2和3答案.docx
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2和3答案
2.1椭圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
椭圆的定义
【问题导思】
1.取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时能在图板上画出一个圆.
如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点处(如图)套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出什么样的一个图形?
【提示】 椭圆.
2.在上述画出椭圆的过程中,你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗?
【提示】 笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长.
把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
椭圆的标准方程
【问题导思】
观察椭圆的形状,你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单?
【提示】 以椭圆两焦点F1、F2的直线为x(y)轴,线段F1F2的垂直平分线为y(x)轴建系.
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准
方程
+=1(a>b>0)
+=1(a>b>0)
焦点
(-c,0)与(c,0)
(0,-c)与(0,c)
a,b,c
的关系
c2=a2-b2
椭圆定义的理解及简单应用
(1)已知F1(-4,0),F2(4,0),则到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是________;
(2)椭圆+=1的两焦点分别为F1、F2,过F2的直线交椭圆于A、B两点,则△ABF1的周长为________.
【思路探究】
(1)动点的轨迹是椭圆吗?
(2)怎样用椭圆的定义求△ABF1的周长?
【自主解答】
(1)由于动点到F1、F2的距离之和恰巧等于F1F2的长度,故此动点的轨迹是线段F1F2.
(2)由椭圆的定义,|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF1|=2a,
∴|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AB|=4a=20,
∴△ABF1的周长为20.
【答案】
(1)线段F1F2
(2)20
1.定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据,根据椭圆的定义可知,集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,a>0,c>0,且a、c为常数.
当a>c时,集合P为椭圆上点的集合;
当a=c时,集合P为线段上点的集合;
当a<c时,集合P为空集.
因此,只有|F1F2|<2a时,动点M的轨迹才是椭圆.
2.注意定义的双向运用,即若|PF1|+|PF2|=2a(a>|F1F2|),则点P的轨迹为椭圆;反之,椭圆上任意点到两焦点的距离之和必为2a.
椭圆+=1上的一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于( )
A.2 B.4
C.8 D.
【解析】 如图,F2为椭圆右焦点,连MF2,则ON是△F1MF2的中位线,∴|ON|=|MF2|,
又|MF1|=2,|MF1|+|MF2|=2a=10,
∴|MF2|=8,∴|ON|=4.
【答案】 B
求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)两焦点坐标分别为(-4,0)和(4,0)且过点(5,0);
(2)中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过(2,0)和(0,1)两点.
【思路探究】
(1)焦点的位置确定了吗?
怎样求出标准方程?
(2)焦点位置不确定时该怎么办?
有没有简便的求解方法?
【自主解答】
(1)∵椭圆的焦点在x轴上,
∴设它的标准方程为+=1(a>b>0),
∴2a=+=10,
∴a=5.又c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9,
故所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)法一 当椭圆的焦点在x轴上时,
设所求椭圆的方程为+=1(a>b>0).
∵椭圆经过两点(2,0),(0,1),
∴则
∴所求椭圆的方程为:
+y2=1;
当椭圆的焦点在y轴上时,
设方程为+=1(a>b>0).
∵椭圆经过两点(2,0),(0,1),
∴则与a>b矛盾,故舍去.
综上可知,所求椭圆的标准方程为+y2=1.
法二 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点,
∴∴
综上可知,所求椭圆方程为+y2=1.
1.求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法,即先由条件确定焦点位置,设出方程,再设法求出a2、b2代入所设方程,也可以简记为:
先定位,再定量.
2.当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因为它包括焦点在x轴上(m<n)和焦点在y轴上(m>n)两类情况,所以可以避免分类讨论,从而达到了简化运算的目的.
本例
(2)若改为“经过(-2,1)和(,-2)两点”,其他条件不变,试求椭圆的标准方程.
【解】 设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1
(m>0,n>0,m≠n),
将点(-2,1),(,-2)代入上述方程得
解得故所求椭圆的标准方程为+=1.
求与椭圆有关的轨迹方程
已知圆x2+y2=9,从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′,垂足为P′,点M在PP′上,并且=2,求点M的轨迹.
【思路探究】 →→→→
【自主解答】 设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则x0=x,y0=3y.
∵P(x0,y0)在圆x2+y2=9上,
∴x+y=9.
将x0=x,y0=3y代入得x2+9y2=9,即+y2=1.
∴点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆+y2=1.
1.转代法(即相关点法)求轨迹方程:
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,只要把所求动点坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去,即可解决问题,这种方法称作“转代法”.
2.用转代法求轨迹方程大致步骤是:
(1)设所求轨迹上的动点P(x,y),再设具有某种运动规律f(x,y)=0上的动点Q(x′,y′);
(2)找出P、Q之间坐标的关系,并表示为
(3)将x′,y′代入f(x,y)=0,即得所求轨迹方程.
设A、B是椭圆+=1与x轴的左、右两个交点,P是椭圆上一个动点,试求AP中点M的轨迹方程.
【解】 设P(x0,y0),AP的中点M(x,y),则即代入椭圆方程+=1,
得+=1,
所以AP中点M的轨迹方程是+=1.
已知B、C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长为18,求这个三角形顶点A的轨迹方程.
【思路探究】
(1)解答本题时如何建系更简单?
(2)由△ABC的周长为18能否得到A到B、C的距离之和为定值?
这满足椭圆的定义吗?
【自主解答】 以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的中点为原点,建立平面直角坐标系.
由|BC|=8,可知点B(-4,0),C(4,0).
由|AB|+|BC|+|AC|=18,
得|AB|+|AC|=10>|BC|=8.
因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a=10,即a=5,且点A不能在x轴上.
由a=5,c=4,得b2=9.
所以点A的轨迹方程为+=1(y≠0).
1.本题紧扣椭圆的定义求得了顶点A的轨迹方程,解答时不要漏掉y≠0这一条件.
2.用定义法求椭圆方程的思路是:
先观察、分析已知条件,看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义,若符合椭圆的定义,则用待定系数法求解即可.
已知A(-,0),B是圆F:
(x-)2+y2=4(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P点,则动点P的轨迹方程为________.
【解析】 如图,依题意知|PA|=|PB|,所以|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|BF|=2,所以点P的轨迹为以A(-,0),F(,0)为焦点的椭圆,其方程可设为x2+=1,又因为c=,a=1,所以b2=a2-c2=,从而所求的动点P的轨迹方程为x2+y2=1.
【答案】 x2+y2=1
忽略椭圆标准方程中a>b>0的条件致误
方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,求实数m的取值范围.
【错解】 方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m2<(m-1)2,解得m<,所以实数m的取值范围是(-∞,).
【错因分析】 错解只注意了焦点在y轴上,而没有考虑m2>0且(m-1)2>0,这是经常出现的一种错误,解题时要注意.
【防范措施】 椭圆的焦点在x轴上时,其方程为+=1(a>b>0),焦点在y轴上时,其方程为+=1(a>b>0),应用时一定要注意条件a>b>0,否则极易将焦点位置弄错.
【正解】 方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则解得故实数m的取值范围是(-∞,0)∪(0,).
1.熟悉椭圆定义、标准方程,熟练掌握常用基本方法的同时,要注意揣摩解题过程所运用的数学思想方法,以达到优化解题思路、简化解题过程的目的,但切忌只想不算,形成解题思路后,一定要动手计算,没有形成结论就不应该停手.
2.在运用椭圆的定义解题时,一定要注意隐含条件a>c.
3.注意焦点分别在x轴和y轴上对应的椭圆方程的区别和联系.
4.求椭圆的标准方程常用的方法是定义法和待定系数法.
(对应学生用书第22页)
1.设P是椭圆+=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( )
A.10 B.8 C.5 D.4
【解析】 由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=2×5=10.
【答案】 A
2.椭圆+=1的焦点坐标是( )
A.(±4,0)B.(0,±4)
C.(±3,0)D.(0,±3)
【解析】 ∵a2=25,b2=16且焦点在y轴上,∴c=3,焦点坐标为F1(0,-3),F2(0,3).
【答案】 D
3.一椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0,-8),F2(0,8),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为( )
A.+=1B.+=1
C.+=1D.+=1
【解析】 由题意c=8,a=10且焦点在y轴上,∴b2=a2-c2=100-64=36,∴方程为+=1.
【答案】 C
4.已知一椭圆标准方程中b=3,c=4,求此椭圆的标准方程.
【解】 ∵b2=9,c2=16,∴a2=b2+c2=25.
∵此椭圆的焦点不确定,
∴标准方程为+=1或+=1.
(2013·北京高二检测)如图所示,点M是椭圆+=1上的一点,F1、F2是左、右焦点,∠F1MF2=60°,求△F1MF2的面积.
图
【解】 由椭圆的方程得a2=64,b2=36,
∴2a=16,c2=a2-b2=28,
∴2c=4.
由椭圆定义得:
|MF1|+|MF2|=16,①
又△MF1F2中,由余弦定理得:
|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|·|MF2|cos60°.②
①2-②得:
3|MF1|·|MF2|=162-|F1F2|2=162-(4)2.
∴|MF1|·|MF2|=48.
∴S△F1MF2=|MF1|·|MF2|sin60°=12.
椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=________;∠F1PF2的大小为________.
【解析】 由于a2=9,b2=2,所以c==,故焦距|F1F2|=2,又由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=6,且|PF1|=4,
得|PF2|=2,再结合余弦定理,得cos∠F1PF2==-,所以∠F1PF2=120°.
【答案】 2 120°
2.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质
【问题导思】
已知两椭圆C1、C2的标准方程:
C1:
+=1,C2:
+=1.
1.椭圆C1的焦点在哪个坐标轴上,a、b、c分别是多少?
椭圆C2呢?
【提示】 C1:
焦点在x轴上,a=5,b=4,c=3,
C2:
焦点在y轴上,a=5,b=4,c=3.
2.怎样求C1、C2与两坐标轴的交点?
交点坐标是什么?
【提示】 对于方程C1:
令x=0,得y=±4,即椭圆与y轴的交点为(0,4)与(0,-4);令y=0得x=±5,即椭圆与x轴的交点为(5,0)与(-5,0).同理得C2与y轴的交点(0,5),(0,-5),与x轴的交点(4,0)(-4,0).
焦点的
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
续表
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)
轴长
短轴长=2b,长轴长=2a
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
焦距
|F1F2|=2c
对称性
对称轴为坐标轴,对称中心为(0,0)
离心率
e=
椭圆的离心率
【问题导思】
观察不同的椭圆,其扁平程度各不一样,如何刻画椭圆的扁平程度呢?
【提示】 利用椭圆的离心率.
1.定义
椭圆的焦距与长轴长的比e=,叫做椭圆的离心率.
2.性质
离心率e的范围是(0,1).当e越接近于1,椭圆越扁,当e越接近于0,椭圆就越接近于圆.
由椭圆方程研究几何性质
已知椭圆16x2+9y2=1,求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、焦距和离心率.
【思路探究】
(1)所给椭圆方程是标准形式吗?
(2)怎样由椭圆的标准方程求得a、b、c的值进而写出其几何性质中的基本量?
【自主解答】 将椭圆方程化为+=1,则a2=,b2=,椭圆焦点在y轴上,c2=a2-b2=-=,所以顶点坐标为(0,±),(±,0),焦点坐标为(0,±),长轴长为,短轴长为,焦距为,离心率为.
1.已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式的先化成标准形式,再确定焦点的位置,进而确定椭圆的类型.
2.焦点位置不确定的要分类讨论,找准a与b,正确利用a2=b2+c2求出焦点坐标,再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长,焦距不是a,b,c,而应是a,b,c的两倍.
本例中,若把椭圆方程改为“25x2+16y2=400”,试求其长轴长、短轴长、离心率、焦点与顶点坐标.
【解】 将方程变形为+=1,
得a=5,b=4,所以c=3.
故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=10和2b=8,离心率e==,
焦点坐标为F1(0,-3),F2(0,3),
顶点坐标为A1(0,-5),A2(0,5),B1(-4,0),B2(4,0).
由椭圆的几何性质求其标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6);
(2)过(3,0)点,离心率e=.
【思路探究】
(1)椭圆的焦点位置确定了吗?
(2)你将怎样求得a2、b2并写出标准方程?
【自主解答】
(1)由题意知2a=4b,∴a=2b.
设椭圆标准方程为+=1或+=1,
代入点(2,-6)得,+=1或+=1,
将a=2b代入得,a2=148,b2=37或a2=52,b2=13,
故所求的椭圆标准方程为+=1或+=1.
(2)当椭圆焦点在x轴上时,有a=3,=,
∴c=,∴b2=a2-c2=9-6=3,
∴椭圆的标准方程为+=1;
当椭圆焦点在y轴上时,b=3,=,
∴=,
∴a2=27,∴椭圆的标准方程为+=1.
故所求椭圆标准方程为+=1或+=1.
求标准方程的常用方法是待定系数法,基本思路是“先定位、再定量”.
1.定位即确定椭圆焦点的位置,若不能确定,应分类讨论.
2.定量即通过已知条件构建关系式,用解方程(组)的方法求a2、b2.其中a2=b2+c2,e=是重要关系式,应牢记.
分别求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是6,离心率是;
(2)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.
【解】
(1)设椭圆的方程为
+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0).
由已知得2a=6,a=3.e==,∴c=2.
∴b2=a2-c2=9-4=5.
∴椭圆的标准方程为+=1或+=1.
(2)设椭圆方程为+=1(a>b>0).
如图所示,△B1FB2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且|OF|=c,|B1B2|=2b,
∴c=b=3,∴a2=b2+c2=18,
故所求椭圆的标准方程为+=1.
求椭圆的离心率
(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等,求其离心率.
(2)若一个椭圆长轴长度、短轴的长度和焦距成等差数列,求该椭圆的离心率.
【思路探究】
(1)由焦距与短轴长相等,你能得出a、b、c的关系吗?
可以用离心率公式求离心率吗?
(2)由题意得2b=a+c,如何使用这一关系式求e?
【自主解答】
(1)由题意得:
b=c,
∴e2====.
∴e=.
(2)∵椭圆的长轴长度、短轴长度与焦距成等差数列,
∴2b=a+c,∴4b2=(a+c)2.
又∵a2=b2+c2,∴4(a2-c2)=a2+2ac+c2,
即3a2-2ac-5c2=0,
∴(a+c)(3a-5c)=0.
∵a+c≠0,∴3a-5c=0,∴3a=5c,
∴e==.
求椭圆离心率的常用方法:
1.直接法:
求出a、c后用公式e=求解;或求出a、b后,用公式e=求解.
2.转化法:
将条件转化为关于a、b、c的关系式,用b2=a2-c2消去b,构造关于的方程来求解.
(1)求椭圆+=1的离心率.
(2)已知椭圆的两个焦点F1、F2,点A为椭圆上一点,且·=0,∠AF2F1=60°,求椭圆的离心率.
【解】
(1)e====.
(2)设F1F2=2c,由题意知,△AF1F2中,∠A=90°,∠AF2F1=60°,∴|AF1|=c,|AF2|=c.
∵|AF1|+|AF2|=c+c=2a,
即(+1)c=2a,∴e===-1.
混淆长轴长与长半轴长、短轴长与短半轴长的概念致误
求椭圆25x2+y2=25的长轴长和短轴长.
【错解】 将方程化为标准方程得:
x2+=1,
∴a=5,b=1,
∴长轴长是5,短轴长是1.
【错因分析】 错解中将长半轴长、短半轴长与长轴长、短轴长混淆了,从而导致错误.
【防范措施】 根据定义,长轴长为2a,短轴长为2b,往往与长半轴长a、短半轴长b混淆,解题时要特别注意.
【正解】 将已知方程化成标准方程为x2+=1.
∴a=5,b=1,∴2a=10,2b=2.
故长轴长为10,短轴长为2.
1.通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质;反之,由椭圆的性质也可以通过待定系数法求椭圆的方程.
2.椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度,离心率可以从关于a、b、c的一个方程求得,也可以用公式求得.
(对应学生用书第25页)
1.椭圆6x2+y2=6的长轴的顶点坐标是( )
A.(-1,0)、(1,0)
B.(-6,0)、(6,0)
C.(-,0)、(,0)
D.(0,-)、(0,)
【解析】 椭圆的标准方程为x2+=1,焦点在y轴上,其长轴的端点坐标为(0,±).
【答案】 D
2.椭圆x2+4y2=1的离心率为( )
A. B. C. D.
【解析】 椭圆方程可化为x2+=1,∴a2=1,b2=,∴c2=,∴e2==,∴e=.
【答案】 A
3.若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为,则m等于( )
A.B.
C.D.
【解析】 ∵椭圆焦点在x轴上,
∴0<m<2,a=,c=,
e===.
故=,∴m=.
【答案】 B
4.已知椭圆的中心在坐标原点,离心率为,一个焦点是(0,4),求此椭圆的标准方程.
【解】 由题意:
c=4,e=,∴a=5,
∴b2=a2-c2=9.
又椭圆的焦点在y轴上,
∴其标准方程为+=1.
(教师用书独具)
已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在一点P使=,求该椭圆的离心率的取值范围.
【解】 在△PF1F2中,由正弦定理得=,则结合已知,得=,即|PF1|=|PF2|.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,则|PF2|+|PF2|=2a,即|PF2|=,由椭圆的几何性质和已知条件知|PF2|<a+c,则<a+c,即c2+2ac-a2>0,所以e2+2e-1>0,解得e<--1或e>-1.又e∈(0,1),故椭圆的离心率e∈(-1,1).
椭圆M:
+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上任一点,且·的最大值的取值范围是[c2,3c2],其中c=,则椭圆M的离心率e的取值范围是( )
A.[,] B.[,]
C.(,1)D.[,1)
【解析】 设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则=(-c-x,-y),=(c-x,-y),·=x2+y2-c2.又x2+y2可看作P(x,y)到原点的距离的平方,所以(x2+y2)max=a2,所以(·)max=b2,所以c2≤b2=a2-c2≤3c2,即≤e2≤,∴≤e≤.
【答案】 B
第2课时 椭圆方程及性质的应用
点与椭圆的位置关系
【问题导思】
点与椭圆有几种位置关系?
【提示】 三种位置关系:
点在椭圆上,点在椭圆内,点在椭圆外.
设点P(x0,y0),椭圆+=1(a>b>0).
(1)点P在椭圆上⇔+=1;
(2)点P在椭圆内⇔+<1;
(3)点P在椭圆外⇔+>1.
直线与椭圆的位置关系
【问题导思】
1.直线与椭圆有几种位置关系?
【提示】 三种位置关系:
相离、相切、相交.
2.我们知道,可以用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系,这种方法称为几何法,能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系?
【提示】 不能.
3.用什么方法判断直线与椭圆的位置关系?
【提示】 代数法.
直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系联立消y得一个一元二次方程.
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ=0
相离
无解
Δ<0
直线与椭圆的位置关系的判定
当m为何值时,直线y=x+m与椭圆+y2=1相交、相切、相离?
【思路探究】 →→→
【自主解答】 联立方程组得
将①代入②得+(x+m)2=1,
整理得5x2+8mx+4m2-4=0③
Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2).
当Δ>0,即-<m<时,方程③有两个不同的实数根,代入①可得到两个不同的公共点坐标,此时直线与椭圆相交;当Δ=0,即m=-或m=时,方程③有两个相等的实数根,代入①可得到一个公共点坐标,此时直线与椭圆相切;当Δ<0,即m<-或m>时,方程③没有实数根,直线与椭圆相离.
判断直线与椭圆位置关系的步骤:
试判断直线y=x-与椭圆x2+4y2=2的位置关系.
【解】 联立方程组得
消去y,整理得5x2-4x-1=0,(*)
Δ=(-4)2-4×5×(-1)=36>0,
即方程(*)有两个
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