平面向量数量积教案.docx
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平面向量数量积教案.docx
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平面向量数量积教案
适用学科
-
高中数学
适用年级
1
1
高
1
适用区域
苏教版区域
课时时长(分钟)
1
2课时
知识点
.
平面向量的数量积、
平面向量数量积的运算律、平面向量数量积的性质及其坐标表示1
教学目标1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系•
\3•掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算
4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
5•会用向量方法解决某些简单的平面几何问题
6•会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
教学重点掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算
教学难点能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识导图】
■教学过程pi
一、导入
[考情展望]
i•以客观题的形式考查平面向量数量积的计算,向量垂直条件与数量积的性质.
2•以平面向量数量积为工具,与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题,主要考查
运算能力及数形结合思想.
二、知识讲解
考点1平面向量的数量积
i•数量积的定义:
已知两个非零向量a,b,它们的夹角为「则向量a与b的数量积是数
量|a||b|cos“,记作ab,即ab=|a||b|cos^规定:
零向量与任一向量的数量积为0.
2•向量的投影:
设二为a与b的夹角,则向量a在b方向上的投影是|a|cosr;向量b在a
方向上的投影是|b|cosx
结论
几何表示
坐标表小
模
|a|=pa
|a|={x1+y2
数量积
ab=|a||b|cos0
ab=X1X2+yiy2
夹角
cos0=
|a||b|
一xiX2+yiy2
cos0—j22J*22
寸xi+yi•X2+y2
a丄b的充要条件
ab=0
XiX2+yiy2=0
|ab|与|a||b|的关
系
|ab|w|a||b|(当且仅当a//b时等号
成立)
Xix2+yiy2p<7xi+yi寸x2+y2
3•数量积的几何意义:
数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosr的
乘积.
i.交考律:
2a平面向量的数量积运算律
T斗444彳
2.数乘结合
争律:
(a)b=■(aa(■b);
才4-J44
3.分配律:
a(bc)二abac.
已知非零向量a=(xi,yi),b=(X2,丫2),B为向量a,b的夹角.
考点3平面向量数量积的性质及其坐标表示
类型一平面向量数量积的运算
例题1
在厶ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则ABAC=
⑵已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,贝UDECB的值为
;DEDC的最大值为.
【规范解答】⑴如图所示,AB=Am+Mb,Ac=Am+Mc=Am—Mb,
、例题精析
ABAC=(AM+MB)(AM—MB)=AM2—MB2=|AM|2—|MB|2=9-25=—16.
⑵
法一如图所示,以AB,AD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系,由于
正方形边长为1,
故B(1,0),C(1,1),D(0,1).
又E在AB边上,故设E(t,O)(Owtw1).
->->
则DE=(t,—1),CB=(0,—1).
故DECB=1.
又DC=(1,0),
二DEDC=(t,—1)(1,0)=t.
又0wtw1,「.DEDC的最大值为1.
法二•/abcd是正方形,•••Da=Cb.
•••Decb=DeDa=|Dl||DA|cos/eda
=|DA||DE|cosZEDA=|DA||DA|=|DA|=1.
又E点在线段AB上运动,故为点E与点B重合时,DE在DC上的投影最大,此时DCDE=|DC||DE|cos45=^2X弩=1.
所以DedC的最大值为1.
【总结与反思】
1.平面向量的数量积的运算有两种形式,一是依据长度与夹角,二是利用坐标来计算.
2•要有“基底”意识,关键用基向量表示题目中所求相关向量,如本例1中用AM、MB
表示Ab、AC等.注意向量夹角的大小,以及夹角0=0°90°180。
三种特殊情形.
类型二平面向量的夹角与垂直
(1)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,贝Ua与b夹角的余弦值为.
⑵已知向量AB与AC的夹角为120°且|AB|=3,|AC|=2•若Ap=ab+Ac,且AP丄BC,则实数入的值为.
【规范解答】⑴由|a|=|a+2b|,两边平方,得|a|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4ab,所以ab
2
=—|b|•又|a|=3|b|,
ab-Ibl2
—2-
|a||b|3|b|
⑵•/AP丄BC,
•••AP
BC—0.
—>—>—>
又AP—4B+AC
—>—>—>—>—>—>—>
BC—AC—AB,…(於B+AC)(AC—AB)—0,
即(入一1)ACAB—?
AB?
+AC—0,二(?
—1)|AC||AB|cos120—9?
+4—0.
【总结与反思】
1•当a,b以非坐标形式给出时,求〈a,b>的关键是借助已知条件求出|a|、|b|与ab的关系.
2.1非零向量垂直的充要条件:
a丄b?
ab—0?
|a+b|—|a—b|?
X1X2+y『2—0.2本例2中常
见的错误是不会借助向量减法法则把BC表示成AC-AB,导致求解受阻.
类型三平面向量的模及其应用
例题1
已知OP—(cos0,sin®,OQ—(1+sin0,1+cos0),其中0WBWn求|PQ|的取值范围及|PQ取得最大值时0的值.
【规范解答】tPQ—OQ一OP—(1+sin—cos0,1+cos0—sin0),
••|P"3|2—(1+sin0—cos02+(1+cos0—sin02—4—4sin0os0—4—2sin20
•/0 r\ •••|PQ|2€[2,6],•|PQ|€[2,,6].当sin20——1,即0—时,|PQ|取得最大值. 【总结与反思】 求解向量的长度问题一般可以从两个方面考虑: 1利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量, 再利用余弦定理等方法求解; 2利用公式|a|—”Jaa及a±32—|a|2d2ab+|b|2把长度问题转化为数量积的运算问题解 决. 类型四向量的数量积在三角函数中的应用 ⑴求ab及|a+b|; (2)若f(x)=ab—|a+b|,求f(x)的最大值和最小值. 3x3x 【规范解答】 (1)ab=cos2xcos2—sinqxsin2=cos2x, H33 |a+b|=: cos? x+cos2十sin? x—sin? =2+2cos2x=2|cosx|, 厂-nn -x€—,-,…cosx>0, 」34_ /■|a+b|=2cosx. 2 (2)f(x)=cos2x—2cosx=2cosx—2cosx—1=2cosx—i2—|. 厂-nn]1」 •••x€—3,42wcosxW1, 13 •••当cosx=时,f(x)取得最小值—2; 当cosx=1时,f(x)取得最大值—1. 【总结与反思】 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型•解答此类问题, 除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式,向量模、夹角的坐标运算公式外,还应掌握三 角恒等变换的相关知识. 类型五两向量的平行与垂直问题 故ab的最小值为1此时=n 【总结与反思】 1•非零向量a丄b? ab=0? xix2+yiy2=0. 2.当向量a与b是非坐标形式时,要把a、b用已知的不共线的向量表示.但要注意运算技 巧,有时把向量都用坐标表示,并不一定都能够简化运算,要因题而异 四、课堂运用 基础a|=2,|b|=4,向量a与向量b的夹角为120°则向量a在向量b方向上的投影为 2.已知a丄b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与? a—b垂直,则冶, 3.已知向量a,b满足ab=0,|a|=1,|b|=2,则|2a—b|=. 答案与解析 1.【答案】-1 【解析】a在b方向上的投影是 |a|cos0=2xcos120=—1. 3 2.【答案】3 2 【解析】•/(3a+2b)(•扫一b) 22 =3扫+(2—3)ab—2b2 =3扫2—2b2=12118=0. 入=2. 3.[答案】22. 【解析】|2a—b|2=(2a—b)2=4|a|2—4ab+|b|2=4x1—4x0+4=8,「.|2a—b|=22. •••〈a,b>=120° 3.【答案】6 【解析】•/ab=|a||b|cos60=2|a|, 22 •(a+2b)(a—3b)=|a|—6|b|2—ab=|a|2—2|a|—96=—72. •-|a|=6. 拔高 1.已知|a|=1,|b|=1,a,b的夹角为120°计算向量2a—b在向量a+b方向上的投影.答案与解析 1.【答案】彳,1U(1,.3). 【解析】已知oA=(1,1),即A(1,1)如图所示,当点B位于B1和B2时,a与b夹角为谥,即/AoB1=zAoB2=洽,此时,/bqx=n—話=n,/B2Ox=才+: n=n, 故B11,中,B2(1,.3),又a与b夹角不为零, 故a丰1,由图易知a的范围是-3,1U(1,3). 1.一些常见的错误结论: (1)若|a|=|b|,则a=b; (2)若a2=b2,则a=b;(3)若a//b,b//c,则a//c;(4)若ab=0, 则a=0或b=0;(5)|ab|=|a||b|;(6)(ab)c=a(bc);(7)若ab=ac,贝Ub=c.以上结论都是错 误的,应用时要注意. 2.平面向量的坐标表示与向量表示的比较: 已知a=(X1,y”,b=(X2,y2),B是向量a与b的夹角. 向量表示 坐标表小 向量a的模 |a|=Jaa=^/a2 |a|=px2+y2 a与b的数量积 ab=|a||b|cos0 ab=X
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- 关 键 词:
- 平面 向量 数量 教案