初二数学几何证明初步经典练习题含答案.docx
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初二数学几何证明初步经典练习题含答案
初二数学----几何证明初步经典练习题(含答案)
几何证明初步练习题
编辑整理:
临朐王老师
1、三角形的内角和定理:
三角形的内角和等于180°.
推理过程:
作CM∥AB,则∠A=,∠B=,∵∠ACB+∠1+∠2=1800(,∴∠A+∠B+∠ACB=1800.
作MN∥BC,则∠2=,∠3=,∵∠1+∠2+∠3=1800,∴∠BAC+∠B+∠C=1800.
2.求证:
在一个三角形中,至少有一个内角大于或者等于60°。
3、.如图,在△ABC中,∠C>∠B,求证:
AB>AC。
4.已知,如图,AE//DC,∠A=∠C,求证:
∠1=∠B.
5.已知:
如图,EF∥AD,∠1=∠2.求证:
∠AGD+∠BAC=180°.
反证法经典例题
6.求证:
两条直线相交有且只有一个交点.
7.如图,在平面内,AB是L的斜线,CD是L的垂线。
求证:
AB与CD必定相交。
8.求证:
是无理数。
一.角平分线--轴对称
9、已知在ΔABC中,E为BC的中点,AD平分
,BD⊥AD于D.AB=9,AC=13求DE的长
第9题图第10题图第11题图
分析:
延长BD交AC于F.可得ΔABD≌ΔAFD.则BD=DF.又BE=EC,即DE为ΔBCF的中位线.∴DE=
FC=
(AC-AB)=2.
10、已知在ΔABC中,
,AB=AC,BD平分
.求证:
BC=AB+CD.
分析:
在BC上截取BE=BA,连接DE.可得ΔBAD≌ΔBED.由已知可得:
,
,
.∴
,∴CD=CE,∴BC=AB+CD.
11、如图,ΔABC中,E是BC边上的中点,DE⊥BC于E,交
的平分线AD于D,过D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N.求证:
BM=CN.
分析:
连接DB与DC.∵DE垂直平分BC,∴DB=DC.易证ΔAMD≌ΔAND.
∴有DM=DN.∴ΔBMD≌ΔCND(HL).∴BM=CN.
二、旋转
12、如图,已知在正方形ABCD中,E在BC上,F在DC上,BE+DF=EF.
求证:
.
分析:
将ΔADF绕A顺时针旋转
得
.∴
.易证ΔAGE≌ΔAFE.
∴
13、如图,点E在ΔABC外部,D在边BC上,DE交AC于F.若
,
AC=AE.求证:
ΔABC≌ΔADE.
分析:
若ΔABC≌ΔADE,则ΔADE可视为ΔABC绕A逆时针旋转
所得.则有
.
∵
,且
.∴
.又∵
.
∴
.再∵AC=AE.∴ΔABC≌ΔADE.
14、如图,点E为正方形ABCD的边CD上一点,点F为CB的延长线上的一点,且EA⊥AF.求证:
DE=BF.
分析:
将ΔABF视为ΔADE绕A顺时针旋转
即可.
∵
.∴
.
又∵
,AB=AD.∴ΔABF≌ΔADE.(ASA)∴DE=DF.
平移
第14题图第15题图第16题图第17题图
三、平移
15、如图,在梯形ABCD中,BD⊥AC,AC=8,BD=15.求梯形ABCD的中位线长.
分析:
延长DC到E使得CE=AB.连接BE.可得
.可视为将AC平移到BE.AB平移到CE.由勾股定理可得DE=17.∴梯形ABCD中位线长为8.5.
16、已知在ΔABC中,AB=AC,D为AB上一点,E为AC延长线一点,且BD=CE.求证:
DM=EM分析:
作DF∥AC交BC于F.易证DF=BD=CE.则DF可视为CE平移所得.
∴四边形DCEF为
.∴DM=EM.线段中点的常见技巧--倍长
四、倍长
17、已知,AD为
的中线.求证:
AB+AC>2AD.
分析:
延长AD到E使得AE=2AD.连接BE易证ΔBDE≌ΔCDA.
∴BE=AC.∴AB+AC>2AD.
18、如图,AD为ΔABC的角平分线且BD=CD.求证:
AB=AC.
分析:
延长AD到E使得AD=ED.易证ΔABD≌ΔECD.∴EC=AB.
∵
.∴
.∴AC=EC=AB.
19、已知在等边三角形ABC中,D和E分别为BC与AC上的点,且AE=CD.连接AD与BE交于点P,作BQ⊥AD于Q.求证:
BP=2PQ.
分析:
延长PD到F使得FQ=PQ.在等边三角形ABC中AB=BC=AC,
.又∵AE=CD,∴BD=CE.∴ΔABD≌ΔBCE.
∴
.∴
.
易证ΔBPQ≌ΔBFQ.得BP=BF,又
.∴ΔBPF为等边三角形.
∴BP=2PQ.
中位线
五、中位线、中线:
20、已知在梯形ABCD中,AD∥BC,E和F分别为BD与AC的中点,
求证:
.
分析:
取DC中点G,连接EG与FG.则EG为ΔBCD中位线,FG为ΔACD的中位线.
∴EG∥=
BC,FG∥=
AD.∵AD∥BC.∴过一点G有且只有一条直线平行于已知直线BC,即E、F、G共线.∴
.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
21、已知,在
中
.E为OA的中点,F为OD中点,G为BC中点.求证:
EF=EG.
分析:
连接BE.∵
,AE=OE.∴BE⊥CE,∵BG=CG.
∴
.又EF为ΔAOD的中位线.∴
.∴EF=EG.
22、在ΔABC中,AD是高,CE是中线,DC=BE,DG⊥CE于G.
求证:
(1)CG=EG.(2)
.
分析:
(1)连接DE.则有DE=BE=DC.∴RtΔCDG≌RtΔEDG(HL).
∴EG=CG.
∵DE=BE.∴
.
∵DE=CD.∴
.∴
.
几何证明初步测验题
(1)
一、选择题(每空3分,共36分)
1、使两个直角三角形全等的条件是( )
A、一组锐角对应相等 B、两组锐角分别对应相等
C、一组直角边对应相等 D、两组直角边分别对应相等
2、如图,已知AB∥CD,∠A=50°,∠C=∠E.则∠C=( )
A.20° B.25° C.30° D.40°
第2题图第4题图第6题图第7题图
3、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”,应先假设这个三角形中( )
A.有两个角是直角B.有两个角是钝角C.有两个角是锐角 D.一个角是钝角,一个角是直角
4、如图,直线AB、CD相交于点O,∠BOE=90°,OF平分∠AOE,∠1=15°30’,则下列结论不正确的是( )
A.∠2=45° B.∠1=∠3C.∠AOD+∠1=180° D.∠EOD=75°30’
5、下列说法中,正确的个数为( )
①三角形的三条高都在三角形内,且都相交于一点
②三角形的中线都是过三角形的某一个顶点,且平分对边的直线
③在△ABC中,若∠A=
∠B=
∠C,则△ABC是直角三角形
④一个三角形的两边长分别是8和10,那么它的最短边的取值范围是2
A.1个B.2个C.3个 D.4个
6、如图,在AB=AC的△ABC中,D是BC边上任意一点,DF⊥AC于F,E在AB边上,使ED⊥BC于D,∠AED=155°,则∠EDF等于( )
A、50° B、65° C、70° D、75°
7、如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥BC于E,若BC=10cm,则△DEC的周长为( )
A.8cm B.10cm C.12cm D.14cm
8、如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为( )
A.
B.
C.5 D.4
9、如图,正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF,M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上.小明认为:
若MN=EF,则MN⊥EF;小亮认为:
若MN⊥EF,则MN=EF.你认为( )
A.仅小明对 B.仅小亮对 C.两人都对 D.两人都对
第9题图第10题图第11题图第12题图
10、如图,△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,则四个结论正确的是( ).
①点P在∠A的平分线上;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP.
A.全部正确; B.仅①和②正确;C.仅②③正确; D.仅①和③正确
11、如图,△ABC中,CD⊥AB于D,一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是( )
①∠1=∠
②
③∠
+∠2=90°④
=3:
4:
5 ⑤
A.1 B.2 C.3 D.4
12、如图,过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为( )
A.
B.
C.
D.不能确定
二、填空题(每空3分,共15分)
13、命题“对顶角相等”中的题设是_________ ,结论是___________ 。
14、请写出“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题:
15、如图,已知∠1=∠2,请你添加一个条件:
___________,使△ABD≌△ACD。
16、 对于同一平面内的三条直线
、
、
,给出下列五个论断:
①
∥
;②
∥
;③
⊥
;④
∥
;⑤
⊥
.以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题:
_____.
17、如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:
①AD=BE;②PQ∥AE; ③AP=BQ;④DE=DP; ⑤∠AOB=60°.
恒成立的结论有______________(把你认为正确的序号都填上).
三、计算、简答题
18、 已知:
如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F分别为垂足.
求
证:
AD垂直平分EF.
19、如图7,已知A、B、C在一条直线上,分别以AB、BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE,AE交BD于点F,DC交BE于点G。
求证:
AE=DC,BF=BG;
第19题图第20题图第21题图第22题图
20如果ABC三点不在一条直线上,那么AE=DC和BF=BG是否仍然成立明。
21、已知:
如图,P是正方形ABCD内一点,在正方形ABCD外有一点E,满足∠ABE=∠CBP,BE=BP.
(1)求证:
△CPB≌△AEB;
(2)求证:
PB⊥BE;
(3)图中是否存在旋转能够重合的三角形?
若存在,请说出旋转过程;若不存在,请说明理由.
22、如图,已知:
AD⊥BC,EF⊥BC,∠1=∠2.求证:
∠3=∠B.
23、如下图,△ABC中,∠ACB=90°,D为AB上一点,过D点作AB的垂线,交AC于E,交BC的延长线于F。
(1)∠1与∠B有什么关系?
说明理由。
(2)若BC=BD,请你探索AB与FB的数量关系,并且说明理由。
24、阅读理解题
我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型,来逐步认识这个事物;比如我们通过学习两类特殊的四边形,即平行四边形和梯形(继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等)来逐步认识四边形;我们对课本里特殊四边形的学习,一般先学习图形的定义,再探索发现其性质和判定方法,然后通过解决简单的问题巩固所学知识。
请解决以下问题:
如图,我们把满足
、
且
的四边形
叫做“筝形”;
(1) 写出筝形的两个性质(定义除外);
(2) 写出筝形的两个判定方法(定义除外),并选出一个进行证明;
参考答案
一、选择题
1、D 2、B3、A4、D5、A6、B 7、B8、49、C
10、A 提示:
连结AP.综合运用全等三角形、平行线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质证△PRA≌△PSA,AR=AS来解决问题.
11、C12、B
二、填空题
13、两个角是对顶角;它们相等;
14、有两个角相等的三角形是等腰三角形;
15、∠B=∠C_或BD=C
D等(答案不唯一)
16、答案不唯一,合理、正确即可;
17、①②③⑤
三、简答题
18、提示:
由角平分线的性质定理,可得DE=DF,进而求得∠DEF=∠DFE,∠AEF=∠AFE,所以AE=AF,所以AD垂直平分EF.
19、⑴提示:
通过证明△ABE≌△DBC得出AE=DC;
通过证明△BFE≌△BGC得出BF=BG
⑵AE=DC仍然成立,但BF=BG不成立,证明略
20、
(1)略;
(2)略;(3)存在,把△CBP绕点B顺时针旋转90°就与△ABC重合
21、略
22、解:
(1)∠1=∠B
理由:
由∠ACB=90°,知∠1+∠F=90°
又DF⊥AB,所以∠B+∠F=90°
则∠1=∠B
(2)AB=FB
理由:
在△ABC和△FBD中,
≌
23、24.
(1)=.
(2)=.
方法一:
等边三角形
中,
是等边三角形,
又
.
方法二:
在等边三角形
中,
而由
是正三角形可得
24、
几何证明初步测验题
(2)
一、选择题每空3分,共36分)
1、等腰三角形的周长是18cm,其中一边长为4cm,其它两边长分别为( )
A.4cm,10cm B.7cm,7cm C.4cm,10cm或7cm,7cm D.无法确定
2、若A、B、C三点在同一条直线上,且AB=5,BC=3,那么AC=( )
A、8 B、2 C、2或8 D、4
3、如图,一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上,若∠AOD=150°,则∠BOC等于 ( )
A.30° B.45° C.50° D.60°
4、一架飞机向北飞行,两次改变方向后,前进的方向与原来的航行方向平行,已知第一次向左拐50°,那么第二次向右拐( )
A.40°; B.50°; C.130°; D.150°.
5、如图,AB∥EF,∠C=90°,则
、
、
的关系为( )
A.
B.
C.
D.
6、如图,三角形ABC中,AD平分∠BAC,EG⊥AD,且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G,下列四个式子中正确的是( )
第6题图第7题图
7、如图,小明作出了边长为的第1个正△A1B1C1,算出了正△A1B1C1的面积。
然后分别取△A1B1C1的三边中点A2、B2、C2,作出了第2个正△A2B2C2,算出了
正△A2B2C2的面积。
用同样的方法,作出了第3个正△A3B3C3,算出了正△A3B3C3的
面积……,由此可得,第10个正△A10B10C10的面积是( )
A.
B.
C.
D.
8、如图,在△ABC中,D、E分别是边AC、BC上的点,
若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C的度数为( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
第8题图第9题图第10题图第11题图
9、在等腰△ABC中,AB=AC,BE、CD分别是底角的平分线,DE∥BC,
图中等腰三角形有( )A、3个 B、4个C、5个 D、6个
10、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,AC⊥BD于点O,∠BAC=60°,若BC=
,则此梯形的面积为( )
A.2 B.
C.
D.
11、如图所示,在△ABC中∠BAC=90°,D是BC中点,AE⊥AD交CB延长线于E点,则下列结论正确的是( )
A.△AED∽△ACB B.△AEB∽△ACD C.△BAE∽△ACE D.△AEC∽△DAC
12、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图1).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图2)的对应点所具有的性质是( )
A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线被对称轴平分
C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线互相平行
二、填空题(每空3分,共15分)
13、如图a是长方形纸带,∠DEF=25°,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c中的∠CFE的度数是_________°.
第13题图第14题图
14、如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ。
则下列结论:
①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP。
其中正确的是 。
15、如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,EF为中位线,若AB=2b,EF=a,
则阴影部分的面积______.
16、如图,已知正方形ABCD,E是BA延长上的点,且∠E=60°,现将△ADE绕点A顺时方向旋转到△AGF的位置,则当旋转角度∠EAF=_____________时,FG∥AB。
。
15题16题17题18题
三、计算与简答题
17、如图所示,折叠长方形一边AD,点D落在BC边的点F处,已知BC=10厘米,AB=8厘米,求FC和EF的长。
18、如图,点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AG为边作一个正方形AEFG,线段EB和GD相交于点H.
(1)求证:
EB=GD;
(2)判断EB与GD的位置关系,并说明理由;
(3)若AB=2,AG=
,求EB的长.
19、如图,
是等边三角形,
是顶角
的等腰三角形,以D为顶点作60°的角,它的两边分别与AB,AC交于点M和N,连结MN。
(1)探究:
之间的关系,并加以证明;
(2)若点M,N分别在射线AB,CA上,其他条件不变,再探究线段BM,MN,NC之间的关系,在下图中画出相应的图形,并就结论说明理由。
20、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在射线DE上,并且EF=AC.
(1)求证:
AF=CE;
(2)当∠B的大小满足什么条件时,四边形ACEF是菱形?
请回答并证明你的结论;(3)四边形ACEF有可能是正方形吗为什么
参考答案
一、1、B2、C3、A4、B;5、D6、C7、A8、D9、D10、D11、C.12、B
二、13、 130°.14、
15、ab16、60°
三、17、4厘米和5厘米。
18、
(1)证明:
在△GAD和△EAB中,∠GAD=90°+∠EAD,∠EAB=90°+∠EAD,
∴∠GAD=∠EAB,
又∵AG=AE,AB=AD,
∴△GAD≌△EAB,
∴EB=GD;
(2)EB⊥GD,理由如下:
连接BD,
由
(1)得:
∠ADG=∠ABE,则在△BDH中,
∠DHB=180°-(∠HDB+∠HBD)=180°-90°=90°,
∴EB⊥GD;
(3)设BD与AC交于点O,
∵AB=AD=2在Rt△ABD中,DB=
,
∴EB=GD=
.
19、
(1)关系为MN=BM+NC。
(2)关系式:
MN=CN—BM。
20、解:
(1)∵∠ACB=900,BC⊥BC,∴DF∥AC,
又∵EF=AC,∴四边形EFAC是平行四边形,
∴AF=CE.
(2)当∠B=300时四边形EFAC是菱形.
(3)不可能.若四边形EFAC是正方形,则E与D重合,A与C重合,
不可能有∠B=300.
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