全等三角形问题中常见8种辅助线的作法.docx
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全等三角形问题中常见8种辅助线的作法
全等三角形问题中常见8种辅助线的作法
姓名:
__________
指导:
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日期:
__________
01
倍长中线(线段)造全等
例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.
例2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.
例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:
AD平分∠BAE.
应用:
1、(崇文二模)以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:
AM与DE的位置关系及数量关系.
(1)如图①当为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,线段AM与DE的数量关系是;
(2)将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(090)后,如图②所示,
(1)问中得到的两个结论是否发生改变?
并说明理由.
02
截长补短
1、如图,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求证:
CD⊥AC
2、如图,AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,求证:
AB=AD+BC。
3、如图,已知在△ABC内,∠BAC=60°,∠C=40°,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是∠BAC,∠ABC的角平分线。
求证:
BQ+AQ=AB+BP
4、如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,
求证:
∠A+∠C=180°
5、如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC
应用:
03
平移变换
例1AD为△ABC的角平分线,直线MN⊥AD于A.E为MN上一点,△ABC周长记为PB,△EBC周长记为.求证PB>PA.
例2如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:
AB+ACAD+AE.
04
借助角平分线造全等
1、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:
OE=OD
2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=a,AC=b,求AE、BE的长.
应用:
1、如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而
(1)中的其它条件不变,请问,你在
(1)中所得结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
05
旋转
例1正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
例2D为等腰斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
(1)当绕点D转动时,求证DE=DF。
(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。
例3如图,△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,以D为顶点做一个60°角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则△AMN的周长为;
应用:
1、已知四边形中ABCD,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕点B旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.
当∠MBN绕点旋转到AE=CF时(如图1),易证AE+CF=EF.
当∠MBN绕点旋转到AE≠CF时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
3、在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究:
当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系.
(I)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是;此时Q/L=;
(II)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想(I)问的两个结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;
(III)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,
若AN=x,则Q=(用x、L表示).
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