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线性代数习题册答案
线性代数习题册答案
第一章行列式练习一班级学号
1.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:
(1)τ(3421)=5;
(2)τ(135642)=6;
(3)τ(13⋯(2n-1)(2n)⋯42)=2+4+6+⋯+(2n-2)=n(n-1).
2.由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列,则i=8、j=3
3.在四阶行列式中,项a12a23a34a41的符号为负.
00
4.04
21
1
2
2
1)
2
1
2
=-1+
2
2
1
5.计算下列行列式:
-8)+(-8)-(-4)
-(-4)―(-4)=-5
1
1
2)
1
1
1
1
3
+1+1-(-)-(-)―(-)
或
=-3+3+2=
(2)
(1)2
练习
班级学号
3
1.已知3阶行列式det(aij)=1,则行列式det(aij)=-1.
(1)311
1112.234=2
4916
0
1
2
1
0
3
则A41A42
1
1
0
2
5
4
1
1
3.已知D=
1
1
用1,1,1,1替换第4行
4.计算下列行列式:
1abc
(1)a1bcab1c
1
0
1
1
0
0
r1r3,r2
r3
0
1
1
c3
c1
0
1
1
a
b
1c
a
b
1c
11
1abc
b1c
xyxy
(2)yxyx
xyxy
2151
1306
0212
1476
1214
0121
1013
0131
5.计算下列
n阶行列式:
每行都加到第一行,并提公因式。
)
(2)
2
1
M
1
3
M
L
L
M
1
1
M
L
1
1
n1
a1b
a2
a3
L
an
(3)
a1
a2
b
a3
L
an
M
M
M
M
M
练习
班级学号
x1
x2
x31
1.设线性方程组x1
x2
x31有惟一解,则满足的条件是什么?
x1
x2
x31
1,0,1
x1
x2
x3
x45
x1
2x2
x3
4x4
2
2.求解线性方程组1
2x1
3x2
x3
5x4
2
3x1
x2
2x3
11x4
0
1,0,1
x1
x2
x3
0
3.已知齐次线性方程组
x1
x2
x3
0有非零解,求的值。
x1
x2
x3
0
32
4.求三次多项式f(x)a3x3a2x2a1xa0,使得:
f
(2)3,f
(1)4,f
(1)6,f
(2)19。
自测题
1.n阶行列式D=det(aij),则展开式中项a12a23a34Lan1,nan1的符号为
(1)
131
4.
2.已知3阶行列式det(aij)=,则行列式det(2aij)=
(2)3
22
4.已知齐次线性方程组
xyz0
x3yz0仅有零解,则的值应为
0,
1
yz
0
1
1
1
1
1
2
2
x
0的根为1,2,-2
3.方程
2
1
4
4
x
1
8
8
3x
11
312
(1)0,
01
5.设D
2xx1
1x1
32x
111
2
1
1
x
则D的展开式中x3的系数为
-1
6.计算下列行列式:
1322
3409
1)
2262
3383
1
2
2
L
2
2
2
2
L
2
2)Dn
2
2
3
L
2
M
M
M
M
M
2
2
2
L
n
11
1
1
2
3
1.设A11
1,B
1
2
4,求3AB2A及ATB。
1
11
0
5
1
班级
第二章矩阵及其运算
练习一
学号
2.设A、B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。
由题意,得:
ATA,BTB.
3.矩阵A和B满足什么条件时,(AB)2A22ABB2恒成立?
恒成立的条件是:
AB=BA.
1
4.设A123,B1,求AB,BA及(BA)100。
0
123
(BA)100BA123
1023k
5.设A,求A2,A3,L,Ak。
21
练习
班级学号
1.求下列矩阵的逆矩阵:
12
1)
25
123
2)012
001
211
2.设方阵A满足A2A2E0,证明A及A2E都可逆,并求A1及(A2E)1。
100
3.已知A020,ABA2BA8E,求B。
001
4.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A,证明:
n1
1)若A0,则A0;
(2)AAn1。
5.设P1AP,其中P14,10,求A11。
1102
练习
3
4
0
0
4
3
0
0
8及A4。
1.设A
,求A
0
0
2
0
0
0
2
2
班级
学号
2.求下列逆
矩阵:
1
2
0
0
(1)0
3
0
0
0
0
2
0
0
0
3
4
2)
O
B
A
O
1
,其中n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆。
自测题
.填空题:
12
1.若A3124,P
0
1
1
0
那么P2007AP2008=
3
1
4
2
2.A、B为三阶矩阵,A
1,B2,则(2ATB-1)2=8
3.已知(fx)=x23x5,A
a
0
0b,则f(A)=a
3a50
0b23b5
4.若A、B、C均为n
阶矩阵,且
ABBCCAE,
C2
3E
T
222abc
3
5.
是三维列向量,
T
111
111,则T=
3
111
.用初等变换法求A
152
2113的逆矩阵.
151
457
1
A1111
101
三.设矩阵A
100
110,求An.
011
四.证明:
n阶矩阵A对称的充分必要条件是AAT对称。
五.A、B为三阶可逆矩阵,
2A1BB4E,若B
120
120,求A.
102
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
练习一
班级学号1.判断题(正确打√,错误打×)1)
2)
3)
4)
5)
某矩阵的行(列)阶梯形矩阵是唯一的某矩阵的行(列)最简形矩阵不是唯一的某矩阵的标准形矩阵不是唯一的矩阵的初等变换都有逆变换,且逆变换与原变换同属一类任何一个矩阵总能通过初等变换化为标准形
×
×
×
√
√
)
)
)
)
)
2.已知线性方程组
x1
2x2
2x1
1
2x36x42,写出其增广矩阵,并将增广矩阵通过初等行变
9
2x2
3x2
换化为阶梯形、行最简形。
2
3.已知A
1
x3x4
2x4
10,将A化成标准形。
并写出P、Q,使A的标准形等于PAQ。
32
0
2
1
4.已知A2
1
3,利用矩阵的初等变换,求A1。
3
3
4
5117
1
A1132
364
1
1
5.已知A
0
1
1
0
0
1,AX2XA,求X。
1
练习
班级学号
1.选择题:
1)Amn的行阶梯形中只有前r(r (A)0; (B)m; (C)r; (D)n. 2)非零矩阵 Amn (m 中的所有的 2阶子式全为 0,则 A的标准形为(D) Em 0 00 0 0; 10 (A)m ;(B) ;(C) ; (D) 0 0m n 0Emmmm n0 0mn 00mn mn 3)方阵An的秩R(A)=n,则An必定不满足(D) (A)An可逆;(B)An与E等价;(C)R(A)n;(D)存在BO,使ABO 4)An为奇异矩阵,下列的错误的是(C) (A)R(A) R(AT); (B) R(A)n;(C)A0 ;(D)An不与单位阵E等价 3 1 0 2 2.已知矩阵A 1 1 2 1,求R(A)。 1 3 4 4 R(A)=2 1 2 3k 3.设A1 2k 3,问k为何值时,可分别使 (1)R(A)=1(;2)R(A)=2(;3)R(A)=3? k 2 3 4.已知n阶方阵A,使A2E为不可逆矩阵,求证: A不为零矩阵。 练习三 班级学号 1.选择题: 1)当(D)时,齐次线性方程组Amnx0一定有非零解。 (A)m≠n;(B)m=n;(C)m>n;(D)m 2)设A为n(≥2)阶方阵,且R(A)=n-1,1,2是Ax0的两个不同的解向量,k为任意常数,则AxO的通解为(C) (A)k1; (B)k2;(C)k(1 2);(D)k(1 2). 2.填空题: 1)设4阶方阵 A( 1234), 且123 4, 则方程组 Ax 的一个解 向量为(1 11 1)。 2)设方程组A(n 1)nx b有解,则其增广矩阵的行列式 Ab= 0。 x1x2 a1 x2x3 3)若23x3x4 a2 2有解,则常数 a3 a1,a2,a3,a4应满足条件 4 ai0 i1 。 x4x1 a4 12 1x1 1 4)已知方程组 23 a2x2 3无解,则a= -1 。 1a2x30 1 2 11 1 2 11 2 3 a23: 0 1 a1 1 a 20 0 0 (a3)(a1)a3 x1x2x50 3.求齐次线性方程组 x1x2x30的解。 x3x4x50 12310 X 23101 4.解矩阵方程: x1 x2 x31 5. 取何值时,非齐次线性方程组 x1 x2 x3 (1)有唯一解; (2)无解;(3)有 x1 x2 2 x3 无穷多解? 并在有解时,求解。 解: 1 1 1 112 A 1 1 r1 r311 1 1 2 111 1 1 2 r2r1 0 1 1 2 r3r1 0 1 1 2 13 1 1 2 r3r2 0 1 1 2 0 0 2 2 132 1 1 2 0 1 1 (1) 0 0 (2 )(1 ) (1) (1)2 11 1) 当 2, 1时, 有唯一解; A 011 (1 )2 001 2 1 1 0(1 )2 2 1 0 0 (1)32 x1 1 2 2 2 0 1 0(1 )2 0 1 0 (1)2 x2 1 2 2 2 0 0 1(1 )2 0 0 1 (1)2 x3 (1)2 2 2 2 2) 当 2时, 无解; 1 1 11 3) 当 1时,有无穷多解。 A 0 0 00, 0 0 00 x1 1 1 1 x2 c11 c2 0 0, (其中c1,c2是任意实数) x3 0 1 0 自测题 1.选择题: 1)设A为n(≥2)阶奇异方阵,A中有一元素aij的代数余子式Aij0,则方程组AxO的基础解系所含向量个数为(B) (A)i; ( B) 1;(C) j;(D)n. 2)方程组 x1x2 2 x3 0 的系数矩阵记为A, x1x2 x3 0 若存在三阶方阵BO, x1x2 x3 0 使得AB O,则( A ) (A)1 ,B0; (B) 1,B0;(C) 1,B0;(D)1,B0 3)设A与B是n阶方阵,齐次线性方程组 Ax O,BxO有相同的基础解系1,2,3, 则以下方程组以1,2,3为基础解系的是 ( D) (A)(AB)xO;(B)ABx O;( C) A BAxO;(D)xO. B 2.判断题: 1)初等矩阵与初等变换是一一对应的 (√) Er 2)任一秩为r的矩阵A必与r O O等价 O (√) 3)AxO与ATAxO为同解方程组 (√) 4)方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件是Axb有两个不同的解(√) 12,23,L,试证明你的结论。 3.设n阶方阵A的列向量为i(i=1,2,3,⋯,n),n阶方阵B的列向量为 1,试问: 当R(A)n时,BxO是否有非零解? 4.若齐次线性方程组AmnxO的解均为齐次线性方程组BlnxO的解, 试证明R(A)R(B)。 x1 x2 x1 x2 x3 x2 x4 x2 x3 解 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2r2 r1 A 1 1 1 0 0 2 1 0 0 0 1 2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 2 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 r4 r1 r2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 x1 1 c x2 2 ) L c xk1(1 knr(nr )knr1,(k1k2L knr11) 00与 1,2,L,nr是Amnx0的 一个基础解系,是Amnx b的一个解。 证明: Amnxb的任一解可表示为 0,c是任意实数) 6.设非齐次线性方程组 Amnxb的系数矩阵Amn的秩为r, 0的非零公共解。 0 非零公共解为 5.求方程组 1 1 1 1 1 1 1 k x 2 2 1 1 1 0 1 0 2 (1 2k102 7.设1,2,3,4,为四维列向量,A (1,2,3,4),已知Ax的通解为 的通解。 ,其中2 0 1为对应的齐次方程组的基础解系,k1,k2为 1 任意常数,令B 3),试求By 第四章向量组的线性相关性练习一 班级学号 2,1,1,2,1,2,0,1,试求向量32 解: 3 2 31 1, 0,1 2.已知 向 量组 A: 1 0,1,2 3 T 2 T T B: 1 2,1, 1,2T 2 0, 2, 1,1T 组不能由 B组线性表示。 解: 0 32 2 0 4 1 03 1 2 4 AB 2 10 1 1 1 3 21 2 1 3 1 0 3 1 2 4 0 1 6 1 5 7 0 0 20 5 15 25 0 0 4 1 3 5 1.已知向量1,1,0,1, 22,1,1,21,2,0,1(6,3,2,6) 3,0,1,2T,32,3,0,1T, T 34,4,1,3,证明B组能由A组线性表示,但A 1 0 3 1 2 4 0 3 2 2 0 4 0 1 6 1 5 7 0 2 8 1 7 9 103124 016157 004135 000000 2 0 4 0 3 2 1 2 4 1 0 3 BA 1 1 1 2 1 0 2 1 3 3 2 1 1 1 1 2 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 1 0 R(A)3R(AB),所以B组能由A组线性表示。 1 1 1 2 1 0 0 3 3 1 1 3 0 2 2 4 1 2 0 1 1 1 0 1 1 1 1 2 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 R(B) 2,R(BA)3,所以A组不能由B组线性表示。 3.设 可由1, 2,L,m线性表示,但不能由 1,2,L 1线性表示,证明: m可由 1,2,L,m1,线性表示,而不能由1,2,L,m1线性表示。 4.已知1 1,4,0,2,22,7,1,3,3 0,1,1,aT, 3,10,b,4T,问: 1)a,b取何值时, 不能由1,2,3线性表示? 2)a,b取何值时,可由 A 1,2,3, 01123a 1 2 0 3 0 1 1 2 0 0 0 b2 0 0 a1 0 解: 120 471 1)当a1,b2或a1,b 3 1 2 0 3 10 0 1 1 2 b 0 1 1 b 4 0 1 a 2 1 2 0 3 0 1 1 2 0 0 a1 0 0 0 0 b 2 1,2,3线性表示? 并写出此表达式。 2)当a1,b 2时,A 0 0 R(A)R(A)3,可由 当a1,b2时,A 1 2 0 3 1 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,2,3线性表示, 可由1,2,3线性表示。 不能 由 1, 2,3线性表示。 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 12 2 0 3
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