疑点为:
x1
0,
x21.
比较以下函数值,
f(
1)
10,f(0)
1,f
(1)2,f
(2)
7
[2,1]上连续,因而必存在最大、最小值。
得fmax
(1)2,fmin
(1)10.
例6.某食品加工厂生产x单位的总成本为
2
C(x)2004x0.03x,得到的总收益是
5.证明当X0时,有:
arctan、-x
arctan
C,并求出常数C.
R(x)8x0.02x2,求出生产该商品x单位的边际利润、生产300单位时的边际利润,当生产多少单位时利润最大。
解:
⑴•利润函数
L(x)R(x)C(x)0.01x24x200
边际利润函数L(x)0.02x4.
⑵.当x300时,
L(300)0.0230042
⑶.令L(x)0.02x40
解得:
x200
L(200)0.020,
•••产量x200单位时,可获最大利润。
注:
设函数yf(x)可导,导函数f(x)也称为边际函数。
四.练习题与参考答案
1.求极限
21
(1)limx(1cos—)
xx
11
⑵li叫—7一)
x0xsinx
1
⑶lim(tanx)lnx
x0
2.证明.当x1时,有:
(x1)lnx2(x1).
12
3证明:
cosx1x(x0)
2
32
4.求yx3x9x9单调区间和极值,凹
参考答案:
1
1.
(1).-;⑵.0;⑶.e.
2
4.单增区间(,1)(3,);
单减区间(1,1);极大值y
(1)14,
极小值y(3)18;
上凹区间(1+^);下凹(凸
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