新教材人教A版数学精品第九章 911 简单随机抽样.docx

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新教材人教A版数学精品第九章911简单随机抽样

§9.1　随机抽样

9.1.1　简单随机抽样

学习目标

　1.了解随机抽样的必要性和重要性.2.理解随机抽样的目的和基本要求.3.理解简单随机抽样中的抽签法、随机数法.4.掌握用样本的平均数估计总体的平均数．

知识点一　全面调查和抽样调查

调查方式

全面调查

抽样调查

定义

对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查

根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法

相关概念

总体：

在一个调查中，把调查对象的全体称为总体，

个体：

组成总体的每一个调查对象称为个体

样本：

把从总体中抽取的那部分个体称为样本，

样本量：

样本中包含的个体数称为样本量

知识点二　简单随机抽样

放回简单随机抽样

不放回简单随机抽样

一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n＜N）个个体作为样本

如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样

如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样

简单随机抽样：

放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本

知识点三　抽签法、随机数法

1．抽签法：

先给总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，并将号签放在一个不透明容器中，充分搅拌后，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取n次，使与号签上的编号对应的个体进入样本，就得到一个容量为n的样本．

2．随机数法

（1）用随机试验生成随机数．

（2）用信息技术生成随机数：

①用计算器生成随机数；②用电子表格软件生成随机数；③用R统计软件生成随机数．

知识点四　总体均值和样本均值

1．总体均值：

一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称

＝

＝

i为总体均值，又称总体平均数．

2．总体均值加权平均数的形式：

如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi（i＝1,2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式

＝

iYi.

3．样本均值：

如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称

＝

＝

i为样本均值，又称样本平均数．

1．简单随机抽样包括放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样．（　√　）

2．简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等．（　√　）

3．某班有40名学生，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，是简单随机抽样．

（　×　）

4．从高一

（1）班抽取10人，若这10人的平均视力为4.8，则该班所有学生的平均视力一定是4.8.（　×　）

一、简单随机抽样的理解

例1　

（1）（多选）下列抽样中，不是简单随机抽样的是（　　）

A．从无数个个体中抽取50个个体作为样本

B．仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查

C．一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中不放回地逐个抽出6个号签

D．箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里

答案　ABD

解析　根据简单随机抽样的特点逐个判断．A项不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．B项不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．C项是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．D项不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样．

（2）在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（　　）

A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些

B．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等

C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些

D．与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一定

答案　B

解析　在简单随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性都相等，与第几次抽样无关，故A，C，D不正确，B正确．

反思感悟　简单随机抽样必须具备下列特点

（1）被抽取样本的总体中的个体数N是有限的．

（2）抽取的样本是从总体中逐个抽取的．

（3）简单随机抽样是一种等可能的抽样．

如果3个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样．

跟踪训练1　

（1）从某年级的500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是（　　）

A．500名学生是总体

B．每个学生是个体

C．抽取的60名学生的体重是一个样本

D．抽取的60名学生的体重是样本量

答案　C

解析　由题意可知在此简单随机抽样中，总体是500名学生的体重，A错；个体是每个学生的体重，B错；样本量为60，D错．

（2）从总体容量为N的一批零件中，通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则N的值为（　　）

A．120B．200C．150D．100

答案　A

解析　因为从含有N个个体的总体中通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本时，每个个体被抽到的可能性为

，所以

＝0.25，从而有N＝120.故选A.

二、抽签法和随机数法

例2　2020年新型冠状病毒疫情爆发，某医院为了支援前线，要在50名志愿者中选取10人组成医疗小组去参加救治工作，请分别用抽签法和随机数法设计抽样方案．

解　抽签法：

第一步，将50名志愿者编号，号码为01,02,03，…，50.

第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签．

第三步，将得到的号签放到一个不透明的盒子中，充分搅匀．

第四步，从盒子中依次不放回地取出10个号签，并记录上面的编号．

第五步，与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员．

随机数法：

（1）将50名志愿者编号，号码为01,02,03，…，50.

（2）准备10个大小、质地均匀的小球，小球上分别写上数字0,1,2，…，9.

（3）把小球放入一个不透明的容器中，搅拌均匀，从容器中有放回地抽取2次，并把第一次、第二次抽到的小球上的数字分别作为十位、个位数字，这样就生成了一个随机数，如果这个随机数在1～50范围内，就代表了对应编号的志愿者被抽中，否则舍弃编号．

（4）重复抽取随机数，直到抽中10名志愿者为止．

反思感悟　

（1）一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：

一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法．

（2）当总体容量较大、样本容量不大时，用随机数法抽取样本较好．

跟踪训练2　

（1）抽签法确保样本具有代表性的关键是（　　）

A．制签B．搅拌均匀

C．逐一抽取D．抽取不放回

答案　B

解析　若样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等，故需要对号签搅拌均匀．

（2）使用简单随机抽样从1000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是（　　）

A．抽签法B．随机数法

C．随机抽样法D．以上都不对

答案　B

解析　由于总体相对较大，样本量较小，故采用随机数法较为合适．

三、用样本的平均数估计总体的平均数

例3　为了调查某校高一学生每天午餐消费情况，从该校高一学生中抽查了20名学生，通过调查这20名学生每天午餐消费数据如下（单位：

元）：

8　10　6　6　8　12　15　6　8　6　10　8　8　15　6　8　10　8　8　10

试估计该校高一学生每天午餐的平均费用，以及午餐费用不低于10元的比例．

解　样本的平均数为

＝

＝8.8，

样本中消费不低于10元的比例为

＝0.35，

所以估计该校高一全体学生每天午餐的平均费用为8.8元．

在全体学生中，午餐费用不低于10元的比例约为0.35.

反思感悟　当总体容量很大时，一般用样本的平均数估计总体的平均数，用样本中某类个体所占的比例估计该类个体在总体中所占的比例．

跟踪训练3　为了了解某校高三学生每天的作业量，通过简单随机抽样从该校高三学生中抽取了60名学生，通过调查发现这60名学生每天完成作业平均用时2小时，则可以推测该校高三学生每天完成作业所需时间的平均数（　　）

A．一定为2小时B．高于2小时

C．低于2小时D．约为2小时

答案　D

1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（　　）

A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本

B．某饮料公司从仓库中的1000箱饮料中一次性抽取20箱进行质量检查

C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动

D．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编好号，对编号随机抽取）

答案　D

解析　选项A中，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；选项B中，一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；选项C中，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误．

2．下列抽样试验中，适合用抽签法的是（　　）

A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验

B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验

C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验

D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验

答案　B

解析　个体数和样本容量较小时适合用抽签法，排除A，D；C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，也不适合，故选B.

3．（多选）下列抽查，适合抽样调查的是（　　）

A．调查黄河的水质情况

B．调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染

C．调查某药品生产厂家一批药品的质量情况

D．进行某一项民意测验

答案　ACD

解析　A项因为无法对所有的黄河水质进行全面调查，所以只能采取抽样调查的方式；B项适合全面调查；C项对药品的质量检验具有破坏性，所以只能采取抽样调查；D项由于民意测验的特殊性，不可能也没必要对所有的人都进行调查，因此也是采用抽样调查的方式．

4．一个总体中含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的可能性为________．

答案　

解析　因为是简单随机抽样，故每个个体被抽到的机会相等，所以指定的某个个体被抽到的可能性为

.

5．从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数，4个投中5次，3个投中6次，2个投中7次，1个投中8次．试估计该训练营投篮投中的比例为________．

答案　0.6

解析　10名学员投中的平均次数为

＝6，所以投中的比例约为

＝0.6.

1．知识清单：

（1）简单随机抽样．

（2）抽签法，随机数法．

（3）用样本平均数估计总体平均数．

2．方法归纳：

数据分析．

3．常见误区：

在简单随机抽样中，每个个体被抽取的可能性是相等的．

1．（多选）下列调查中，适合采用抽样调查的是（　　）

A．每隔5年进行一次人口普查

B．调查某商品的质量优劣

C．某报社对某个事情进行舆论调查

D．高考考生的体检

答案　BC

解析　人口普查和高考考生的体检都属于全面调查，调查某商品的质量优劣和对某个事情进行舆论调查只能用抽样调查．

2．为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量．下列说法正确的是（　　）

A．总体是240名B．个体是每一个学生

C．样本是40名学生D．样本量是40

答案　D

解析　在这个问题中，总体是240名学生的身高，个体是每个学生的身高，样本是40名学生的身高，样本量是40.因此选D.

3．使用简单随机抽样从2000名学生中抽出100人进行某项检查，合适的抽样方法是（　　）

A．抽签法B．随机数法

C．随机抽样法D．以上都不对

答案　B

解析　由于总体相对较大，样本量较小，故采用随机数法较为合适．

4．某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若每人被抽到的可能性都为0.2，用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，则n等于（　　）

A．80B．160C．200D．280

答案　C

解析　由题意可知，

＝0.2，解得n＝200.

5．从某批零件中抽取50个，然后再从50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则该批产品的合格率为（　　）

A．36%B．72%C．90%D．25%

答案　C

解析　

×100%＝90%.

6．用随机数法从100名学生（男生25人）中抽取20人进行评教，则某男生被抽到的可能性是________．

答案　0.2

解析　因为样本量为20，总体容量为100，所以总体中每个个体被抽到的可能性都为

＝0.2.

7．某乡镇有居民20000户，从中随机抽取200户调查是否安装宽带网线，调查的结果如下表所示，则该乡镇已安装宽带网线的居民大约有________户．

网线

动迁户

原住户

已安装

65

30

未安装

40

65

答案　9500

解析　20000×

＝9500（户）．

8．在某次测量中，甲工厂生产的某产品的A样本数据如下：

43,50,45,55,60.若乙工厂生产的该产品的B样本数据恰好是由A样本数据中每个数都增加5后得到的，则B样本的均值为________；据此，可以估计乙工厂生产的该产品的总体均值为________．

答案　55.6　55.6

解析　A样本数据为43,50,45,55,60，

所以B样本数据为48,55,50,60,65，

所以B样本数据的均值为

（48＋55＋50＋60＋65）＝55.6，

据此，可以估计乙工厂生产的该产品的总体均值为55.6.

9．学校举办元旦晚会，需要从每班选10名男生，8名女生参加合唱节目，某班有男生32名，女生28名，试用抽签法确定该班参加合唱的同学．

解　第一步，将32名男生从0到31进行编号．

第二步，用相同的纸条制成32个号签，在每个号签上写上这些编号．

第三步，将写好的号签放在一个不透明的容器内摇匀，不放回地从中逐个抽出10个号签．

第四步，相应编号的男生参加合唱．

第五步，用相同的办法从28名女生中选出8名，则此8名女生参加合唱．

10．某校从高一全体男生中用简单随机抽样抽取了20人测量出体重情况如下：

（单位kg）

65　56　70　82　66　72　54　86　70　62　58　72　64　60　76　72　80　68　58　66

试估计该校高一男生的平均体重，以及体重在60～75kg之间的人数所占比例．

解　这20名男生的平均体重为

＝67.85（kg）．

20名男生中体重在60～75kg之间的人数为12，

故这20名男生体重在60～75kg之间的人数所占比例为

＝0.6.

所以估计该校高一男生的平均体重约为67.85kg，体重在60～75kg之间的人数所占比例约为0.6.

11．（多选）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（　　）

A．调查某市中小学生每天的运动时间

B．某幼儿园中有位小朋友得了手足口病，对此幼儿园中的小朋友进行检查

C．农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量

D．调查某快餐店中8位店员的生活质量情况

答案　AC

解析　选项B要普查，选项D容量小可以普查，选项A，C总体容量大，用抽样调查．

12．用简单随机抽样法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是（　　）

A.

，

B.

，

C.

，

D.

，

答案　A

解析　简单随机抽样中每个个体被抽取的机会相等，都为

.

13．已知总体容量为108，若用随机数法抽取一个容量为10的样本，下列对总体的编号正确的是（　　）

A．1,2，…，108B．01,02，…，108

C．00,01，…，107D．001,002，…，108

答案　D

解析　用随机数法选取样本时，样本的编号位数要一致．故选D.

14．从一批产品中用简单随机抽样抽取了一部分作为样品，检测产品的合格率，其中甲检验员从中抽取了50件产品，其合格率为94.5%，乙检验员从中抽取了100件产品，其合格率为95.6%，则估计该产品合格率更接近于________检验员检测的结果．

答案　乙

解析　因为乙检验员抽取的样本量更大，所以检测结果更准确．

15．从一群做游戏的小孩中随机选出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续做游戏．过了一会儿，再从中随机选出m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为（　　）

A.

B．k＋m－n

C.

D．不能估计

答案　C

解析　设参加游戏的小孩有x人，则

＝

，x＝

.

16．某电视台举行颁奖典礼，邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机挑选10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名台湾艺人中随机挑选4人．试分别用抽签法和随机数法确定选中的艺人．

解　抽签法：

（1）将30名内地艺人从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，揉成团，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中逐个不放回地抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出．

（2）运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人，从18名香港艺人中抽取6人．

随机数法：

（1）将30名内地艺人从01到30编号，准备10个大小，质地一样的小球．小球上分别写上数字0,1,2，…，9.把它们放入一个不透明的袋中，从袋中有放回地摸取2次，每次摸取前充分搅拌，并把第一次、第二次摸到的数字分别作为十位、个位数字，这样就生成了一个随机数，如果这个随机数在1～30范围内，就代表了对应编号的艺人被抽中，否则舍弃编号，重复抽取随机数，直到抽中10名艺人为止．

（2）运用相同的办法分别从18名香港艺人中抽取6人，从10名台湾艺人中抽取4人．