初一数学讲义第1部分有理数.docx
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初一数学讲义第1部分有理数
一.从整数到分数
(一)整数
Ⅰ、整数的概念
1、0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10……这些数是整数,我们最先学的数就是它们,大概因为这是很自然的事情,把这些数称为自然数。
自然数的个数是无限的,没有最大的自然数。
想一想:
0一定代表没有吗?
如果不是,请举几例:
__________________________________
2、自然数的意义
(1)基数:
用来表示事物_______的自然数叫做基数。
这时,1表示______,5表示________,0表示_________。
(2)序数:
用来表示事物_______的自然数叫做序数。
这时,1表示______,5表示________,
Ⅱ、整数的运算
1、加法:
一个数与另一个数合起来,用加法。
两个数相加经常叫做两个数的和。
加数+加数=和
任何两个自然数的和仍是自然数。
也就是说,两个自然数的加法都可以运算。
2、减法:
求两个数相差多少,用减法。
两个数相减经常叫做两个数的差。
被减数-减数=差
(1)减法是加法的逆运算。
加数+加数=和和-加数=另一个加数
被减数-差=减数
被减数-减数=差
减数+差=被减数
(2)两个自然数的减法并不是都可以运算。
两个自然数m和n
①如果m≥n,m-n可以运算,其差还是自然数。
②如果m≤n,m-n不可以运算。
这要等到把数扩充正负数
3、乘法:
相同的数的加法的快捷方式。
两个数相乘经常叫做两个数的乘积。
乘数×乘数=积因数×因数=积
任何两个自然数的积仍是自然数。
也就是说,两个自然数的乘法都可以运算。
4、除法:
把一个数平均分成几份的运算。
被除数÷除数=商
(1)除法是乘法的逆运算。
因数×因数=积积÷因数=另一个因数
被除数÷商=除数
被除数÷除数=商
除数×商=被除数
(2)两个自然数的除法并不是都可以在自然数范围内运算。
也就是说,商不一定是自然数。
这说明自然数不够用了,需要把数的范围扩充,引进分数、小数。
(二)分数
1.一个物体,一群物体,一个计量单位,一段时间等都可以看作一个整体,用_________来表示。
2.分数的意义:
把单位“1”____________________,表示这样的_________________的数,叫分数。
3.分数的分母不能为_____。
分母等于_____,分数没有意义。
(一件东西分0份是没有意义的)
4.分数的基本性质:
_____________________________________________________________
5.①真分数:
______________________的分数叫做真分数。
真分数______1。
②假分数:
_________________________________的分数,叫做假分数。
假分数___________1
③带分数:
假分数可以写成_________与________合成的数,通常叫做带分数。
④想一想:
2x=2□x
(两个方框中均填×或+)
6.分数和整数
①分子是分母的倍数的假分数,都可以写成是整数。
例如
②任何一个整数,都可以写成分母为1的假分数。
例如:
(三)小数
Ⅰ、小数的意义
把整数1平均分成______份、______份、________份……,得到的十分之几、百分之几、千分之几……,可以用小数表示。
一个小数由_______部分、_______部分和________组成。
数中的圆点叫做________,小数点左边的数叫做___________,小数点右边的数叫做___________。
Ⅱ、小数的分类
有限小数
小数无限循环小数
无限小数
无限不循环小数
1.有限小数:
___________________________的小数,叫做有限小数。
例如:
_______________________________都是有限小数。
2.无限小数:
___________________________的小数,叫做无限小数。
例如:
_______________________________都是无限小数。
3.无限循环小数:
像______________________________________________这样的数叫做循环小数。
4.无限不循环小数:
__________________________________叫做无限不循环小数。
例如:
________________________________________________________________
________________________________________________________________
(四)小数和分数
1.所有的分数都可以化成小数。
例如:
=
=
2.有限小数都可以化成分数
例如:
3.23564=
3.无限循环小数都可以化成分数
例如:
①0.33……=
②0.99……=
4.无限不循环小数不能化为分数。
★除了无限不循环小数外,其他小数都等同于分数。
有了分数(包括有限小数和无限循环小数),除法运算都能够进行了。
二.正数和负数
(一)相反意义的量
1、在日常生活中,常会遇到这样一些量(事情):
例1:
汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米。
例2:
温度是零上10℃和零下5℃。
例3:
收入500元和支出237元。
例4:
水位升高1.2米和下降0.7米。
例5:
买进100辆自行车和卖出20辆自行车。
这些例子中出现的每一对量,有什么共同特点?
______________________________________
2、还有哪些具有相反意义的量?
________________________________________________________________________________________________________________________________________
(二)正数和负数
能用我们已经学过的数来很好的表示这些相反意义的量吗?
例如,零上5℃用5来表示,零下5℃呢?
也用5来表示,行吗?
为了表示具有相反意义的量,上面我们引进了一种新数,叫做负数。
过去学过的那些除零以外的数,叫做正数。
正数前面有时也可放一个“+”(读作“正”),如5可以写成+5。
具有相反意义的量,一个规定为____数,另一个就是_____数。
在一个数前加一个_____(也可以不加),这个数叫_______;在一个数前加一个______,这个数叫________。
★0既不是_______,也不是________
写出一些正负数:
正数__________________________负数______________________
小结
正数和负数表示的是一对相反意义的量,哪种意义为正是可以任意规定的。
如果把一种意义规定为正,则相反意义的量规定为负。
常将“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正,而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。
三、有理数的概念
(一)有理数的定义与分类
Ⅰ、整数和分数统称为有理数。
目前学过的数,除了______________________________外,都是有理数。
①无限不循环小数的类型1:
:
π和包含π的算式,例如:
3π,π+2
②无限不循环小数的类型2:
2.010010001……,0.415115111511115……
Ⅱ、有理数的分类:
第一种分法:
先将有理数按“整”和“分”的属性分,
再按每类数的“正”、“负”的属性分,
第二种分法:
先将有理数按“正”和“负”的属性分,
再按每类数的“整”、“分”的属性分,
想一想:
①“0”是整数吗?
是正数吗?
是有理数吗?
②“―2”是整数吗?
是正数吗?
是有理数吗?
③自然数就是整数吗?
是正数吗?
是有理数吗?
Ⅲ、把一些数放在一起,就组成一个数的集合,简称数集。
例如:
①所有正数组成的集合,叫做正数集合;②所有负数组成的集合叫做负数集合;
③所有整数组成的集合叫整数集合;④所有分数组成的集合叫分数集合;
⑤所有有理数组成的集合叫有理数集合;⑥所有正整数和零组成的集合叫做自然数集。
⑦非正数,⑧非负数,⑨非正整数,⑩非负整数
(二)数轴
1.____________________________________________叫数轴。
数轴的方向通常习惯指向_________方或上方。
2.整数与数轴
(1)任何一个整数都可以用_________________________表示。
①0用_______表示。
②正整数在_________________,负整数在__________________。
③越往右,表示的数______;越往左,表示的数______
(2)并不是数轴上的任何一个点都表示一个整数。
3.分数与数轴
(1)任何一个分数都可以______________________表示。
①正分数在_______________,负分数在________________。
②越往_______,表示的数越大;越往_______,表示的数越小。
(2)
①在
之间有多少个有理数?
_____________。
②在1和2之间有多少个有理数?
_____________;在EF之间有多少个点?
_____________。
③在1和
之间有多少个有理数?
_____________;在NE之间有多少个点?
______________。
④在1和
之间有多少个有理数?
___________。
⑤任何两个有理数之间有________个有理数;在任何两个点之间有_________个点。
(3)是不是数轴上的任何一个点都表示一个有理数?
为什么?
___________________________________________________
(三)相反数
1.相反数:
只有______不同的两个数称互为相反数。
其中任意一个是另一个的__________。
0的相反数是___。
想一想:
1和____互为相反数。
-3的相反数是____
2.在数轴上,表示互为相反数的两个点位于原点的_____侧,并且到原点的距离_______。
3.求一个数的相反数,在这个数的前边加一个“-”就可以了。
想一想:
4.6的相反数是_______,a的相反数是________,-5.4相反数是_________。
4.一个数前面有一个“-”,可以认为是求这个数的相反数。
想一想:
-(+3)=-(-5)=
(四)绝对值:
1.数轴上,表示____________________________叫做这个数的绝对值。
-5的绝对值记作:
|-5|;
2.绝对值法则:
①正数的绝对值是___________;
②0的绝对值是____;
③负数的绝对值是_________________。
想一想:
(五)有理数的大小比较
1.在数轴上,越在右方的数________
(1)负数小于____,0小于______,负数小于_____数;
(2)两个正数,应用已有的方法比较(绝对值大数大);
(3)两个负数,绝对值大的___________.
2有没有最小的正整数?
_______________有没有最小的正分数?
___________________
有没有最小的正有理数?
_____________有没有最小的非负数?
____________________
有没有最大的负整数?
_______________有没有最大的负分数?
____________________
有没有最小的负有理数?
_____________有没有最大的非正数?
____________________
四、有理数的运算
(一)有理数的加法
1、两个正数相加
5+8=+12+3.2=+3.5+(+7)=
2、两个负数相加
规定向东走为正。
第一次向西走15米,第二次向西走7米,两次共走多少米?
-15+(-7)=
足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量.若我们规定赢球为“正”,输球为“负”,打平为“0”。
学校足球队在一场比赛中:
(1)上半场输了2球,下半场输了1球,那么全场共输了几球.
(-2)+(-1)=
★同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
(-6)+(-35)=-7.2+(-54)=
3、异号两数相加
(1)学校足球队在一场比赛中,上半场赢了3球,下半场输了4球,那么全场共赢了几球.
(+3)+(-4)=
(2)上半场输了3球,下半场赢了4球,那么全场共赢了几球
(-3)+(+4)=
(3)上半场输了3球,下半场赢了3球,那么全场共赢了几球.
(-3)+(+3)=
★异号两个数相加,如果两数的绝对值相等,则和为0
或者说:
互为相反数的两个数相加得0
★绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,
并且用较大的绝对值减去较小的绝对值.
-150+250=(-1.15)+(+1.12)=-15+(+23)=
3+(-6)=
=
4、0和一个数相加
0+2=-8+0=0+0=
★一个数同0相加,仍得这个数
总结:
(1)★有理数的加法法则
●同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
●绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并且用较大的绝对值减去较小的绝对值.
●互为相反数的两数相加和为0
●一个数同0相加,仍得这个数。
(2)有理数加法的运算步骤
①先判断属于法则中的哪种类型;
②再依法则判断和的符号;
③判断利用绝对值的和还是绝对值的差进行计算.
上述步骤可以概括为:
“一定二求三加减”
(3)有理数加法的运算定律
①加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,和不变.
a+b=b+a.
②加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.(a+b)+c=a+(b+c)
(二)有理数的减法
规定:
向东走为正。
甲乙两人原在同一地点。
甲向东走10米,乙向东走8米,甲乙两人相距多少米?
_____________________________
甲向东走10米,乙原地不动,甲乙两人相距多少米_____________________________
甲向东走10米,乙向西走8米,甲乙两人相距多少米?
_____________________________
甲向西走10米,乙向西走8米,甲乙两人相距多少米?
_____________________________
-19-801029
·····
DCOAB
A、B两地相距:
_________________________;A、O两地相距:
________________________
A、C两地相距:
_________________________;C、D两地相距:
_________________________
所以:
★减去一个数,等于加上这个数的相反数。
再看:
减法是加法的逆运算,如果a+b=c,那么c-a=b
因为8+(-3)=5,所以5-(-3)=8=5+3
所以:
★减去一个数,等于加上这个数的相反数。
(三)有理数的乘法
1、两个正数相乘:
规定:
向东为正。
2×3,2看作向东运动2米,×3看作向原方向运动3次
2×3=
2、异号两数相乘:
①(-2)×3,-2看作向西运动2米,×3看作向原方向运动3次
(-2)×3=
也可以这样看:
(-2)×3=(-2)+(-2)+(-2)=-6
②2×(-3),2看作向东运动2米,×(-3)看作向反方向运动3次
2×(-3)=
3、两个负数相乘:
(-2)×(-3),-2看作向西运动2米,×(-3)看作向反方向运动3次
(-2)×(-3)=
4、0乘以任何数、任何数乘以0
①0×a,0看作运动0米,a看作向某方向运动
次
0×a=
②a×0,a看作向某方向运动
米,0看作运动0次
a×0=
★有理数乘法法则:
①同号两数相乘得正,并把绝对值相乘。
(两个负数相乘简称:
负负得正)
②异号两数相乘得负,并把绝对值相乘。
③0乘以任何数还得0。
★多个有理数连乘,
①如果奇数个负数,积得负;
②如果偶数个负数,积得正。
(四)有理数的除法
因为:
除以一个数等于乘以这个数的倒数,所以有理数除法的商的符号确定的方法和乘法一样。
(五)有理数的乘方
,读作
的平方(或二次方).
,读作
的立方(或三次方).
,读作
的四次方.
一般地,
个相同的因数
相乘:
记作:
读作
的
次方,或者读作
的
次幂.
求
个相同因数的积的运算叫做乘方;乘方的结果叫做幂.
★一个数可以表示成这个数本身的一次方,例如,
(指数1通常省略不写)
练一练
(1):
=
=
=
练一练
(2),注意括号位置的不同:
=
=
=
=
练一练(3):
=
=
=
★负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;
★正数的任何次幂都是正数.
练一练(3)
11=12=13=14=1n=0n=
=
=
=
=
★
★
(六)有理数的混合运算
到目前为止,对有理数来说,我们学过的运算有:
加、减、乘、除、乘方;
运算顺序:
先乘方,再乘除,后加减。
如果右括号,先算括号里面的。
(七)科学计数法
一般地,一个大于10的数可以写成a×10n的形式,其中1≤a<10,n是正整数。
这种记数方法叫做科学计数法。
练一练
500000000=135600000=
可以看出n比该数的位数小1。
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