对数运算对数函数经典例题讲义.docx
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对数运算对数函数经典例题讲义
1.对数的概念
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做__________________,记作____________,其中a叫做__________,N叫做______.
2.常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做____________,以e为底的对数叫做____________,log10N可简记为______,logeN简记为________.
3.对数与指数的关系
若a>0,且a≠1,则ax=N⇔logaN=____.
对数恒等式:
alogaN=____;logaax=____(a>0,且a≠1).
4.对数的性质
(1)1的对数为____;
(2)底的对数为____;
(3)零和负数__________.
1.有下列说法:
①零和负数没有对数;
②任何一个指数式都可以化成对数式;
③以10为底的对数叫做常用对数;
④以e为底的对数叫做自然对数.
其中正确命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
2.有以下四个结论:
①lg(lg10)=0;②ln(lne)=0;③若10=lgx,则x=100;④若e=lnx,则x=e2.其中正确的是( )
A.①③B.②④C.①②D.③④
3.在b=log(a-2)(5-a)中,实数a的取值范围是( )
A.a>5或a<2B.2 4.方程 = 的解是( ) A.x= B.x= C.x= D.x=9 5.若loga =c,则下列关系式中正确的是( ) A.b=a5cB.b5=ac C.b=5acD.b=c5a 6. 的值为( ) A.6C.8 7.已知log7[log3(log2x)]=0,那么 =________. 8.若log2(logx9)=1,则x=________. 9.已知lga=0,lgb=0,则 =________. 10. (1)将下列指数式写成对数式: ①10-3= ;②=;③( -1)-1= +1. (2)将下列对数式写成指数式: ①log26=0;②=-1; ③lg3=1. 11.已知logax=4,logay=5,求A= 的值. 能力提升 12.若loga3=m,loga5=n,则a2m+n的值是( ) A.15B.75C.45D.225 13. (1)先将下列式子改写成指数式,再求各式中x的值: ①log2x=- ;②logx3=- . (2)已知6a=8,试用a表示下列各式: ①log68;②log62;③log26. 1.对数概念与指数概念有关,指数式和对数式是互逆的,即ab=N⇔logaN=b(a>0,且a≠1),据此可得两个常用恒等式: (1)logaab=b; (2) =N. 2.在关系式ax=N中,已知a和x求N的运算称为求幂运算;而如果已知a和N求x的运算就是对数运 算,两个式子实质相同而形式不同,互为逆运算. 3.指数式与对数式的互化 1.对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(M·N)=____________________; (2)loga =____________________; (3)logaMn=__________(n∈R). 2.对数换底公式 logab= (a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1); 特别地: logab·logba=____(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1). 一、选择题 1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A.logax·logay=loga(x+y) B.(logax)n=nlogax =loga =logax-logay 2.计算: log916·log881的值为( ) A.18 3.若log5 ·log36·log6x=2,则x等于( ) A.9C.25 4.已知3a=5b=A,若 + =2,则A等于( ) A.15 C.± D.225 5.已知log89=a,log25=b,则lg3等于( ) 6.若lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两个根,则(lg )2的值等于( ) A.2C.4 7.2log510++( - )÷ =_____________________________________. 8.(lg5)2+lg2·lg50=________. 9.2008年5月12日,四川汶川发生里氏级特大地震,给人民的生命财产造成了巨大的损失.里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的.它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关.震级M= lgE-,其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量.如果里氏级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量,那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹. 三、解答题 10. (1)计算: lg -lg +lg-log89·log34; (2)已知3a=4b=36,求 + 的值. 11.若a、b是方程2(lgx)2-lgx4+1=0的两个实根,求lg(ab)·(logab+logba)的值. 能力提升 12.下列给出了x与10x的七组近似对应值: 组号 一 二 三 四 五 六 七 x 03 11 97 15 09 00 18 10x 2 3 5 6 8 10 12 假设在上表的各组对应值中,有且仅有一组是错误的,它是第________组.( ) A.二B.四 C.五D.七 13.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年的剩余质量约是原来的75%,估计约经过多少年,该物质的剩余量是原来的 ? (结果保留1位有效数字)(lg2≈0,lg3≈1) 1.在运算过程中避免出现以下错误: loga(MN)=logaM·logaN. loga = . logaNn=(logaN)n. logaM±logaN=loga(M±N). 2.根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式: logab= (a>0且a≠1,c>0且c≠1,b>0). 由对数换底公式又可得到两个重要结论: (1)logab·logba=1; (2) = logab. 3.对于同底的对数的化简常用方法: (1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数; (2)“拆”,将积(商)的对数拆成两对数的和(差).对于常用对数的化简要创设情境,充分利用“lg5+lg2=1”来解题. 1.对数函数的定义: 一般地,我们把______________________叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是________. 2.对数函数的图象与性质 定义 y=logax(a>0,且a≠1) 底数 a>1 0 图象 定义域 ________ 值域 ________ 单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 共点性 图象过点________,即loga1=0 函数值 特点 x∈(0,1)时, y∈________; x∈[1,+∞)时, y∈________ x∈(0,1)时, y∈________; x∈[1,+∞)时, y∈________ 对称性 函数y=logax与y= 的图象关于____对称 3.反函数 对数函数y=logax(a>0且a≠1)和指数函数__________________互为反函数. 1.函数y= 的定义域是( ) A.(3,+∞)B.[3,+∞)C.(4,+∞)D.[4,+∞) 2.设集合M={y|y=( )x,x∈[0,+∞)},N={y|y=log2x,x∈(0,1]},则集合M∪N等于( ) A.(-∞,0)∪[1,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,1]D.(-∞,0)∪(0,1) 3.已知函数f(x)=log2(x+1),若f(α)=1,则α等于( ) A.0B.1C.2D.3 4.函数f(x)=|log3x|的图象是( ) 5.已知对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1),且过点(9,2),f(x)的反函数记为y=g(x),则g(x)的解析式是( ) A.g(x)=4xB.g(x)=2xC.g(x)=9xD.g(x)=3x 6.若loga <1,则a的取值范围是( ) A.(0, )B.( ,+∞)C.( ,1)D.(0, )∪(1,+∞) 7.如果函数f(x)=(3-a)x,g(x)=logax的增减性相同,则a的取值范围是______________. 8.已知函数y=loga(x-3)-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是________. 9.给出函数 则f(log23)=________. 三、解答题 10.求下列函数的定义域与值域: (1)y=log2(x-2); (2)y=log4(x2+8). 11.已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),(a>0,且a≠1). (1)设a=2,函数f(x)的定义域为[3,63],求函数f(x)的最值. (2)求使f(x)-g(x)>0的x的取值范围. 能力提升 12.已知图中曲线C1,C2,C3,C4分别是函数y=loga1x,y=loga2x,y=loga3x,y=loga4x的图象,则a1,a2,a3,a4的大小关系是( ) A.a4 13.若不等式x2-logmx<0在(0, )内恒成立,求实数m的取值范围. 1.函数y=logmx与y=lognx中m、n的大小与图象的位置关系. 当0 2.由于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域是R,值域为(0,+∞),再根据对数式与指数式的互化过程知道,对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的定义域为(0,+∞),值域为R,它们互为反函数,它们的定义域和值域互换,指数函数y=ax的图象过(0,1)点,故对数函数图象必过(1,0)点. 1.函数y=logax的图象如图所示,则实数a的可能取值是( ) A.5 2.下列各组函数中,表示同一函数的是( ) A.y= 和y=( )2 B.|y|=|x|和y3=x3 C.y=logax2和y=2logax D.y=x和y=logaax 3.若函数y=f(x)的定义域是[2,4],则y=f( )的定义域是( ) A.[ ,1]B.[4,16] C.[ , ]D.[2,4] 4.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为( ) A.(0,+∞)B.[0,+∞) C.(1,+∞)D.[1,+∞) 5.函数f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1)的图象经过(-1,0)和(0,1)两点,则f (2)=________. 6.函数y=loga(x-2)+1(a>0且a≠1)恒过定点____________. 一、选择题 1.设a=log54,b=(log53)2,c=log45,则( ) A.a C.a 2.已知函数y=f(2x)的定义域为[-1,1],则函数y=f(log2x)的定义域为( ) A.[-1,1]B.[ ,2] C.[1,2]D.[ ,4] 3.函数f(x)=loga|x|(a>0且a≠1)且f(8)=3,则有( ) A.f (2)>f(-2)B.f (1)>f (2) C.f(-3)>f(-2)D.f(-3)>f(-4) 4.函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为( ) C.2D.4 5.已知函数f(x)=lg ,若f(a)=b,则f(-a)等于( ) A.bB.-b D.- 6.函数y=3x(-1≤x<0)的反函数是( ) A.y= (x>0) B.y=log3x(x>0) C.y=log3x( ≤x<1) D.y= ( ≤x<1) 7.函数f(x)=lg(2x-b),若x≥1时,f(x)≥0恒成立,则b应满足的条件是________. 8.函数y=logax当x>2时恒有|y|>1,则a的取值范围是______________. 9.若loga2<2,则实数a的取值范围是______________. 10.已知f(x)=loga(3-ax)在x∈[0,2]上单调递减,求a的取值范围. 11.已知函数f(x)= 的图象关于原点对称,其中a为常数. (1)求a的值; (2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+ 能力提升 12.设函数f(x)=logax(a>0,a≠1),若f(x1x2…x2010)=8,则f(x )+f(x )+…+f(x )的值等于( ) A.4B.8 C.16D.2log48 13.已知logm4 1.在对数函数y=logax(a>0,且a≠1)中,底数a对其图象的影响 无论a取何值,对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象均过点(1,0),且由定义域的限制,函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限,随着a的逐渐增大,y=logax(a>1,且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列,且当01时函数单调递增. 2.比较两个(或多个)对数的大小时,一看底数,底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小,对数函数的单调性由“底”的范围决定,若“底”的范围不明确,则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论;二看真数,底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象,或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小;三找中间值,底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较. 1.已知m=,n=,p=,则这三个数的大小关系是( )
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- 对数 运算 函数 经典 例题 讲义