罗素的类型论和还原公理及其哲学意蕴.docx

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罗素的类型论和还原公理及其哲学意蕴

罗素的类型论和还原公理及其哲学意蕴

作者：

李巍指导教师：

李国山教授

摘要：

类型论是为解决悖论问题而提出的。

在数学中，通过对命题函项的分层以及对类型的限制，许多悖论就都可以避免，因为类型论的限制很强，罗素又引入还原公理使数学成为可能。

在现实中，类型论可以解决日常语言与传统哲学中的许多问题，一个重要例子就是对“说谎者悖论”的解决，还原公理则使日常语言成为可能。

但是，类型论面临现实中的复杂情况所带来的困难，还原公理则面临自身存在的合法性的困难，而罗素没有完全解决这些困难。

尽管如此，类型论与还原公理仍是一种重要的超越的方法，虽然这种方法面临只能用信念来保证的困难。

尽管不应该因为数学中的符号和日常语言中的词具有类型的模糊性就抛弃它们，但也不等于说对它们就不假思索地接受，应具备“分析的精神”。

类型论与还原公理正是这种精神的集中体现。

关键词：

悖论类型论还原公理确定性

罗素是二十世纪分析哲学的杰出代表，他一生中最重要的著作就是和怀特海合作写成的《数学原理》。

类型论是《数学原理》的基础，还原公理是对类型论的重要补充，它们是罗素在《数学原理》中最具独创性、内涵最丰富的思想之一，也是一种重要的方法，体现了哲学的反思精神。

通过它们，数学、日常语言以及传统哲学中的许多问题都可以得到解决。

但是，尽管《数学原理》的重要性得到了公认，读者却非常少，而类型论和还原公理在其它书中出现得也非常少，即使罗素本人在这一理论上也经常变动，这使许多人都不了解甚至误解这一理论。

本文将从《数学原理》中的有关内容出发，简要介绍这一理论和它在数学与现实中的应用，概述它面临的困难，说明它的重要意义以及体现出的精神。

第一章类型论概述

类型论是为解决悖论问题而提出的，而解决悖论问题也是《数学原理》的主要目的之一。

康托在1895年和1899年分别发现了他的集合论所包含的悖论，但直到1903年，这种困难才众所周知。

悖论对数学的影响是巨大的，它动摇了数学的基础，历史上把这称为“第三次数学危机”。

面对这一困难，罗素积极地着手处理悖论问题，在《数学的原理》（PrinciplesofMathematics）中，他对悖论问题作了解释，并在《数学原理》中作了进一步的处理。

一、罗素对悖论问题的分析

罗素相信，集合论的悖论一定是逻辑的问题而不是数学的问题，因为它们本质上与最古老的说谎者悖论是一样的。

对悖论问题唯一能令人满意的解决方式就是对逻辑加以改造，用一种革新的方法来消除它，而且这种方法应满足三个条件：

一、所有的悖论必须消失。

这是绝对必要的；二、应尽可能使数学保持原样。

这虽然在逻辑上不是必要的，但最好具备，因为我们不想为了解决悖论问题而牺牲数学的范围；三、这种方法应具有一种自明的逻辑必然性。

这些正是罗素在类型论中所想的东西。

罗素认为，悖论产生的根源是“恶性循环”，因此，他提出了“禁止恶性循环原则”：

“‘涉及一个集合的所有元素的对象绝不能是这个集合的一个元素’，或者反过来说，‘如果一个集合有一个总体，它就会有只能用这个总体来定义的元素的话，这个集合就没有总体。

’”这个原则可以使我们避免因假定了非法总体而产生的恶性循环。

逻辑中的悖论涉及各种对象：

命题、类、基数……罗素把它们归结为命题和命题函项，而与数学相关的则是命题函项。

二、命题函项的分层

命题在数学中是指一个可以判断真假的语句或表达式，而命题函项（以下有时简称“函项”）则是含有变元（可以是多个）的表达式，当变元被赋予确定的值时，该表达式成为一个命题，函项用φx、ψx等表示。

比如，“x是一个人”就是一个函项，如果把它视作φx，φ就可以视为“……是一个人”。

这里应注意，φ、ψ等也可以成为变元，比如“苏格拉底是……”就可以视作ψ!

a（这里“！

”表示ψ是可变的），ψ可以取“聪明的”，也可以取“有死的”，所得到的命题分别是“苏格拉底是聪明的”和“苏格拉底是有死的”。

命题函项与命题的区别就是它的未定性，这也是命题函项的本质特点。

“类型”在《数学原理》中被定义为一个函项的意义域，意义域是指一些元素组成的集合，当该函项的变元取这个意义域中的任意一个元素作为值时，所得到的命题都有意义（指可判断真假）。

由这个定义，一个函项的每个变元都只能取某一个类型的值，根据禁止恶性循环原则，一个函项的变元不能像常识所想的那样可以取任意值，因为变元不能取预设了这个函项的值，这样，函项的变元只能取一些值而不能取另一些值，这意味着类型有许多种，也就产生了类型论的分层问题。

对于分层来说，很自然的想法就是从可以作为某些函项的变元值的简单对象（用a、b等表示）出发，简单对象可以理解为日常生活中的各个具体的对象，如“苏格拉底”、“柏拉图”，等等，这种解释并不严格，但在本文中我们可以姑且这样理解。

接下来就是能以简单对象作为变元值的函项，之后就是能以这些函项作为变元值的函项，如此下去。

但是，如果我们认为能以某个简单对象a作为变元值的函项具有一个总体，那么考虑这个函项：

“x满足所有可以以a作为变元值的函项”，x可以取a作为值，因此它也是一个可以以a作为变元值的函项，但这个函项却涉及了可以以a作为变元值的函项的总体，这就违背了禁止恶性循环原则（见第一章第一节的叙述），因此，可以以a作为变元值的函项没有总体，我们也就不能说“所有可以以a作为变元值的函项”。

这样，用自然的想法行不通。

在许多问题上，常识都是很差的向导。

罗素的分层方法是从“个体”出发，所谓“个体”是指既不是命题也不是函项的对象，它是命题或函项的组成部分。

这里，“个体”与前面的“简单对象”在不严格的意义上可以视为是一样的。

罗素由此得出“一阶母函项”，一阶母函项的变元都是个体，而没有“约束变元”，所谓“约束变元”是指具有“所有的x”或“存在x”形式的变元，这样的变元实际上涉及了它所能取的值的总体。

接下来我们可以把一阶母函项中的一些（不是全部）变元变为约束变元而得到一些新的函项，这些新的函项至多只预设了个体的总体，这些新的函项与一阶母函项一起被称为“一阶函项”。

可以看出，一阶函项的变元只有个体。

由一阶母函项出发，我们可以得到“二阶母函项”，二阶母函项的变元只有个体和一阶母函项（不必非得有个体），而且没有约束变元，接下来我们可以把二阶母函项中的一些（不是全部）变元变为约束变元而得到一些新的函项，这些新的函项至多只预设了个体和一阶函项的总体，这些新的函项与二阶母函项一起被称为“二阶函项”。

照此下去，我们可以得到三阶函项、四阶函项，等等。

这样，每个函项都能且只能被归入某一个确定的阶中，即能且只能被归入某一个确定的类型中。

由这种分层方法，可以以某个简单对象a作为变元值的函项具有各种不同的类型，因此说“所有可以以a作为变元值的函项”就犯了“类型混淆”的错误，除非我们把所说的函项限定在某个确定的类型中，比如“a的所有一阶函项”，“a的所有二阶函项”，等等。

命题、类、关系等都可以分层，它们的分层都是从命题函项的分层导出的。

通过分层以及对类型的限制，数学中的许多悖论就都可以避免，限于篇幅，这里不再详述，我们只简单说说类型论在数学中的一个重要应用。

数学中的一个重要定义就是“同一”的定义，对于简单对象a和b来说，我们会认为“a与b同一”就是说“对于a真的，对于b也真”，即“对于所有的φ，如果φa为真，那么φb为真”，但是由上面的叙述，这里的φ就不能取任意值，而必须被限定在某个确定的类型中。

比如我们可以说“a与b具有一阶同一”，“a与b具有二阶同一”，等等，限于篇幅，在此不再详述。

三、还原公理的引入

类型论对悖论问题的解决是令人满意的，但这个理论的限制是很强的，在数学中，许多定理、公式等对于“a的n阶函项”都成立，而无论n取什么值，但是由类型论，这些定理、公式等就都是被禁止的，这样数学就是不可能的，因此需要一种方法来使两方面都不遭到损失：

既能避免使数学成为不可能这个不愉快的后果，又能继续用类型论来避免悖论。

“那么我们就需要某种陈述的方法，使它等同于我们在说‘a的所有函项’时心里所想的东西。

因此我们必须找到（如果可能的话）某种降低一个命题函项的阶，而又不改变它的值的真假的方法”。

罗素的方法是引进“还原公理”。

为阐述这个公理，我们需要先定义“形式等价”和“直谓函项”。

对于两个函项φx，ψx，如果对于x所能取的每一个值，φx都等价于ψx，即说，φx都与ψx同真或同假（注意，此时由于x取了值，φx与ψx已经是命题了），那么φx与ψx形式等价。

这里应注意，“等价”不是“等同”，两个等价的命题在实际内容上可能毫不相干，比如“苏格拉底是人”和“太阳是热的”就是等价的，但在本文中我们不讨论这个问题。

所谓“直谓函项”是指，如果一个函项的最高阶的变元是第n阶的，那么如果该函项是第n+1阶的，该函项就是直谓函项。

比如，当x可以取具体的人（如“柏拉图”）作为值时，“x是有死的”就是直谓函项，而“x具有成为一个伟大将军的所有品质”就不是直谓函项，这在第二章第三节中会详细说，这里就不叙述了。

还原公理就是这样的假定：

“对于任意的函项φx，都有一个直谓函项与之形式等价”。

这里应注意，还原公理只是说这样的直谓函项存在，并未给出得到这个直谓函项的具体方法。

还原公理在数学中有许多重要应用，限于篇幅，在此我们只简单说说它在数学归纳法中的应用。

数学归纳法是从函项对于初始值为真以及函项若对某个值为真，则对其下一个值也为真而得出函项对全部的值都为真的方法，就像多米诺骨牌一样。

这个方法很符合我们的常识，但是，“每一个值”和“所有的值”并不相同，特别是当可取的值的数目是无穷的时候，我们即使每一步都是正确的，所能达到的值的数目也还是有穷的，仍不能保证对“所有的值”都成立，但有了还原公理就可以解决这一问题，限于篇幅，这里就不叙述了。

第二章类型论和还原公理在现实中的应用

罗素既用他的类型论和还原公理来解决数学问题，也用它们来解决现实中的一些问题，因为他认为现实中的许多事物也带有模糊性，也会产生问题。

有趣的是，《数学原理》虽号称是专为数学而写，但在其中我们也可以看到现实中的问题，而且罗素在其中也常举现实中的例子。

一、类型论在现实中的应用

虽然命题函项是用于数学中的，但罗素也把它与现实联系了起来，我们在第一章第二节已经看到了一些现实中的例子，在此我们再引用一段话：

“从‘苏格拉底是有死的’到‘柏拉图是有死的’可以看作从φx到φy，而从‘苏格拉底是有死的’到‘苏格拉底是聪明的’则可以看作从φa到ψa。

”

即说，我们可以把a、b等看作现实中的个体，x、y等则可看作未定的个体，φ、ψ等则可看作个体的属性。

这种说法虽不严格，但在本文中我们可以姑且这样理解。

按罗素的类型论，现实中的对象也可以分为不同的类型，从下面一段话即可看出：

“如果我们取人作为类型0的实体，那么聪明就是类型1的实体，因为我们可以有意义地断定（虽然也许不是真的）苏格拉底是聪明的，基本道德就是类型2的实体，因为我们可以有意义地断定聪明是基本道德，一般说来，每一个属性具有比它能对之加以肯定或否定的实体更高的类型。

”

这里也许有人说，现实中的许多对象我们很难确定到底属于哪个类型，而且我们也很难确定什么样的对象属于最低的类型，甚至可能没有这样的对象，因为表面上的简单对象经过分析就会发现它并不简单。

比如“红色”，现实中有各种各样的红色，其光度、色调等都是不同的，而且这种差别是连续的，因为光度、色调等的改变是连续的而不是一级一级的。

罗素也承认这一点：

“直接指明这样的事物是有困难的……可能什么也指不出来”。

对于这个问题我有两点说明：

第一，罗素认识到了这一问题，他说：

“在实际情况中，我们没有必要知道什么样的对象属于最低的类型，甚至也没有必要知道出现在给定内容中最低类型的变元是指个体还是其它对象。

因为在实际情况中只有变元的相对类型才是相关的，因此当我们考虑一个给定的内容时，出现在其中最低的类型的对象就可以被称作个体，因此前面叙述的个体并不是本质的，所有本质的东西就是从个体的类型中得出其它类型的方法，无论个体的类型是由什么组成的。

”

从这段话可以看出，类型具有相对性，以什么作为起点并不重要，就像数学中坐标原点的选取一样，只要研究问题方便即可。

我们并不需要，也不太可能指出最低类型的对象，只需达到相对的确定即可。

第二，同一对象在不同的条件下可以属于不同的类型。

这在日常语言中就更是如此，因为日常语言中，一个词可能有许多意义，在下面我们就会更清楚地看到这一点。

由上面以及第一章第二节的叙述，如果两个实体都可以作为一个函项的变元的值（不管由此得到的命题是真是假），它们就具有同一类型。

比如，我们可以说“柏拉图是聪明的”，也可以说“苏格拉底是聪明的”，因此柏拉图和苏格拉底具有同一类型。

由此可得，对于一个函项，当其中一个变元的值被与之同类型的对象替换时，所得的命题仍有意义（不管它是真是假），但当该变元的值被与之不同类型的对象替换时，就会产生无意义的命题，比如“柏拉图是聪明的”，如果我用“聪明”替换“柏拉图”，就会得到“聪明是聪明的”这样的无意义的命题。

罗素认为，“这是一个浅显的事实，但不幸的是，几乎所有的哲学都企图忘掉它”。

我们用词来表示现实中的事物，因为现实中的事物具有不同的类型，所以表示它们的词也具有不同的类型。

不同类型的词具有不同类型的用法，如果使用不当就会产生谬误，日常语言以及传统哲学中的许多谬误正是由混淆词义的类型而产生的。

罗素认为，传统哲学中被认为是绝对基本的某些概念完全是由于语言表示上的错误而产生的，比如“存在”，传统逻辑中的三段式推理有这样的推理：

“人存在，苏格拉底是人，所以苏格拉底存在”，这个推理看似合理，实则不然，“人存在”中的“人”是指人类，表示的是一个类，而“苏格拉底存在”中的“苏格拉底”则是指一个个体，按前面的叙述，这个推理中的两个“存在”应具有不同类型的意义，如果认为两个“存在”具有相同的意义，那么“人存在”和“苏格拉底存在”就必定有一个是无意义的，如果我们在这个推理中用“是众多的”来替换“存在”，就变成“人是众多的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是众多的”，这个推理显然是荒谬的，我们更清楚地看到了这种谬误。

许多词都具有模糊性，同一个词可能具有各种不同类型的意义，对这些意义作出区别是很重要的，日常语言以及传统哲学中的许多谬误正是由于没有认清这一点而产生的。

二、对“说谎者悖论”的解决

说谎者悖论曾以几种不同的形式出现在许多古代文学作品中，至于其中说克里特岛的人则是《圣经》对其进行的丑化：

“克里特岛人爱匹门尼德宣称，所有克里特岛的人总是撒谎。

”这个悖论最简单的形式是“一个人说：

‘我正在说的这句话为假。

’”按常识的理解，如果他说的这句话是真话，那么“我正在说的这句话为假”就是真的，因此他说的这句话又是假话；如果他说的这句话是假话，那么“我正在说的这句话为假”就是假的，因此他说的这句话又是真话，由此产生悖论，这样的悖论被称为“语义悖论”。

这类悖论，正如塔尔斯基指出的那样，“尽管是语义上的，也向语言自身提出了挑战”。

罗素认为，语义悖论的产生是因为普通语法不符合逻辑的要求。

为解决这一悖论，罗素首先对在数学及日常语言中都常涉及的“真”、“假”的意义进行了分层。

他之所以首先考虑“真”、“假”，是因为他认为“禁止恶性循环原则”有看似例外的情况，其中最典型的就是有关真假的。

比如我说“所有的命题都为假”，这句话也是一个命题，我们在常识的意义上会说，这个命题是假的，因为显然有真命题，我们的断言可以表示为“‘所有的命题都为假’为假”，即可以看作这样一个命题，在其中“所有的命题都为假”是函项“p（p表示命题）为假”的变元p的值，但是“所有的命题都为假”涉及了命题的总体，这按照“禁止恶性循环原则”就是非法的。

数学和日常语言中这样的表达还有很多，我们也认为它们有意义，为了能适应这一情况，只有一种解释，即在“‘所有的命题都为假’为假”中，前后两个“假”的意义不同，即说，“真”、“假”的意义可以被分为不同的类型。

我们可以由前面命题函项的分层导出“真”、“假”的意义的分层。

适用于一阶函项的值的“真”被称为“一阶真”，适用于二阶函项的值的“真”被称为“二阶真”，如此一直下去。

“假”可以类似地分为不同的类型，“假”的情况与“真”的情况有些不同，在此不再详述。

通过对“真”、“假”的意义的分层，就可以避免“恶性循环”的问题，因为“循环”需要前后的词、符号等的意义相同的情况下才能叫“循环”（如ABAB……），现在前后的“真”、“假”的意义不同了，也就不叫“循环”了，问题消除了。

这里我要澄清一个误解：

虽然无意义的东西不能说是真的或假的，但如果说“无意义的东西是真的/假的”，或者描述无意义的东西的性质，就不是无意义的，而是假的，因为这种情况下我断言的不是无意义的东西本身，而是“无意义的东西是真的/假的”或者“无意义的东西具有……性质”。

比如“现任的法国国王是秃子”，“现任的法国国王”不存在，但说“现任的法国国王是秃子”就不是无意义的，而是假的，因为这句话描述了无意义的东西的性质。

罗素接着解决了“说谎者悖论”。

当一个人说：

“我正在说的这句话为假”时，我们可以把这句话理解为他正在说函项“我断言p，p为假”的某个值的真假，而p的值是“我断言p1，p1为假”，而p1的值是“我断言p2，p2为假”，等等，或者形象地表示成[“‘我正在说的这句话为假’为假”为假]……应该注意的是，这里并未违反禁止恶性循环原则，因为按前面的说法，每一个“假”具有不同类型的意义，所以这句话实际上并没有“循环”的问题（见上段标重点号的话）。

按照前面对“真”、“假”的意义的分层，“我正在说的这句话为假”实际上表达了许多意思，即“我正在断言一个命题具有一阶假”，“我正在断言一个命题具有二阶假”，等等。

那么，因为“我正在说的这句话为假”中的“假”为一阶假，而“我正在说的这句话”实际是指“我正在说的这句话为假”，它不是一阶的，所以实际上没有一阶命题，由上一段的叙述可得，“我正在断言一个命题具有一阶假”为假，由此又可得“我正在断言一个命题具有二阶假”为真，“我正在断言一个命题具有三阶假”为假，等等，即，“我正在断言一个命题具有2n-1阶假”为假，而“我正在断言一个命题具有2n阶假”为真（这里n为正整数）。

上面说的是罗素在《数学原理》中对说谎者悖论的解决方法，这种方法与罗素在《以类型论为基础的数理逻辑》那篇论文中的解决方法不同，在那篇论文中，罗素只是认为“我正在说的这句话是假话”由于“我正在说的这句话”指整个句子而涉及了非法总体，因此是无意义的，除非把它限定在某个确定的类型中。

而对数学悖论的解决方法二者就几乎相同，《以类型论为基础的数理逻辑》发表于1908年，而《数学原理》第一卷出版于1910年，在两年的时间里罗素对语义悖论的解决方法就发生了这么大变化，而且与对数学悖论的解决方法差别很大，并未断然说语义悖论中的命题无意义，可见罗素认识到了现实情况的复杂性，而且力求解释现实。

有一种观点认为：

“类型论……禁止任何形式的自我指称或自我相关。

但……并非一切形式的循环都是恶性的，也并非一切形式的自我指称都导致悖论，有不少循环或自我指称的命题相当自然，且丝毫不会导致悖论，例如，‘本语句不是用斜体字印刷的’……”。

但是我们从罗素对说谎者悖论的解决方法中可以看出，罗素注意到了这个问题，他并没有要禁止一切形式的自我指称，而且这个观点中的例子按罗素的解释是没有自我指称（或者说是没有循环）的（见本节第三段标重点号的话）。

对于“本语句不是用斜体字印刷的”，如果认为“本语句”指整个句子的话，它就成为“‘本语句不是用斜体字印刷的’不是用斜体字印刷的”，这可以用类似的方法加以解释，我们可以认为前后两个“不是用斜体字印刷的”具有不同的意义：

前一个“不是用斜体字印刷的”只是指单纯的字，而后一个“不是用斜体字印刷的”则不是指字，而是指“印刷”的意义，因为纸面上的字是“本语句不是用斜体字印刷的”，而不是“‘本语句不是用斜体字印刷的’不是用斜体字印刷的”，这样，如果再循环一次，成为[“‘本语句不是用斜体字印刷的’不是用斜体字印刷的”不是用斜体字印刷的]，那么由于第二个“不是用斜体字印刷的”指“印刷”的意义，第三个“不是用斜体字印刷的”就说不通了，所以，这个例子实际上只能有意义地循环一次。

因此，对类型论的这种指责是不成立的。

也许有人对罗素对说谎者悖论的解决方法不满意，因为现实中我们宁愿把“我正在说的这句话为假”理解为悖论，即不合法的句子，也不愿意把它理解为“我正在断言一个命题具有一阶假”、“我正在断言一个命题具有二阶假”等等这样复杂的意思。

但正如第二章第一节中说的“红色”的例子一样，我们平时描述一个对象的颜色也许只说“红色”，或者“深红”、“浅红”就够了，但在物理学研究中也许就不够，需要更为复杂、精确的解释，罗素的方法在现实中也并不常见（也不需要常见），只是在出现问题的时候给出合理的解释。

三、还原公理在现实中的应用

由第一章第二节的叙述，因为类型论的限制，我们不能说“所有可以以a作为变元值的函项”，除非我们把所说的函项限定在某个确定的类型中。

那么在日常语言中，我们也就不能说“a的所有性质”，除非我们把所说的性质限定在某个确定的类型中。

这样，日常语言中的许多表述就也是被禁止的，日常语言就也是不可能的，但有了还原公理就可以解决这一问题，我们只要把“a的所有性质”看作一系列叙述（就像上一节中那样），说“a的所有性质”实际上就不会引起问题。

这种情况在日常语言中也是常见的，这实际上是由“系统的模糊性”导致的，由于数学中的许多符号及日常语言中的许多词具有许多意义，就使得许多时候表面上的一个叙述实际是许多个叙述，而且这种叙述是有优势的。

举一个不很精确的例子，比如我说“我们班的所有同学都去参加会议”，我实际要说的是每一个同学都去参加会议，而不是“我们班的所有同学”本身去参加会议，因为没有一个对象叫做“我们班的所有同学”，它只是表面上代表所有的同学，但是用一一列举的方式来说这句话却并不必要，有时用一一列举的方式也不可行，比如我说“所有的人都是有死的”，如果要列举出每个人就是不可想象的，这里困难并不在于无穷，因为古往今来的人虽然数量巨大，但终归是有穷的，一一列举从理论上说是可以做到的，但我们绝不会这样做，听的人也不会想让我们这样做。

还原公理在日常语言中也有许多重要应用，限于篇幅，在此我们只说还原公理的一个具体应用。

我们以“拿破仑具有成为一个伟大将军的所有品质”为例，由本章第一节的内容可知，如果我们把“拿破仑”当作类型0的实体，那么因为我们可以有意义说“拿破仑是勇敢的”，所以“勇敢”就是类型1的实体，但是例句中涉及了“所有品质”，所以例句与“拿破仑是勇敢的”不同，它是一个二阶命题，因此它对于“拿破仑”来说不是直谓的。

例句中涉及了“所有品质”，由禁止恶性循环原则，它自身就不能成为拿破仑具有的品质。

但是这并不是说对于伟大的将军来说就没有一个共有并且特有的品质，因为伟大的将军的数量是有穷的，而且他们中的每个人都会有一些普通人所没有的品质，我们如果把这些品质用逻辑中的“∧（表示‘并且’）”连接起来，就得到了一个品质，这个品质是一阶的，我们认为拿破仑具有这个品质，还原公理正是想要保证这个一阶品质的存在，但并不是具体得出这个一阶品质，因为想要完全写出这个一阶品质是不太可能的。

通过还原公理，当我们说“拿破仑具有成为一个伟大将军的所有品质”时，我们就可以把它理解为“拿破仑是聪明的、机敏的、勇敢的……”的简写，正像上一段中举的例子那样。

第三章类型论与还原公理面临的困难

一、类型论面临的困难

罗素自己也承认，类型论“在很大程度上还是初创的，混乱的，模糊的”。

类型论面临许多困难，这里我们只说它的一个根本性的困难。

由第一章第一节的内容我们知道，类型论是为避免恶性循环而提出的，但是要表述类型论就要破坏它自身的规定，因为“函项”、“类型”本身是没有类型限制的。

比如我说：

“没有一个函项可以有意义地对一切实体加以断定”，这句话本身是一个函项，又会涉及“恶性循环”的问题。

就算这个