全程复习方略广西专用版高中数学 单元评估检测十四课时提能训练 理 新人教A版.docx
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全程复习方略广西专用版高中数学单元评估检测十四课时提能训练理新人教A版
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(第十三章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(预测题)等于( )
(A) (B)1 (C) (D)
2.用数学归纳法证明等式:
1+2+3+…+n2=(n∈N*),则从n=k到n=k+1时左边应添加的项为( )
(A)k2+1
(B)(k+1)2
(C)
(D)(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2
3.极限f(x)存在是函数f(x)在点x=x0处连续的( )
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
4.=2,则a的值为( )
(A)1(B)-1(C)±1(D)2
5.已知函数f(x)=在点x=2处连续,则常数a的值是
( )
(A)2(B)3(C)4(D)5
6.设函数f(x)在x=1处连续,且=2,则f
(1)等于( )
(A)-1(B)0(C)1(D)2
7.(2012·贺州模拟)在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an=,且已知此数列有极限,则an等于( )
(A)-2(B)-1(C)0(D)1
8.(2012·柳州模拟)等于( )
(A)3(B)(C)(D)6
9.已知等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若{log2an}是公差为-1的等差数列,且Sn=,那么a1的值为( )
(A) (B) (C) (D)
10.(2012·钦州模拟)设Sn是无穷等比数列的前n项和,若Sn=,那么a1的取值范围是( )
(A)(0,)(B)(0,)
(C)(0,)∪(,)(D)(0,)∪(,1)
11.设正数a,b满足(x2+ax-b)=4,则等于( )
(A)0(B)
(C)(D)1
12.函数y=f(x)在x=x0处连续,且f(x)=a2-2,f(x)=2a+1,其中a>0,则f(x0)等于( )
(A)-1(B)7(C)-1或7(D)3
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.(易错题)= .
14.在数列{an}中,a1=9,且对于任意大于1的正整数n,点(,)在直线x-y-3=0上,则= .
15.= .
16.如图,在半径为r的圆内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆,又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去,设Sn为前n个圆的面积之和,则Sn= .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).
(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想数列{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明
(1)中的猜想.
18.(12分)已知等差数列前三项为a,4,3a,前n项的和为Sn,Sk=2550.
(1)求a及k的值;
(2)求(++…+).
19.(12分)设函数f(x)=
f(x)在x=0处连续,求实数a、b的值.
20.(12分)已知f(x)=a·bx(a,b为常数)的图象经过点P(1,)和Q(4,8).
(1)求f(x)的解析式;
(2)记an=log2f(n),n∈N*,Sn是数列{an}的前n项和,求.
21.(12分)已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且有(-qn)=,求首项a1的取值范围.
22.(12分)在边长为l的等边△ABC中,⊙O1为△ABC的内切圆,⊙O2与⊙O1外切,且与AB、BC相切,…,⊙On+1与⊙On外切,且与AB,BC相切,如此无限继续下去,记⊙On的面积为an(n∈N*).
(1)证明{an}是等比数列;
(2)求(a1+a2+…+an)的值.
答案解析
1.【解题指南】对分子、分母进行因式分解,约去x-1,然后代入求解.
【解析】选A.===.
2.【解析】选D.∵当n=k时,等式左边=1+2+3+…+k2;当n=k+1时,等式左边=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,
∴比较上述两个式子,n=k+1时,等式左边是在假设n=k时的等式成立的基础上,等式的左边加上了(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,故选D.
3.【解析】选B.f(x)在x=x0处连续⇒f(x)存在,
f(x)存在f(x)在x=x0处连续.
∴极限f(x)存在是函数f(x)在点x=x0处连续的必要而不充分条件.
4.【解析】选A.原式===1+a.由题意,知1+a=2,因此a=1.
5.【解题指南】本题考查函数连续的定义,若函数在某一点处连续,则必须具备函数在此点的左极限等于右极限等于在该点的函数值.
【解析】选B.∵f(x)==(x+2)=4,f(x)=f
(2)=a+log22=a+1,由函数的连续性定义知a+1=4,可得a=3.
6.【解析】选B.依题意可知f(x)是含有(x-1)项的多项式,所以f
(1)=0.
7.【解析】选C.由an存在,知an=an-1,
令an=b,∵an=,
∴an==.
∴b=,∴b=0.∴an=0.
8.【解题指南】解决本题的关键是对C+C+C+…+C进行化简,技巧在于利用C=C.
【解析】选B.∵C+C+C+…+C=C+C+C+…+C=C+C+…+C=…=C,
n(C+C+C+…+C)=n,
===.
9.【解析】选B.由条件可知log2an=log2a1-(n-1)
=log2,
故an=,则Sn==,a1=.
10.【解析】选C.由Sn==,解得q=1-4a1,由题意知|q|<1且q≠0,得|1-4a1|<1,且|1-4a1|≠0,解之得a1∈(0,)∪(,).
【方法技巧】数列极限问题的逆向思维
(1)关于qn类型的逆运算问题,一定要考虑qn存在的条件及分析已知极限中的值,看是否要先变形,再逆运算求待定问题.
(2)逆用无穷等比数列(0<|q|<1)的各项和公式求范围问题,应注意一个无穷等比数列的各项和存在的充要条件是其公比q满足0<|q|<1.
【变式备选】在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足Sn=,那么a1的取值范围是( )
(A)(1,+∞)(B)(1,4)
(C)(1,2)(D)(1,)
【解析】选D.由题意,知Sn=,
∵Sn=,∴.
∴a1=.∴1 11.【解析】选B. (x2+ax-b)=4⇒4+2a-b=4⇒2a=b, ∴=. ∴== =. 12.【解题指南】根据题意可以得到f(x)=f(x)=f(x0),即可列出关于a的方程,便可得解. 【解析】选B.∵函数f(x)在x=x0处连续, ∴f(x)=f(x)=f(x0),即a2-2=2a+1. ∵a>0,∴a=3. ∴f(x0)=7. 13.【解析】原式= = ==. 答案: 【误区警示】看到,盲目采用分子有理化或分母有理化,而无法求解,或半途而废,要看到分子、分母中都含有根式,一定要利用分子、分母同时有理化. 14.【解析】由题意,得-=3, ∴{}是以=3为首项,以d=3为公差的等差数列. ∴=+(n-1)×3=3n(n∈N*). ∴an=9n2(n∈N*). ∴===9. 答案: 9 【方法技巧】求数列极限的常用方法 (1)分子分母同时除以n的幂; (2)利用有理化因式变形; (3)求和式极限时一般先求和,然后再求极限; (4)求含有参数式子的极限时,注意对参数进行分类讨论,分别确定极限是否存在; (5)熟记三个基本极限: =0;C=C(C是常数);qn=0(|q|<1). 15.【解析】=(+)cosx =(+)cosπ=-2. 答案: -2 16.【解题指南】此类问题属于无穷递缩等比数列问题,通过对图形分析,构造等比数列,求出首项及公比,利用Sn=求解. 【解析】设第n个正六边形的外接圆的半径为rn,面积为an,则=cos30°=,从而an+1=an,由a1=πr2,q=,知{an}是以πr2为首项,以为公比的等比数列.所以Sn===4πr2. 答案: 4πr2 17.【解析】 (1)a1=1,a2=,a3=,a4=,由此可猜想an=(n∈N*). (2)下面用数学归纳法证明: ①当n=1时,左边=a1=1,右边==1,猜想成立. ②假设n=k(k∈N*)时猜想成立,即ak=, 当n=k+1时,已知Sk=2k-ak,① Sk+1=2(k+1)-ak+1,② 由②-①可得ak+1=2-ak+1+ak, ∴ak+1=1+=1+==,即当n=k+1时猜想也成立. ∴数列{an}的通项公式an=(n∈N*). 【方法技巧】归纳推理的思维方法 (1)在遇到求解某些数学问题而不能直接找到解题途径时,可先考查几个连续的初始特例,归纳出规律,猜想结论,这是关键,规律的发现要凭借经验,有时还要合理变形. (2)解决问题时要注意以下几点: ①计算特例时,不仅仅是简单的算数过程,有时要通过计算过程发现数据的变化规律;②猜想必须准确,绝对不能猜错,否则将徒劳无功;③如果猜想出来的结论与正整数n有关,一般用数学归纳法证明. 【变式备选】已知数列{an}的前n项和为Sn,其中an=(n∈N*)且a1=. (1)求a2、a3; (2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明; (3)求Sn. 【解析】 (1)由a2=,得a2=, 由a1=,a2=,得a3=, 得a3=. (2)猜想an=(n∈N*). 证明: ①当n=1时,显然成立. ②假设n=k(k∈N*)时,猜想成立,即ak=, 则n=k+1时,ak+1=, 得Sk+1=(k+1)(2k+1)ak+1,同时Sk=k(2k-1)ak=. 两式相减,得ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(2k+1)ak+1-, 即k(2k+3)ak+1=. ∴ak+1= =, 即n=k+1时,猜想成立. 所以数列{an}的通项公式 an=(n∈N*). (3)Sn=[++…+]=(1-+-+…+-) =(1-)=. 18.【解题指南】 (1)由已知条件求出a及公差d,然后利用前n项和公式Sn=na1+求出k的值; (2)采用裂项相消法求和后再求极限. 【解析】 (1)设该等差数列为{an}, 则a1=a,a2=4,a3=3a,Sk=2550. 由已知有a+3a=2×4,解得首项a1=a=2, 公差d=a2-a1=2. 代入公式Sk=ka1+d, 得k×2+×2=2550, ∴k2+k-2550=0, 解得k=50,k=-51(舍去), ∴a=2,k=50. (2)由Sn=na1+d得Sn=n(n+1)(n∈N*), ++…+=++…+ =(-)+(-)+…+(-) =1-, ∴(++…+)=(1-)=1. 19.【解析】f(x)=(-1) =(-1)==1, f(x)=(-1) = ==, ∵f(x)=f(x),∴=1,即b=2. 又∵f(x)=f(x)=f(x)=1, 且f(x)=f(0),即a=1.综上,a=1,b=2. 20.【解析】 (1)∵f(x)的图象经过点P(1,)和Q(4,8), ∴,解得, ∴f(x)=×4x=22x-5. (2)an=log2f(n)=log222n-5=2n-5. ∵an+1-an=2(n+1
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