同角三角函数基本关系式与诱导公式.docx
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同角三角函数基本关系式与诱导公式
同角三角函数基本关系式与诱导公式
1.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
2.理解同角三角函数的基本关系式:
sin2x+cos2x=1,=tanx.
◆教材通关◆
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系:
sin2α+cos2α=1;
(2)商数关系:
tanα=.
2.诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α
(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sin_α
-sin_α
-sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos_α
-cos_α
cos_α
-cos_α
sin_α
-sin_α
正切
tan_α
tan_α
-tan_α
-tan_α
口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变,
符号看象限
[小题诊断]
1.若α∈,sinα=-,则cos(-α)=( )
A.- B.
C.D.-
解析:
因为α∈,sinα=-,所以cosα=,即cos(-α)=.
答案:
B
2.已知sin(π+θ)=-cos(2π-θ),|θ|<,则θ等于( )
A.-B.-
C.D.
解析:
∵sin(π+θ)=-cos(2π-θ),
∴-sinθ=-cosθ,∴tanθ=.∵|θ|<,∴θ=.
答案:
D
3.已知α∈,sinα=,则tanα=________.
解析:
∵α∈,∴cosα=-=-,
∴tanα==-.
答案:
-
4.如果sin(π+A)=,那么cos的值是________.
解析:
∵sin(π+A)=,∴-sinA=.
∴cos=-sinA=.
答案:
5.已知sin(3π-α)=-2sin,则sinαcosα=________.
解析:
∵sin(3π-α)=-2sin,
∴sinα=-2cosα,
∴tanα=-2,
∴sinαcosα=
==
=-.
答案:
-
◆易错通关◆
由于三角函数的变量是角,因此只要与三角函数有关的问题都必须考虑角的取值范围,如利用正弦与余弦的平方关系时可能遇到开方,必须考虑符号,也就必须考虑角的取值范围,或求某种三角函数值时,由于解答过程中可能进行平方运算,如果忽视角的取值范围,那么就可能造成多解.
[小题纠偏]
已知sinθ+cosθ=,θ∈,则tanθ=________.
解析:
sinθ+cosθ=,平方得2sinθ·cosθ=-,则=-,分子分母同时除以cos2θ,得=-,
所以12tan2θ+25tanθ+12=0,
解得tanθ=-或tanθ=-.
因θ∈,sinθ+cosθ=>0,故sinθ>|cosθ|>0,所以只有tanθ=-.
答案:
-
考点一 三角函数的诱导公式 自主探究 基础送分考点——自主练透
[题组练通]
1.(优质试题·合肥模拟)已知f(x)=sinx+cosx,则下列结论成立的是( )
A.f(x+π)=sinx+cosx
B.f(π-x)=sinx+cosx
C.f(x+)=sinx+cosx
D.f(-x)=sinx+cosx
解析:
由f(x+π)=sin(x+π)+cos(x+π)=-sinx-cosx,f(π-x)=sin(π-x)+cos(π-x)=sinx-cosx,f(x+)=sin(x+)+cos(x+)=cosx-sinx,f(-x)=sin(-x)+cos(-x)=cosx+sinx,故选D.
答案:
D
2.化简:
=________.
解析:
==cosα.
答案:
cosα
3.已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos(+β)+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则sinβ的值为________.
解析:
2tan(π-α)-3cos(+β)+5=0化为-2tanα+3sinβ+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1化为tanα-6sinβ=1,因而sinβ=.
答案:
4.(优质试题·枣庄模拟)已知cos=a(|a|≤1),则cos+sin的值是________.
解析:
由题意知,cos=cos
=-cos=-a.
sin=sin=cos=a,
∴cos+sin=0.
答案:
0
应用诱导公式的思路与技巧
(1)使用诱导公式的一般思路
①化大角为小角.
②角中含有加减的整数倍时,用公式去掉的整数倍.
(2)常见的互余和互补的角
①常见的互余的角:
-α与+α;+α与-α;+α与-α等.
②常见的互补的角:
+θ与-θ;+θ与-θ等;
(3)三角函数式化简的方向
①切化弦,统一名.
②用诱导公式,统一角.
③用因式分解将式子变形,化为最简.
考点二 同角三角函数的基本关系 多维探究 题点多变考点——多角探明
[锁定考向] 同角三角函数的基本关系是三角变换的基础,也是高考命题的热点、难度不大,属低档题.
常见的命题角度有:
(1)知弦求弦、切问题;
(2)知切求弦问题;(3)sinα±cosα,sinαcosα的关系应用问题.
角度一 知弦求弦、切问题
1.已知cosα=k,k∈R,α∈,则sin(π+α)=( )
A.- B.
C.±D.-k
解析:
由cosα=k,α∈,得sinα=,
∴sin(π+α)=-sinα=-,故选A.
答案:
A
2.(优质试题·厦门质检)若α∈,sin(π-α)=,则tanα=( )
A.-B.
C.-D.
解析:
∵α∈,sinα=,
∴cosα=-,∴tanα=-.
答案:
C
角度二 知切求弦问题
3.已知tan(α-π)=,且α∈,则sin=( )
A.B.-
C.D.-
解析:
tan(α-π)=⇒tanα=.
又因为α∈,所以α为第三象限角,
所以sin=cosα=-.
答案:
B
4.(优质试题·高考全国卷Ⅲ)若tanα=,则cos2α+2sin2α=( )
A.B.
C.1D.
解析:
因为tanα=,所以cos2α+2sin2α====.故选A.
答案:
A
角度三 sinα±cosα,sinαcosα的关系应用问题
5.已知sinθ+cosθ=,θ∈,则sinθ-cosθ的值为( )
A.B.-
C.D.-
解析:
因为(sinθ+cosθ)2=sin2θ+cos2θ+2sinθ·cosθ=1+2sinθcosθ=,所以2sinθcosθ=,则(sinθ-cosθ)2=sin2θ+cos2θ-2sinθ·cosθ=1-2sinθcosθ=.
又因为θ∈,所以sinθ<cosθ,
即sinθ-cosθ<0,
所以sinθ-cosθ=-.
答案:
B
6.α是第二象限的角,化简:
=________.
解析:
原式=
=
===.
答案:
同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧
解读
适合题型
切弦
互化
主要利用公式tanθ=化成正弦、余弦,或者利用公式=tanθ化成正切
表达式中含有
sinθ,cosθ与
tanθ
“1”的
变换
1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan=(sinθ±cosθ)2∓2sinθcosθ
表达式中需要利用“1”转化
和积
转换
利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化
表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ
[即时应用]
1.若sinθcosθ=,则tanθ+的值是( )
A.-2B.2
C.±2D.
解析:
tanθ+=+==2.
答案:
B
2.已知2sinθ=1+cosθ,则tanθ=( )
A.-或0B.或0
C.-D.
解析:
将2sinθ=1+cosθ两边平方并整理可得5cos2θ+2cosθ-3=0,解得cosθ=-1或.当cosθ=-1时,θ=2kπ+π,k∈Z,得tanθ=0;当cosθ=时,sinθ=(1+cosθ)=,得tanθ=.故选B.
答案:
B
3.已知sinα+cosα=-,则tanα+=( )
A.2B.
C.-2D.-
解析:
∵sinα+cosα=-,∴(sinα+cosα)2=(-)2,解得sinαcosα=.
∴tanα+=+===2.故选A.
答案:
A
4.已知-<α<0,sinα+cosα=,则=( )
A.B.
C.D.
解析:
∵sinα+cosα=,∴1+2sinαcosα=,
∴2sinαcosα=-,(cosα-sinα)2=1+=.
又∵-<α<0,∴cosα>0>sinα,∴cosα-sinα=,
∴===.
答案:
B
课时作业
A组——基础对点练
1.若cosα=,α∈,则tanα等于( )
A.- B.
C.-2D.2
解析:
∵α∈,
∴sinα=-=-=-,
∴tanα==-2.
答案:
C
2.sin(-600°)的值为( )
A.B.
C.1D.
解析:
sin(-600°)=sin(-720°+120°)=sin120°=.
答案:
A
3.已知sin=,那么cosα=( )
A.-B.-
C.D.
解析:
∵sin=sin=cosα,
∴cosα=.故选C.
答案:
C
4.已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin235°,cos235°),则α=( )
A.215°B.225°
C.235°D.245°
解析:
由诱导公式可得sin235°=-sin55°<0,cos235°=-cos55°<0,角α终边上一点的横坐标、纵坐标均为负值,故该点在第三象限,由三角函数定义得sinα=cos235°=-cos55°=sin(270°-55°)=sin215°,又0°≤α<360°,所以角α的值是215°,故选A.
答案:
A
5.已知sinα-cosα=,α∈(0,π),则sin2α=( )
A.-1B.-
C.D.1
解析:
∵sinα-cosα=,∴(sinα-cosα)2=1
-2sinαcosα=2,
∴2sinα·cosα=-1,∴sin2α=-1.故选A.
答案:
A
6.设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则( )
A.a>b>cB.b>c>a
C.c>b>aD.c>a>b
解析:
∵b=cos55°=sin35°>sin33°=a,
∴b>a.
又∵c=tan35°=>sin35°=cos55°=b,
∴c>b.∴c>b>a.故选C.
答案:
C
7.已知2tanα·sinα=3,-<α<0,则sinα=( )
A.B.-
C.D.-
解析:
因为2tanα·sinα=3,所以=3,
所以2sin2α=3cosα,即2-2cos2α=3cosα,所以cosα=或cosα=-2(舍去),又-<α<0,所以sinα=-.
答案:
B
8.若=,则tanθ=( )
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- 三角函数 基本 关系式 诱导 公式
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