带标准答案对数与对数函数经典例题docx.docx
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经典例题透析
类型一、指数式与对数式互化及其应用
1.将下列指数式与对数式互化:
(1)
;
(2)
;(3)
;(4)
;(5)
;(6)
.
思路点拨:
运用对数的定义进行互化.
解:
(1);
(2);(3);(4);(5);
(6).
总结升华:
对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.
举一反三:
【变式1】求下列各式中x的值:
(1)
(2)(3)lg100=x(4)
思路点拨:
将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x.
解:
(1);
(2)
;
(3)10x=100=102,于是x=2;
(4)由
.
类型二、利用对数恒等式化简求值
2.求值:
解:
.
总结升华:
对数恒等式中要注意格式:
①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③其值为真数.
举一反三:
【变式1】求的值(a,b,c∈R+,且不等于1,N>0)
思路点拨:
将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂,再进行运算.
解:
.
类型三、积、商、幂的对数
3.已知lg2=a,lg3=b,用a、b表示下列各式.
.
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(1)lg9
(2)lg64(3)lg6(4)lg12(5)lg5(6)lg15
解:
(1)原式=lg32=2lg3=2b
(2)原式=lg26=6lg2=6a
(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b
(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a
举一反三:
【变式1】求值
(1)
(2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
解:
(1)
(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1
(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
【变式2】已知3a=5b=c,,求c的值.
解:
由3a=c得:
同理可得
.
【变式3】设a、b、c为正数,且满足a2+b2=c2.求证:
.
证明:
.
【变式4】已知:
a2+b2=7ab,a>0,b>0.求证:
.
证明:
∵a2+b2=7ab,∴a2+2ab+b2=9ab,即
(a+b)2=9ab,∴lg(a+b)
2=lg(9ab),
∵a>0,b>0,∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb
∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb
.
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即.
类型四、换底公式的运用
4.
(1)已知logxy=a,用a表示;
(2)已知logax=m,logbx=n,logcx=p,求logabcx.
解:
(1)
原式=
;
(2)
思路点拨:
将条件和结论中的底化为同底.
方法一:
am=x,bn=x,cp=x
∴
,
∴;
方法二:
.
举一反三:
【变式1】求值:
(1)
;
(2)
;(3)
.
解:
(1)
(2);
(3)法一:
法二:
.
总结升华:
运用换底公式时,理论上换成以大于0不为1任意数为底均可,但具体到每一个题,一般以题中
某个对数的底为标准,或都换成以10为底的常用对数也可.
.
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类型五、对数运算法则的应用
5.求值
(1)log89·log2732
(2)
(3)
(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)
解:
(1)原式=.
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)
举一反三:
【变式1】求值:
解:
另解:
设=m(m>0).∴,
∴,∴,
∴lg2=lgm,∴2=m,即.
【变式2】已知:
log23=a,log37=b,求:
log4256=?
解:
∵∴,
.
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类型六、函数的定义域、值域
求含有对数函数的复合函数的定义域、值域,其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似,但要注意对数
函数本身的性质(如定义域、值域及单调性)在解题中的重要作用.
6.求下列函数的定义域:
(1);
(2).
思路点拨:
由对数函数的定义知:
x2>0,4-x>0,解出不等式就可求出定义域.
解:
(1)
因为x2>0,即x≠0,所以函数
;
(2)
因为4-x>0,即x<4,所以函数
.
举一反三:
【变式
1】求下列函数的定义域.
(1)y=
(2)y=ln(ax-k·2x)(a>0且a11,k?
R).
解:
(1)因为,所以,
所以函数的定义域为(1,)(,2).
(2)因为ax-k·2x>0,所以()x>k.
[1]当k≤0时,定义域为R;
[2]当k>0时,
(i)若a>2,则函数定义域为(k,+∞);
(ii)若0 (iii)若a=2,则当0 . 精品文档 【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1,1],求y=f(log2x)的定义域. 思路点拨: 由-1≤x≤1,可得y=f(x)的定义域为[,2],再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[,4]. 类型七、函数图象问题 7.作出下列函数的图象: (1)y=lgx,y=lg(-x),y=-lgx; (2)y=lg|x|;(3)y=-1+lgx. 解: (1)如图 (1); (2)如图 (2);(3)如图(3). 类型八、对数函数的单调性及其应用 利用函数的单调性可以: ①比较大小;②解不等式;③判断单调性;④求单调区间;⑤求值域和最值.要求同 学们: 一是牢固掌握对数函数的单调性;二是理解和掌握复合函数的单调性规律;三是树立定义域优先的观念. 8.比较下列各组数中的两个值大小: (1)log23.4,log28.5 (2)log0.31.8,log0.32.7 (3)loga5.1,loga5.9(a>0且a≠1) 思路点拨: 由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成. (1)解法1: 画出对数函数y=log2x的图象,横坐标为 3.4的点在横坐标为8.5的点的下方, 所以,log23.4 解法2: 由函数y=log2x在R+上是单调增函数,且 3.4<8.5,所以log23.4 解法3: 直接用计算器计算得: log23.4≈1.8,log28.5≈3.1,所以log23.4 28.5; (2)与第 (1)小题类似,log0.3 +上是单调减函数,且 1.8<2.7,所以log0.3 1.8>log 0.3 2.7; x在R (3)注: 底数是常数,但要分类讨论 a的范围,再由函数单调性判断大小. 解法1: 当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数,且 5.1<5.9,所以,loga5.1 当0 5.1<5.9,所以,loga5.1>loga5.9 解法2: 转化为指数函数,再由指数函数的单调性判断大小, 令b1=loga5.1,则 ,令b2=loga5.9,则 当a>1时,y=ax在R上是增函数,且5.1<5.9 所以,b1 当0 5.1<5.9 所以,b1>b2,即 . 举一反三: . 精品文档 【变式1】(2011天津理7)已知则() A.B.C.D. 解析: 另,,,在同一坐标系下作出三个函数图像, 由图像可得 又∵为单调递增函数,∴故选C. 9.证明函数上是增函数. 思路点拨: 此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法,同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法. 证明: 设,且x1 又∵y=log2x在上是增函数 即f(x1) ∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数. 举一反三: 【变式1】已知f(loga (a>0且a≠1),试判断函数 f(x)的单调性. x)= 解: 设t=loga +,t∈R).当a>1时,t=loga 12 1 2 x(x∈R x为增函数,若 t ∴f(t1)-f(t2)=, ∵0 当01或0 10.求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间. . 精品文档 解: 设t=-x2+2x+3,则t=-(x-1)2+4.∵y=t为减函数,且0 ∴y≥=-2,即函数的值域为[-2,+∞. 再由: 函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0,即-1 ∴t=-x2+2x+3在-1,1)上递增而在[1,3)上递减,而y=t为减函数. ∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1,1),增区间为[1,3. 类型九、函数的奇偶性 11.判断下列函数的奇偶性. (1) (2). (1)思路点拨: 首先要注意定义域的考查,然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行. 解: 由 所以函数的定义域为: (-1,1)关于原点对称 又 所以函数是奇函数; 总结升华: 此题确定定义域即解简单分式不等式,函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数 形式的复合函数的奇偶性,不能轻易直接下结论,而应注意对数式的恒等变形. (2)解: 由所以函 数的定义域为R关于原点对称又 即f(-x)=-f(x);所以函数. 总结升华: 此题定义域的确定可能稍有困难,函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧,要求掌握. . 精品文档 类型十、对数函数性质的综合应用 12.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1). (1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围; (2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围. 思路点拨: 与求函数定义域、值域的常规问题相比,本题属非常规问题,关键在于转化成常规问题 .f(x)的定 义域为R,即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R,这是不等式中的常规问题. f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的,因为这里要求 f(x)取遍一切实数, 即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数,考察此函数的图象的各种情况,如图,我们会发现, 使u能取遍一切正数的条件是. 解: (1)f(x)的定义域为R,即: 关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R,当a=0时,此不等式变为2x+1>0,其解集不是R; 当a≠0时,有a>1.∴a的取值范围为a>1. (2)f(x)的值域为R,即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或0≤a≤1, ∴a的取值范围为0≤a≤1. 13.已知函数h(x)=2x(x∈R),它的反函数记作 g(x),A、B、C三点在函数 g(x)的图象上,它们的横坐 标分别为a,a+4,a+8(a>1),记ABC的面积为S. (1)求S=f(a)的表达式; (2)求函数f(a)的值域; (3)判断函数S=f(a)的单调性,并予以证明; (4)若S>2,求a的取值范围. 解: (1)依题意有g(x)=log2x(x>0). 并且A、B、C三点的坐标分别为 A(a,log2a),B(a+4,log2(a+4)), C(a+8,log2(a+8))(a>1),如图. ∴A,C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕 ∴S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8). (2)把S=f(a)变形得: S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2 . 精品文档 =2log2(1+). 由于a>1时,a2+8a>9,∴1<1+<,又函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数, ∴0<2log2(1+ )<2log2,即0 . (3)S=f(a)在定义域(1,+∞)上是减函数,证明如下: 任取 a1,a2,使1 (1+ )-(1+ )=16( )=16· , 由a1>1,a2>1,且a2>a1,∴ a1+a2+8>0, +8a2>0, +8a1>0,a1-a2<0, ∴1<1+ <1+ ,再由函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数, 于是可得f(a1 )>f(a2) ∴S=f(a)在(1,+∞)上是减函数. (4)由S>2,即得,解之可得: 1 .
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