最短路问题和用割补法求面积.docx
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最短路问题和用割补法求面积.docx
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最短路问题和用割补法求面积
1.甲、乙、丙是三个镇,中间有一条河把甲、丙和乙隔开,如图13—12,要使这三个镇中任何两个镇之间都有最短通路,除了在甲、丙之间修一条直线型公路外,还需要在河面上架两座桥,使甲与乙、乙与丙之间也有通路.这两座桥应架在什么地方最合理.
2.有两条通讯路线a和b,如图13—13,通讯员从c处出发,查完两条线后到d处,作图表示他怎样走路程最短(假设到达通讯线路的任何一处都可完成查线工作)?
3.要在两条街道(如图13—14)a和b上各设立一个邮筒,m处是邮局,问邮筒设在哪里才能使邮递员从邮局出发,到两个邮筒取完信再回到邮局的路程最短?
4.一个小虫从圆柱体(如图13—15)的a点处绕圆柱体侧面一周,最后爬到顶点b处.请画出小虫从a点绕到圆柱体侧面到达b点的最短路线.
5.如图13—16,a、b、c三点分别是正方体三条棱的中点.假设一只蚂蚁沿着正方体的表面从中点a爬到中点c,图中所示路线是否为蚂蚁爬行的最短路线,为什么?
答案仅供参考:
1.如图13-1’所示,桥应架在ab、cd位置上.
2.如图13-2’所示,沿c→p→q→d走路程最短.
3.如图13-3’所示,邮筒应设在e、f两点,沿m→e→f→m路线为最短.
4.将圆柱体的侧面展开成一个长方形,如图13-4’.从a到b的直线段最短,把侧面展开图卷成圆柱,那么直线段ab就变成圆柱体侧面上的曲线ab,小虫沿着这条曲线爬行是最短路线.
5.要求a到c的最短路线,可以先把立方体展开,使它相邻两个面处于同一平面内.蚂蚁从a到c有两条路线可以选择:
(1)将朝上的一面与朝前的一面展开在同一平面内,连结ac,则ac一定过中点b,如图13-5’.假设正方体的棱长为2个长度单位,则由勾股定理,得:
ac2=22+22=8
(2)把朝前和朝右的一面展开在同一平面内,连结ac,如图13-6’.同样可以求得
ac2=12+(2+1)2=10
比较两种路线,由于8小于10,所以沿第一条路线从a到c的路线为最短,即图13-21所示路线是蚂蚁爬行的最短路线.
例1甲、乙两村之间隔一条河,如图13—1.现在要在小河上架一座桥,使得这两村之间的行程最短,桥应修在何处?
分析:
设甲、乙两村分别用点a、b表示.要在河上架桥,关键是要选取一个最佳建桥的位置,使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短.即从甲村到甲村河边的桥头的距离加上桥长(相当于河的宽度),再加上乙村到乙村河边的桥头的距离尽可能短,这是一个求最短折线的问题.直接找出这条折线很困难,能否可以把它转化为直线问题呢?
由于河的宽度不变,不论桥修在哪里,桥都是必经之路,且桥长相当于河宽,是一个定值,所以可以预先把这段距离扣除,只要使两镇到河边桥头的距离最短就可以了.
所谓预先将桥长扣除,就是假设先走完桥长,即先把桥平移到甲村,先过了桥,到c点,如图13—2,找出c到b的最短路线,实际上求最短折线问题转化为直线问题.
解:
如图13—2.过a点作河岸的垂线,在垂线上截取ac的长等于河宽.连bc交与乙村的河岸于f点,作ef垂直于河的另一岸于e点,则ef为架桥的位置,也就是ae+ef+fb是两村的最短路线.
例2如图13—3,a、b两个学校都在公路的同侧.想在这两校的附近的公路上建一个汽车站,要求车站到两个学校的距离之和最小,应该把车站建在哪里?
分析:
车站建在哪里,使得a到车站与b到车站的距离之和最小,仍然是求最短折线问题,同例1一样关键在于转化成直线问题就好办了.采用轴对称(直线对称)作法.
解:
作点b关于公路(将公路看作是一条直线)的对称点b′,如图13—4,即过b点作公路(直线)的垂线交直线于o,并延长bo到b′,使bo=ob′.连结ab′交直线于点e,连be,则车站应建在e处,并且折线aeb为最短.
为什么这条折线是最短的呢?
分两步说明:
(1)因为b与b′关于直线对称,根据对称点的性质知,对称轴上的点到两个对称点的距离相等,有be=b′e,所以
ab′=ae+eb′=ae+eb
(2)设e′是直线上不同于e的任意一点,如图13—5,连结ae′、e′b、e′b′,可得
ae′+e′b=ae′+e′b′>ab′(两点之间线段最短)
上式说明,如果在e点以外的任意一点建车站,所行的路程都大于折线aeb.
所以折线aeb最短.
例3如图13—6,河流ef与公路fd所夹的角是一个锐角,某公司a在锐角efd内.现在要在河边建一个码头,在公路边修建一个仓库,工人们从公司出发,先到河边的码头卸货,再把货物转运到公路边的仓库里去,然后返回到a处,问仓库、码头各应建在何处,使工人们所行的路程最短.
分析:
工人们从a出发先到河边码头,再到公路的仓库,然后回到a处,恰好走一个三角形,现在要求三角形的另外两个顶点分别建在河岸与公路的什么位置能使这个三角形的三边之和为最小,利用轴对称原理作图.
解:
过a分别作河岸、公路的对称点a′、a″,如图13—7,连结a′a″,交河岸于m,交公路于n,则三角形amn各边之和等于直线a′a″的长度,所以仓库建在n处,码头建在m处,使工人们所行的路程最短.
例4如图13—8是一个长、宽、高分别为4分米、2分米、1分米的长方体纸盒.一只蚂蚁要从a点出发在纸盒表面上爬到b点运送食物,求蚂蚁行走的最短路程.
分析:
因为是在长方体的表面爬行,求的是立体图形上的最短路线问题,往往可以转化为平面上的最短路线问题.将蚂蚁爬行经过的两个面展开在同一平面上,如图13—9,在展开图中,ab间的最短路线是连结这两点的直线段,但要注意,蚂蚁可沿几条路线到达b点,需对它们进行比较.
解:
蚂蚁从a点出发,到b点,有三条路线可以选择:
(1)从a点出发,经过上底面然后进入前侧面到达b点,将这两个平面展开在同一平面上,这时a、b间的最短路线就是连线ab,如图13—9
(1),ab是直角三角形abc的斜边,根据勾股定理,ab2=ac2+bc2=(1+2)2+42=25
(2)从a点出发,经过左侧面,然后进入前侧面到达b点,将这两个面展开在同一平面上,如图13—9
(2),同理
ab2=22+(1+4)2=29
(3)从a点出发,经过上底面,然后进入右侧面到达b点,将这两个面展开在同一平面上,如图13—9(3),得
ab2=(2+4)2+12=37
比较这三条路线,25最小,所以蚂蚁按图13—9
(1)爬行的路线最短,最短路程为5分米.
例5如图13—10,在圆柱形的木桶外,有一个小甲虫要从桶外的a点爬到桶内的b点.已知a点到桶口c点的距离为14厘米,b点到桶口d点的距离是10厘米,而c、d两点之间的弧长是7厘米.如果小甲虫爬行的是最短路线,应该怎么走?
路程是多少?
分析:
先设想将木桶的圆柱展开成矩形平面,如图13—11,由于b点在桶内,不便于作图,利用轴对称原理,作点b关于直线cd的对称点b′,这就可以用b′代替b,从而找出最短路线.
解:
如图13—11,将圆柱体侧面展成平面图形.作点b关于直线cd的对称点b′,连结ab′,ab′是a、b′两点间的最短距离,与桶口边交于o点,则ob′=ob,ab′=ao+ob,那么a、b之间的最短距离就是ao+ob,所以小甲虫在桶外爬到o点后,再向桶内的b点爬去,这就是小甲虫爬行的最短路线.
延长ac到e,使ce=b′d,因为△aeb′是直角三角形,ab′是斜边,eb′=cd=7厘米,ae=14+10=24(厘米),根据勾股定理:
ab′2=ae2+eb′2=242+72=625
所以ab′=25(厘米)
即小甲虫爬行的最短路程是25厘米.
用割补法求面积
例1求下列各图中阴影部分的面积:
分析与解:
(1)如左下图所示,将左下角的阴影部分分为两部分,然后按照右下图所示,将这两部分分别拼补在阴影位置。
可以看出,原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形,其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
(2)在题图虚线分割的两个正方形中,右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆,在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。
如下图所示,将右边的阴影部分平移到左边正方形中。
可以看出,原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积,为5×5=25。
例2在一个等腰三角形中,两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图),求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
分析与解:
阴影部分是一个梯形。
我们用三种方法解答。
(1)割补法
从顶点作底边上的高,得到两个相同的直角三角形。
将这两个直角三角
(2)拼补法
将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图)。
积和平行四边行面积同时除以2,商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面
(3)等分法
将原图等分成9个小三角形(见右上图),阴影部分占3个小三角形,
注意,后两种方法对任意三角形都适用。
也就是说,将例题中的等腰三角形换成任意三角形,其它条件不变,结论仍然成立。
例3如左下图所示,在一个等腰直角三角形中,削去一个三角形后,剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形(阴影部分)。
求这个梯形的面积。
分析与解:
因为不知道梯形的高,所以不能直接求出梯形的面积。
可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。
将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形(上页右下图),图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差,也是所求梯形面积的4倍。
所以所求梯形面积是(9×9-5×5)÷4=14(厘米2)。
例4在左下图的直角三角形中有一个矩形,求矩形的面积。
分析与解:
题中给出了两个似乎毫无关联的数据,无法沟通与矩形的联系。
我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形(见右上图)。
因为A与A′,B与B′面积分别相等,所以甲、乙两个矩形的面积相等。
乙的面积是4×6=24,所以甲的面积,即所求矩形的面积也是24。
例5下图中,甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米,甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。
求乙正方形的面积。
分析与解:
如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙,所剩的A,B,C三部分之和就是40厘米2(见左下图)。
把C割下,拼补到乙正方形的上面(见右上图),这样A,B,C三块就合并成一个长20厘米的矩形,面积是40厘米2,宽是40÷20=2(厘米)。
这个宽恰好是两个正方形的边长之差,由此可求出乙正方形的边长为(20-2)÷2=9(厘米),从而乙正方形的面积为9×9=81(厘米2
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