届一轮复习人教A版直线与圆的方程学案.docx
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届一轮复习人教A版直线与圆的方程学案
考查角度1 直线与圆的方程
分类透析一 圆的方程及其应用
例1已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2,则圆C的方程为( ).
A.+y2=B.+y2=
C.x2+=D.x2+=
解析由题意知圆心在y轴上,且被x轴所分的劣弧所对的圆心角为.设圆心为(0,a),半径为r,则rsin=1,rcos=|a|,解得r=,即r2=,|a|=,则a=±,故圆C的方程为x2+=,选C.
答案C
方法技巧关于确定圆的标准方程问题,可以利用待定系数法、几何法等知识进行处理,而确定圆心和半径是解题的关键,可以借助圆的几何性质求圆心坐标和半径.
分类透析二 直线与圆的位置关系的判定与应用
例2直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)与圆x2+y2-2x+4y-4=0的位置关系为( ).
A.相离B.相切
C.相交D.以上都有可能
解析可将圆的方程化为(x-1)2+(y+2)2=9,
∴圆心为(1,-2),半径r=3.
又圆心在直线2tx-y-2-2t=0上,
∴直线与圆相交,选C.
答案C
方法技巧判定直线与圆的位置关系,可以利用代数法和几何法进行判定,代数法就是利用方程的根的个数进行判定,几何法就是利用圆心到直线的距离和其半径大小进行比较,从而确定其位置关系.
例3已知直线l:
y=-(x-1)与圆O:
x2+y2=1在第一象限内交于点M,且l与y轴交于点A,则△MOA的面积等于 .
解析依题意可得,直线l:
y=-(x-1)与y轴的交点A的坐标为(0,).
由得点M的横坐标xM=或xM=1(不合题意).
所以△MOA的面积为S=|OA|·xM=××=.
答案
方法技巧根据直线与圆的位置不同,构造出的一些平面图形问题,解题时要注意平面图形问题的处理思路和方法,涉及面积时,可以借助一些圆的性质进行计算.
分类透析三 圆的切线和弦长问题
例4过点(1,1)的直线与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A,B两点,则|AB|的最小值为( ).
A.2B.4C.2D.5
解析由圆的几何性质可知,当点(1,1)为弦AB的中点时,|AB|的值最小.又因为点(1,1)与圆心(2,3)的距离d=,所以|AB|=2=2=4.
答案B
方法技巧先判断已知点和圆的位置关系,若已知点在圆外,则此时最小值为0;若已知点在圆内,则该点为弦AB的中点时,|AB|的值最小,此时的最大值为已知圆的直径.
例5已知点M(3,1)及圆(x-1)2+(y-2)2=4,则过点M的圆的切线方程为 .
解析结合已知条件,得圆心C(1,2),半径r=2,当直线的斜率不存在时,方程为x=3.
由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时直线与圆相切.
当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),
即kx-y+1-3k=0,由题意知=2,解得k=,故方程为y-1=(x-3),即3x-4y-5=0.
综上,过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.
答案x=3或3x-4y-5=0
方法技巧解决圆的切线问题,关键是确定切线的斜率,可以根据直线与圆相切的条件进行处理,尤其需要注意直线的斜率是否存在.
1.(2018年全国Ⅲ卷,文6改编)已知圆C:
(x-2)2+y2=2和直线x+y+2=0,点P在直线上,则过点P作圆C的切线,切点为Q,则|PQ|的最小值为 .
解析连接CQ,PC(图略),则|PQ|2=|PC|2-r2(其中r为已知圆C的半径),当|PC|最小时,|PQ|有最小值,即先求点C到直线的距离|PC|的最小值,故此时点C(2,0)到直线x+y+2=0的距离为2,|PQ==.
答案
2.(2016年全国Ⅱ卷,文6改编)圆x2+y2-2ax-8y+13=0的圆心到直线x+y-1=0的距离为,则a=( ).
A.-1B.-5C.D.-1或-5
解析圆x2+y2-2ax-8y+13=0化为标准方程为(x-a)2+(y-4)2=3+a2,
故圆心坐标为(a,4),则圆心到直线x+y-1=0的距离d==,
解得a=-1或a=-5,故选D.
答案D
3.(2016年全国Ⅲ卷,文15改编)已知直线l:
x+y-1=0与圆x2+y2=25交于A,B两点(设点A位于第四象限),过A作l的垂线与x轴交于C点,则△ABC的面积为 .
解析联立方程组得或故点A(4,-3),点B(-3,4),所以直线AC的方程为y=x-7,得C(7,0),所以可得|AB|=7,|AC|=3.又因为AB⊥AC,所以S△ABC=|AB|·|AC|=×7×3=21.
答案21
4.(2018年江苏卷,12改编)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:
y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),过点B作直线l的垂线,垂足为A,则以AB为直径的圆的圆心C的横坐标为( ).
A.1B.2C.3D.4
解析由题意得直线AB的方程为y-0=-(x-5),联立方程组解得所以A(1,2),所以线段AB的中点坐标为C(3,1),则点C的横坐标为3,故选C.
答案C
1.(2018年陕西省高三教学质量检测试题
(二))已知☉C:
x2+y2-4x-6y-3=0,点M(-2,0)是☉C外一点,则过点M的圆的切线的方程是( ).
A.x+2=0,7x-24y+14=0
B.y+2=0,7x+24y+14=0
C.x+2=0,7x+24y+14=0
D.y+2=0,7x-24y+14=0
解析☉C:
x2+y2-4x-6y-3=0,即(x-2)2+(y-3)2=16,故圆心为(2,3),半径为4.点M(-2,0)是☉C外一点,显然x+2=0是过点M的圆的一条切线,
设另一条切线为y=k(x+2),则=4,解得k=-,所以切线方程为7x+24y+14=0.
故选C.
答案C
2.(云南省保山市2018届普通高中高三毕业生第二次市级)若x,y满足约束条件(x-1)2+(y-1)2≤1,则的最小值为( ).
A.-1B.3-2C.+1D.3+2
解析(x-1)2+(y-1)2≤1表示的是以(1,1)为圆心,1为半径的圆上及其圆内部的点,而=的几何意义是点(x,y)到原点的距离,所以的最小值为-1,故选A.
答案A
3.(山西省2018届高三第一次模拟考试)若点P为圆x2+y2=1上的一个动点,点A(-1,0),B(1,0)为两个定点,则|PA|+|PB|的最大值为( ).
A.2B.2C.4D.4
解析∵∠APB=90°,∴|PA|2+|PB|2=4,
由不等式可得≤=2,
∴|PA|+|PB|≤2,当且仅当|PA|=|PB|=时,“=”成立,所以|PA|+|PB|的最大值为2.故选B.
答案B
4.(安徽省淮南市2018届高三第二次模拟考试)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,分别过A,B作准线的垂线,垂足分别为A1,B1两点,以A1B1为直径的圆C过点M(-2,3),则圆C的方程为( ).
A.(x+1)2+(y-2)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=17
C.(x+1)2+(y-1)2=5D.(x+1)2+(y+2)2=26
解析由题意知抛物线的准线方程为x=-1,焦点F(1,0).
当直线AB的斜率不存在时,得圆C的方程为(x+1)2+y2=4,不符合题意,当直线AB的斜率存在时,设AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),联立方程组∴y2-y-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-4.
∴|y1-y2|==4.
∴以A1B1为直径的圆C的圆心为,半径为2.
∴圆C的方程为(x+1)2+=4.
把(-2,3)代入圆C的方程得1+=4,解得k=2.
∴圆C的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.故选C.
答案C
5.(河南安阳2018届高三第二次模拟考试)已知圆C1:
x2+y2-kx+2y=0与圆C2:
x2+y2+ky-4=0的公共弦所在直线恒过定点P(a,b),且点P在直线mx-ny-2=0上,则mn的取值范围是( ).
A.B.
C.D.
解析将x2+y2-kx+2y=0与x2+y2+ky-4=0相减,得公共弦所在的直线方程为kx+(k-2)y-4=0,即k(x+y)-(2y+4)=0.由得
所以定点为P(2,-2),因此2m+2n-2=0,
所以m+n=1,mn≤=,选D.
答案D
6.(江西上饶市2018届高三上学期第一次模拟考试)已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,以其焦点F为圆心,|FA|为半径的圆交抛物线的准线于B,C两点,若∠BFC=θ且满足2sin2θ+sinθ-sin2θ=3cosθ,当△ABC的面积为时,则实数p的值为( ).
A.4B.4C.8D.8
解析如图所示,
由2sin2θ+sinθ-sin2θ=3cosθ,
移项得sinθ-sin2θ=3cosθ-2sin2θ,
化简为sinθ-2sinθcosθ=3cosθ-2+2cos2θ,
即sinθ(1-2cosθ)=(cosθ+2)(2cosθ-1),
可得(2cosθ-1)(sinθ+cosθ+2)=0,
又sinθ+cosθ+2>0,
故cosθ=,θ=.
又由图知|EF|=p,则在△EFB中,|BC|=2|BE|=2ptan.
设点A到BC的距离为d,则d=|AF|=|BF|,|BF|=,S△ABC=|BC|·d=·2ptan·=p2=,解得p=4,故选A.
答案A
7.(四川省德阳市2018届高三二诊考试)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,其一条渐近线被圆(x-m)2+y2=4(m>0)截得的线段长为2,则实数m的值为( ).
A.3B.1C.D.2
解析双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,
则=,∴c2=2a2,∴a2+b2=2a2,∴a=b.
不妨设其一条渐近线为x-y=0,
圆(x-m)2+y2=4(m>0)的圆心为(m,0),半径为2,
双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-m)2+y2=4(m>0)截得的线段长为2,
∴圆心到渐近线的距离为=,
∴m=2,故选D.
答案D
8.(浙江省金华十校2018年4月高考模拟考试)已知椭圆+=1(a>b>0)经过圆x2+y2-4x-2y=0的圆心,则ab的取值范围是( ).
A.B.[4,+∞)
C.D.(0,4]
解析将x2+y2-4x-2y=0化为(x-2)2+(y-1)2=5,可知圆心坐标为(2,1),代入椭圆方程,得+=1.
∵+=1≥2=,
∴ab≥4,当且仅当b2=2,a2=8时等号成立,
∴ab的取值范围是[4,+∞),故选B.
答案B
9.(山东省实验中学2015级第二次模拟考试)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,e为双曲线的离心率,P是双曲线右支上的点,△PF1F2的内切圆的圆心为I,过F2作直线PI的垂线,垂足为B,则OB=( ).
A.aB.bC.eaD.eb
解析如图所示,延长F2B将PF1于点C,由题意知,F1(-c,0),F2(c,0),
∵P,I,B三点共线,F2C⊥PB,∠CPB=∠F2PB,∴△PCF2是一个等腰三角形,∴PC=PF2,∴点B为F2C的中点.又点O为F1F2的中点,|PF1|-|PF2|=2a,
∴在△F1CF2中,OB=CF1=(PF1-PC)=(PF1-PF2)=×2a=a.故选A.
答案A
10.(河北省石家庄市2018届高三第一次模拟考试试题)已知F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2的直线l与双曲线的右支交于A,B两点,△AF1F2的内切圆半径为r1,△BF1F2的内切圆半径为r2,若r1=2r2,则直线l的斜率为( ).
A.1B.C.2D.2
解析设△AF1F2的内切圆圆心为I1,△BF1F2的内切圆圆心为I2,边AF1,AF2,F1F2上的切点分别为M,N,E,易知I1,E的横坐标相等,则|AM|=|AN|,|F1M|=|F1E|,|F2N|=|F2E|.
由|AF1|-|AF2|=2a,即|AM|+|MF1|-(|AN|+|NF2|)=2a,得|MF1|-|NF2|=2a,即|F1E|-|F2E|=2a,记I1的横坐标为x0,则E(x0,0),于是x0+c-(c-x0)=2a,得x0=a.
同理,内心I2的横坐标也为a,则有I1I2⊥x轴,
设直线l的倾斜角为θ,则∠OF2I2=,∠I1F2O=90°-,
则tan=,tan∠I1F2O=tan==.∵r1=2r2,∴tan2=,tan=.
∴tanθ==2.
故选D.
答案D
11.(河北省衡水中学2018届高三数学三轮复习系列七)过抛物线y=的焦点引圆x2+y2-6x+8=0的两条切线所形成的角的正切值为 .
解析如图所示,抛物线的焦点为A(0,1),圆心为B(3,0),半径为1,
设两条切线所成的角∠CAD=2∠CAB=2θ,而tanθ==,所以tan2θ===.
答案
12.(山东省枣庄市2018届高三第二次模拟考试)已知圆M与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,且圆心在直线y=-x+2上,则圆M的标准方程为 .
解析由题意可知圆心在直线y=-x+2上,设圆心为(a,2-a),
因为圆M与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,
所以圆心到两条直线的距离相等,即=,解得a=0,即圆心为(0,2).
又r==,所以圆M的标准方程为x2+(y-2)2=2.
答案x2+(y-2)2=2
13.在圆x2+y2=4上任取一点,则该点到直线x+y-2=0的距离d∈[0,1]的概率为 .
解析由题意知圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离为=2,则直线x+y-2=0与圆x2+y2=4相切.
设直线x+y+m=0与直线x+y-2=0的距离为1,则=1,∴m=-或m=-3(舍去).
如图所示,
设直线x+y-=0与圆交于A,B两点,作OD⊥AB
由题意可得sin∠OAD==,故∠OAD=30°,
则∠AOB=180°-30°×2=120°,
由题意可知在劣弧上的点均为满足要求的点.
由角度型几何概型公式可得满足题意的概率为=.
答案
14.(河南省南阳市第一中学2018届高三第十二次考试)已知AB为圆C:
x2+y2-2y=0的直径,点P为直线y=x-1上任意一点,则||2+||2的最小值为 .
解析圆C的方程可化为x2+(y-1)2=1,可知圆的半径为1,||=||=1.又圆心(0,1)到直线y=x-1的距离d==,||的最小值为,所以||2+||2=(+)2-2·=4-2(+)·(+)=4-2(+)·(-)=2+2=2+2≥2×2+2=6,所以||2+||2的最小值为6.
答案6
15.(山西省榆社中学2018届高三诊断性模拟考试)设m>0,双曲线M:
-y2=1与圆N:
x2+(y-m)2=5相切,A(-,0),B(,0),若圆N上存在一点P满足|PA|-|PB|=4,则点P到x轴的距离为 .
解析由题意知,a=2,c=,点A,B分别为双曲线的左,右焦点.因为点P满足|PA|-|PB|=4=2a,所以点P是双曲线与圆的切点,且在双曲线的右支上.由圆的方程可知其圆心为C(0,m),半径为.联立消去x得5y2-2my+m2-1=0.由Δ=(-2m)2-4×5×(m2-1)=0,且m>0,解得m=,则5y2-2×y+-1=0,解得y=,即所求距离为.
答案
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