7年级上课本变式题.docx
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7年级上课本变式题
七年级上册·课本亮题拾贝
课本中的例、习题是经过编者反复琢磨,认真筛选后精心设置的,具有一定的探究性.在教学的过程中要立足课本,充分发挥课本例、习题的教学功能,可以有效地避免题海战术,不但有利于巩固基础知识,而且还能增强同学们的应变能力,发展创新思维,提高数学素养.
1.1正数和负数
题目某地一天中午12时的气温是7℃,通过5小时气温下降了4℃,通过7小时气温又下降了4℃,第二天零时气温是多少?
(人教课本P57题)
解∵7+(-4)+(-4)=-1,
∴第二天零时气温是零下1℃.
点评在0℃以上的温度用正数表示,0℃以下的温度用负数表示;高于海平面的地方用正数表示它的高度,低于海平面的地方用负数表示它的高度.通常具有“增加、上升、零上、海平面以上……”用正数表示,具有“减少、下降、零下、海平面以下……”用负数表示.
演变
变式1某地一天中午12时的气温是7℃,通过5小时气温下降了4℃,通过7小时气温下降了℃,第二天零时气温是零下1℃.(答案:
4)
变式2某地一天中午12时的气温是a℃,过3小时气温上升了m℃,又过10小时气温下降了n℃(4),第二天零时气温是℃.(答案:
a+m-n℃)
变式3若下降5m记作-5m,那么上升8m记作,不升不降记作.
(答案:
+8m,0m)
变式4周一证券交易市场开盘时,某只股票的开盘价为18.18元,收盘时下跌了2.11元,周二上升了a元,周三下降了b元,求周一,周二,周三的收盘价.
(答案:
周一:
16.07元,周二:
16.07+a元,周三:
16.07+a-b元).
1.2有理数(绝对值、相反数)
题目判断下列说法是否正确:
①符号相反的数互为相反数;②符号相反且绝对值相等的数互为相反数;③一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上越靠右;④一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上离原点越远.(人教课本P122)
解①不对;只有符号不同的两个数,其中一个叫另一个的相反数.
③不对,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.因此②④是正确的.
点评此题主要检查学生对绝对值、相反数的概念是否理解.
演变
变式1判断下列说法是否正确:
①如果数a的绝对值等于a,那么a可能是正数吗?
可能是零吗?
可能是负数吗?
②如果数a的绝对值大于a,那么a可能是正数吗?
可能是零吗?
可能是负数吗?
③一个数的绝对值可能小于它本身吗?
(答案:
①可能,正数和0;可能;不可能②不可能;不可能;是③不可能)
变式2如果字母a表示一个有理数,那么其相反数是什么?
如果a的相反数比a大,那么a是什么数?
(答案:
-a,负数)
变式3如果a2=b2,那么a与b有什么关系?
(答案:
a+b=0,a=b)
变式4一个数的平方与它的绝对值相比较,能够确定它们之间的大小关系吗?
(答案:
①当a>1时,a2>∣a∣;②当0<a<1时,a2<∣a∣;③当-1<a<0时,a2<∣a∣;④当a=1、0、-1时,a2=∣a∣;⑤当a<-1时,a2>∣a∣)
变式5当x=-4,-3,-2,-1,1,2,3,4时,分别求出
的值,你发现什么?
(答案:
当x=-4,4时,
的值相等;当x=-3,3时,
的值相等……)
1.2有理数
题目如果∣x∣=2,那么一定是2吗?
如果∣x∣=0,那么x等于几?
如果x=-x,那么x等于几?
(人教课本P1510)
解∵在数轴上数2和-2到原点的距离都是2,∴x=2和-2.
∵在数轴上只有数0到原点的距离都是0,∴x=0.
∵x与-x互为相反数并且相等,∴x=0.
点评①绝对值的几何意义:
在数轴上,表示有理数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值记作:
︱a︱注意:
距离不会出现负数,因而绝对值最小值是0,即︱a︱≥0.
②绝对值的代数定义:
演变
变式1
(1)填空:
①︱3︱=,②︱1.5︱=,③︱-3︱=;④︱-1.5︱=;⑤︱0︱=.解决这些问题后,你能得到什么结论?
(答案:
3,1.5,3,1.5,0,一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0)
(2)若︱x︱=5,则x=.(答案:
5和-5)
(3)请说出︱x︱=5和︱x-2︱=5的几何意义.
解在数轴上表示数x的点到原点的距离为5个单位长度;在数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5个单位长度.
变式2数轴上表示+7的点是A,表示-4的点是B,则A、B两点间的距离是().C
A.3 B.-3C.11 D.-11
变式3已知数轴上有A和B两点,它们之间的距离为1,点A和原点的距离为2,那么所有满足条件的点B对应的数有哪些?
分析点A和点B在数轴上可能的位置,比如,点A和原点的距离为2说明点A表示的数的绝对值是2,则这个数为2或-2,然后再分情况讨论,答案是-3、-1、1、3.
变式4①已知︱a︱=2,︱b︱=5时,若a<b,则a×b=.
(答案:
10和-10)
②若|x-5|+|y+2|=0,则x-y=.
解由“若干个非负数的和等于0,则每个非负数必为0”得x-5=0,且y+2=0,
所以x=5,y=-2,
于是x-y=5-(-2)=7.
变式5若|a|=4,|b|=2,求a-b.
解∵|a|=4,∴a=4或-4,
又|b|=2,∴b=2或-2.
因此,当a=4,b=2时,a-b=4-2=2;
当a=4,b=-2时,a-b=4-(-2)=6;
当a=-4,b=2时,a-b=-4-2=-6;
当a=-4,b=-2时,a-b=-4-(-2)=-2.
1.3有理数的加减法
题目你能将-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4这9个数分别填入下图的幻方的9个空格中,使得处于同一横行、同一数列、同一对角线上的3个数相加都得0吗?
你是将0填入中央的格中吗?
与同学交流一下,看看你们填这个幻方的方法相同吗?
(人教课本P20-21实验与研究——填幻方)
-1
4
-3
-2
0
2
3
-4
1
答案不唯一,如:
演变
变式1下面是一个正方体纸盒的展开图,请把-10,7,
10,-2,-7,2分别填入六个正方形,使得按虚线折成正方
体后,相对面上的两个数互为相反数.
变式2将-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8这9个
数填入空格中,使得每行的3个数,每列的3个数,斜对角的
3个数相加均为0.
-2
8
-6
-4
0
4
6
-8
2
答案不唯一,如:
变式3如果将下图中的每个数都加上同一个数,那么图中每行的3个数,每列的3个数,斜对角的3个角相加的和仍然相等,这样就形成了一个新的图,根据下图中给出的数,对照原图,你能完成下面的图吗?
1
2
-3
-4
0
4
3
-2
-1
3
4
-1
-2
-3
-4
答案不唯一,如:
3
4
-1
-2
2
6
0
1
-2
-1
-6
-7
-3
1
0
-5
-4
变式4在下图的9个方格内填入5个2和4个-2,使每行、
每列、斜对角的三个数的乘积都是8.
-2
2
-2
2
2
2
-2
2
-2
答案不唯一,如:
1.5有理数的乘方
题目计算:
(-5)3.(人教课本P421(4))
解原式=(-5)×(-5)×(-5)=-125.
点评注意底数和指数.
演变
变式1填空:
(1)53=,
(2)-53=,(3)52=,
(4)-52=,(5)(-5)2=.
(答案:
125,-125,25,-25,25)
变式2从变式1中你得出了什么结论?
如果a为有理数,那么(-a)3、-a3和a3;(-a)2、a2和-a2有什么关系?
(答案:
(-a)3=-a3,(-a)3、-a3与a3互为相反数;(-a)2=a2,(-a)2、a2与-a2互为相反数)
变式3计算0.53、53、503……,观察结果,底数的小数点左右移动一位时,立方数的有什么规律?
(答案:
底数的小数点左右移动一位时立方数的左右移动三位)
变式4当0<a<1时,比较a2与a3的大小;如果当-1<a<0时呢?
(答案:
a2>a3)
变式5比较53×52与55的大小;(-3)2×(-3)4与(-3)6的大小,你得出了什么结论?
并用字母表示出来.(答案:
am×an=am+n)
有理数的乘方
题目计算:
(-1)10×2+(-2)3÷4.(人教课本P441)
解原式=1×2+(-8)÷4=2+(-2)=0.
点评先算乘方,再算乘除,后算加减,注意底数和指数.
演变
变式1-110×2+(-2)3×4.(答案:
-4)
变式2因为-110×2+(-2)3×4=(-110×1+(-2)3×2)×2,所以若用a表示任意一个数,那么-110×1a+(-2)3×2a等于什么?
(答案:
-17a)
变式3已知(-1)10a+(-2)3÷4=0,则a=.(答案:
2)
变式4请用运算符号×、÷、+组合(-1)10、2、(-2)3、4使其结果等于30.(答案不唯一,如2÷(-1)10+(-2)3×4等)
2.1整式
题目用式子表示十位上的数是a、个位上的数是b的两位数子,再把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置,计算所得数与原数的和.这个数能够被11整除吗?
(人教课本P7710)
分析a、b分别表示两位数十位上的数字和个位上的数字,那么这个两位数可以表示为10a+b.交换这个两位数的十位数字和个位数字,就得到一个新的两位数是10b+a.
解(10a+b)+(10b+a)
=10a+b+10b+a
=(10a+a)+(b+10b)
=11a+11b=11(a+b).
∵(a+b)是整式,
∴11(a+b)是11的倍数.
点评对于任意一个两位数,可以用字母表示数的形式表示出来,设a、b分别表示两位数十位上的数字和个位上的数字,那么这个两位数可以表示为10a+b.交换这个两位数的十位数字和个位数字,就得到一个新的两位数是10b+a.
演变
变式1任意取一个两位数,交换个位数字和十位数字的位置得到一个新的两位数,这两个两位数的差是否能够9整除?
再研究这两个两位数的和的特点.
解设a、b分别表示两位数十位上的数字和个位上的数字,则
(10a+b)-(10b+a)=10a+b-10b-a=(10a-a)+(b-10b)
=9a-9b=9(a-b).
∵(a-b)是整式,
∴9(a-b)是9的倍数.
变式2一个两位数与这个两位数的10倍的和是11的倍数.
解设a、b分别表示两位数十位上的数字和个位上的数字,则
(10a+b)+10(10a+b)
=10a+b+100a+10b=110a+11b
=11(10a+b).
∵10a+b是整式,
∴11(10a+b)一定是11的倍数.
变式3一个两位数的10倍与原两位数的差是9的倍数.
解设a、b分别表示两位数十位上的数字和个位上的数字,则
10(10a+b)-(10a+b)
=100a+10b-10a-b
=90a+9b=9(10a+b),
∵10a+b是整式,
∴9(10a+b)一定是9的倍数.
变式4一个三位数与这个三位数的的个位与百位数字对调的差是99的倍数.
解设a、b、c分别表示两位数百位、十位和个位上的数字,则
(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
=100a+10b+c-100c-10b-a
=99a-99c=99(a-c).
∵(a-c)是整式,
∴99(a-c)一定是99的倍数.
变式5一个两位数,十位数字比个位数字小2,十位上的数字与个位上的数字之和是这个两位数的
,求这个两位数?
解设十位上的数字为x,则个位上的数字为x+2,所以这个两位数是10x+(x+2),
根据题意,得x+(x+2)=
[10x+(x+2)],
解得x=4,x+2=6,
∴10x+(x+2)=46.
2.2整式的加减
题目计算:
(8xy-x2+y2)-(x2-y2+8xy).(人教课本P713
(2)题)
解原式=8xy-x2+y2-x2+y2-8xy=-2x2+2y2.
演变
变式1已知A=8xy-x2+y2,B=x2-y2+8xy,求①A+B;②B-A;③2A-3B.
(答案:
16xy,2x2-2y2,4y2-5x2-8xy)
变式2已知3a2xb10与3a6b5y是同类项,求(8xy-x2+y2)+(x2-y2+8xy)的值.
解由题意,得2x=6,5y=10,所以x=3,y=2.
因此,原式=(8xy-x2+y2)+(x2-y2+8xy)=16xy=16×2×3=96.
变式3当x=-2,y=5时,求多项式(8xy+x2+y2)-(x2-y2+8xy)的值时,甲同学不小心把x=-2代成了x=2,乙同学认为x=-2这个条件是多余的,并且甲和乙的计算结果一样.请指出甲、乙同学的做法是否正确?
说明理由.
解原式=(8xy+x2+y2)-(x2-y2+8xy)=2y2,
因为化简后不含x的项,所以与x无关.
所以乙同学的做法是正确.
2.2整式的加减
题目把(a+b)看成一项,对4(a+b)+2(a+b)-(a+b)进行合并同类项.(人教课本P7712
(1))
解原式=(4+2-1)(a+b)=5(a+b)=5a+5b.
点评常规解法是先去括号,再合并同类项,但此题可将(a+b)视为一个整体,即可简化运算.
演变
变式1合并-4(a-2b)+7(a-2b)-12(a-2b).(答案:
-9a+18b)
变式2已知-a+2b=5,那么5(a-2b)2-3a+6b-60=.(答案:
80)
变式3已知当x=2时,整式ax5+bx3+cx+3值为100,那么当x=-2时,整式ax5+bx3+cx+3的值是多少?
(答案:
-94)
变式4已知3a+8b=3,求(3a+8b)2-
的值.(答案:
)
2.2整式的加减
题目下图是某月的月历(人教课本P74活动三)
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
①带阴影的方框中的9个数之和与方框正中心的数有什么关系?
②不改变带阴影的方框的大小,将方框移动几个位置试一试,你能得出什么结论?
你能证明这个结论吗?
③这个结论对于任何一个月的月历都成立吗?
解①带阴影的方框中的9个数之和是方框正中心的数的9倍.
②设方框正中心的数为x,其余为(x-8),(x-7),(x-6),(x-1),(x+1),(x+6),(x+7),(x+8).
(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)=9x.
③成立.
点评设方框正中心的数为x,则其余的数就可以表示出来:
(x-8),(x-7),(x-6),(x-1),(x+1),(x+6),(x+7),(x+8).
演变
变式1①若一横行相邻的三个数的和为48,则这三个数是多少?
②若一竖列相邻的三个数的和为42,则这三个数是多少?
解①设第一个数为x,则其余的数为(x+1),(x+2).
所以x+(x+1)+(x+2)=48,解得x=15.
因此,这3个数为15,16,17.
②设第一个数为x,则其余的数为(x+7),(x+14).
由x+(x+7)+(x+14)=42,得x=7.
所以这3个数为7,14,21.
变式2①如果带阴影的方框里的数是4个,你能得出什么结论?
②对于带阴影的框中的4个数,又能得出什么结论?
x(a)
x+1(b)
x+7(c)
x+8(d)
(答案:
a+d=b+c)
变式3若用一个2*2的正方形框框住的4个数之和为48,求这4个数.
解设方框第一个数为x,则其余的数就可以表示出来:
(x+1),(x+7),(x+8).
得x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=48,x=8,所以这4个数为8,9,15,16.
变式4用3*3的正方形框框住9个数的和可能为198吗?
如果有可能,求出这9个数;如果不可能,说明理由.
解设方框正中心的数为x,其余为(x-8),(x-7),(x-6),(x-1),(x+1),(x+6),(x+7),(x+8).
(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)=198,
解得x=22.
所以这9个数为14,15,16,21,22,23,27,29,30.
变式5如图,是由一些奇数排成的数阵,框中的四个数有什么关系?
①若这样框出的四个数的和是200,求这四个数
②是否存在这样的四个数,使他们的和为2008,为什么?
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
解设第一个数为x,其余为(x+2),(x+8),(x+10),且对角两数的和相等.
①x+(x+2)+(x+8)+(x+10)=200,解得x=45.
所以这4个数为45,47,53,55.
②存在,x+(x+2)+(x+8)+(x+10)=2008,
解得x=497.
所以这4个数为497,499,505,507
变式6类式演变,把奇数换成偶数,请同学们自己探究①②③.
3.1从算式到方程
题目一个梯形的下底比上底多2cm,高是5cm,面积是40cm2,求上底.(人教课本P823)
解设上底为xcm,则
×5=40,
解得x=7,此即为梯形的上底.
点评梯形的面积公式的4个字母中,知道其中3个便可求出第四个字母来.
演变
变式1在梯形的面积公式s=
h中,s=30,a=8,h=4,求b.(答案:
7)
变式2在梯形的面积公式s=
h中,s=60,a=8,b=12,求h.(答案:
6)
变式3在梯形的面积公式s=
h中,把s、b、h当成已知量,求未知量a.
(答案:
a=
-b)
解s=
h,2s=(a+b)h,
∴a+b=
,a=
-b.
变式4物体从高出自由落下时,经过的距离s与时间t有s=
gt2的关系,这里的g是一个常数,当t=2时,s=19.6,求t=3时s的值.
解由19.6=
×g×22,解得g=9.8,
∴s=
×9.8×32=44.1.
点评本题属于“给值求值”类型,宜先求出常数g的值.
3.2解一元一次方程
题目解方程:
6x-7=4x-5.(人教课本P772
(1))
解6x-4x=-5+7,
2x=2,
x=1.
点评把未知数移到等号的左边,常数项移到等号的右边,再合并同类项.移项后一定要变号.
演变
变式1x为何值时6x-7与4x-5互为相反数?
解(6x-7)+(4x-5)=0,
10x=12,
x=1.2.
变式2若方程6x-7=4x-5的解与关于x的方程3a+x=26-2a的解相同,求a的值.
解6x-7=4x-5,
6x-4x=-5+7,
2x=2,
x=1.
把x=1代入3a+x=26-2a得3a+1=26-2a得a=5.
变式3以方程6x-7=4x+5为模型编一道应用题.
如:
把一些书分给若干位学生阅读,如果每人分6本,则差7本;如果每人分4本,则多5本.求有多少位学生阅读书?
变式4令6=m,7=a,4=n,5=b,方程可变式为mx-a=nx-b,试求解之.
(答案:
①当m≠n时,
,②当m=n,a=b时,有无数个解;当a≠b时,方程无解)
3.2解一元一次方程
题目有一列数,按一定规律排成1,-3,9,-27,81,-243,…,其中某三个相邻数的和是-1701,这三个数各是多少?
(人教课本P91例3)
分析任意相邻三个数的比是1:
(-3):
9,也就知道了相邻三个数所占的份数,如果设其中一份为x,那么这三个数课分别表示为x,-3x,9x.
解设其中一份为x,那么这三个数课分别表示为x,-3x,9x.
根据题意,得x-3x+9x=-1701,
解得x=-243,
这三个数分别为-243,729,-2187.
点评对于生活中的一些问题,我们可以根据已知条件,探索到几个未知量的关系,然后通过设出其中一份为X,再将其余的量用X表示出来,从而顺利地列出方程,使问题得以解决.
演变
变式1张亮有三种邮票共18枚,它们的数量比为1:
2:
3,则最多的一种邮票有多少枚?
分析18枚邮票可被分成1+2+3=6份,这样若设每一份为x枚,则可以列出一元一次.
解设每一份为x枚.
则根据题意,得x+2x+3x=18,解得x=3.
此时3x=9.
所以,最多的一种邮票有9枚.
变式2某车间每天能生产甲种零件500只,或者乙种零件600只,或者丙种零件750只,甲乙丙三种零件各
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