高考理科数学试题汇编三角函数.docx
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高考理科数学试题汇编三角函数
数学
C单元 三角函数
C1角的概念及任意角的三角函数
6.C1、C3[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图11,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图像大致为( )
图11
A B
C D
6.C [解析]根据三角函数的定义,点M(cosx,0),△OPM的面积为|sinxcosx|,在直角三角形OPM中,根据等积关系得点M到直线OP的距离,即f(x)=|sinxcosx|=|sin2x|,且当x=时上述关系也成立,故函数f(x)的图像为选项C中的图像.
C2同角三角函数的基本关系式与诱导公式
16.C2、C4、C6[2014·福建卷]已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-.
(1)若0<α<,且sinα=,求f(α)的值;
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
16.解:
方法一:
(1)因为0<α<,sinα=,所以cosα=.
所以f(α)=×-
=.
(2)因为f(x)=sinxcosx+cos2x-
=sin2x+-
=sin2x+cos2x
=sin,
所以T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
方法二:
f(x)=sinxcosx+cos2x-
=sin2x+-
=sin2x+cos2x
=sin.
(1)因为0<α<,sinα=,所以α=,
从而f(α)=sin=sin=.
(2)T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
17.C2,C3,C4[2014·重庆卷]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)若f=,求cos的值.
17.解:
(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以ƒ(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.
又因为f(x)的图像关于直线x=对称,
所以2×+φ=kπ+,k=0,±1,±2,….
因为-≤φ<,
所以φ=-.
(2)由
(1)得ƒ=sin(2×-)=,
所以sin=.
由<α<得0<α-<,
所以cos===.
因此cos
=sinα
=sin
=sincos+cossin
=×+×
=.
C3三角函数的图象与性质
9.C3[2014·辽宁卷]将函数y=3sin的图像向右平移个单位长度,所得图像对应的函数( )
A.在区间上单调递减
B.在区间上单调递增
C.在区间上单调递减
D.在区间上单调递增
9.B [解析]由题可知,将函数y=3sin的图像向右平移个单位长度得到函数y=3sin的图像,令-+2kπ≤2x-π≤+2kπ,k∈Z,即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z时,函数单调递增,即函数y=3sin的单调递增区间为,k∈Z,可知当k=0时,函数在区间上单调递增.
3.C3[2014·全国卷]设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则( )
A.a>b>cB.b>c>a
C.c>b>aD.c>a>b
3.C [解析]因为b=cos55°=sin35°>sin33°,所以b>a.因为cos35°<1,所以>1,所以>sin35°.又c=tan35°=>sin35°,所以c>b,所以c>b>a.
6.C1、C3[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图11,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图像大致为( )
图11
A B
C D
6.C [解析]根据三角函数的定义,点M(cosx,0),△OPM的面积为|sinxcosx|,在直角三角形OPM中,根据等积关系得点M到直线OP的距离,即f(x)=|sinxcosx|=|sin2x|,且当x=时上述关系也成立,故函数f(x)的图像为选项C中的图像.
14.C3、C5[2014·新课标全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为________.
14.1 [解析]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sinφ=sinx,故其最大值为1.
17.C2,C3,C4[2014·重庆卷]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)若f=,求cos的值.
17.解:
(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以ƒ(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.
又因为f(x)的图像关于直线x=对称,
所以2×+φ=kπ+,k=0,±1,±2,….
因为-≤φ<,
所以φ=-.
(2)由
(1)得ƒ=sin(2×-)=,
所以sin=.
由<α<得0<α-<,
所以cos===.
因此cos
=sinα
=sin
=sincos+cossin
=×+×
=.
C4 函数
的图象与性质
3.C4[2014·四川卷]为了得到函数y=sin(2x+1)的图像,只需把函数y=sin2x的图像上所有的点( )
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动1个单位长度
D.向右平行移动1个单位长度
3.A [解析]因为y=sin(2x+1)=sin2,所以为得到函数y=sin(2x+1)的图像,只需要将y=sin2x的图像向左平行移动个单位长度.
11.C4[2014·安徽卷]若将函数f(x)=sin的图像向右平移φ个单位,所得图像关于y轴对称,则φ的最小正值是________.
11. [解析]方法一:
将f(x)=sin的图像向右平移φ个单位,得到y=sin的图像,由该函数的图像关于y轴对称,可知sin=±1,即sin=±1,故2φ-=kπ+,k∈Z,即φ=+,k∈Z,所以当φ>0时,φmin=.
方法二:
由f(x)=sin的图像向右平移φ个单位后所得的图像关于y轴对称可知,-2φ=+kπ,k∈Z,又φ>0,所以φmin=.
14.C4[2014·北京卷]设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为________.
14.π [解析]结合图像得=-,即T=π.
16.C2、C4、C6[2014·福建卷]已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-.
(1)若0<α<,且sinα=,求f(α)的值;
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
16.解:
方法一:
(1)因为0<α<,sinα=,所以cosα=.
所以f(α)=×-
=.
(2)因为f(x)=sinxcosx+cos2x-
=sin2x+-
=sin2x+cos2x
=sin,
所以T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
方法二:
f(x)=sinxcosx+cos2x-
=sin2x+-
=sin2x+cos2x
=sin.
(1)因为0<α<,sinα=,所以α=,
从而f(α)=sin=sin=.
(2)T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
7.C4、C5[2014·广东卷]若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
7.D [解析]本题考查空间中直线的位置关系,构造正方体进行判断即可.
如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,设BB1是直线l1,BC是直线l2,AB是直线l3,则DD1是直线l4,l1∥l4;设BB1是直线l1,BC是直线l2,CC1是直线l3,CD是直线l4,则l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定.
17.C4、C5、C7、C9[2014·湖北卷]某实验室一天的温度(单位:
℃)随时间t(单位:
h)的变化近似满足函数关系:
f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差.
(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?
17.解:
(1)因为f(t)=10-2=10-2sin,
又0≤t<24,所以≤t+<,-1≤sin≤1.
当t=2时,sin=1;
当t=14时,sin=-1.
于是f(t)在[0,24)上取得的最大值是12,最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.
(2)依题意,当f(t)>11时,实验室需要降温.
由
(1)得f(t)=10-2sin,
故有10-2sin>11,
即sin<-.
又0≤t<24,因此 即10 故在10时至18时实验室需要降温. 16.C4、C7[2014·江西卷]已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈. (1)当a=,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值; (2)若f=0,f(π)=1,求a,θ的值. 16.解: (1)f(x)=sin+cos= (sinx+cosx)-sinx=cosx-sinx=sin. 因为x∈[0,π],所以-x∈, 故f(x)在区间[0,π]上的最大值为,最小值为-1. (2)由得 又θ∈,知cosθ≠0, 所以 解得 12.E3、C4[2014·新课标全国卷Ⅱ]设函数f(x)=sin,若存在f(x)的极值点x0满足x+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是( ) A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 12.C [解析]函数f(x)的极值点满足=+kπ,即x=m,k∈Z,且极值为±,问题等价于存在k0使之满足不等式m2+3 16.F2,C4[2014·山东卷]已知向量a=(m,cos2x),b=(sin2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图像过点和点. (1)求m,n的值; (2)将y=f(x)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图像,若y=g(x)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间. 16.解: (1)由题意知,f(x)=a·b=msin2x+ncos2x. 因为y=f(x)的图像过点和点, 所以 即 解得m=,n=1. (2)由 (1)知f(x)=sin2x+cos2x=2sin. 由题意知,g(x)=f(x+φ)=2sin. 设y=g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2). 由题意知,x+1=1,所以x0=0, 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2). 将其代入y=g(x)得,sin=1. 因为0<φ<π,所以φ=. 因此,g(x)=2sin=2cos2x. 由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z得kπ-≤x≤kπ,k∈Z, 所以函数y=g(x)的单调递增区间为,k∈Z. 2.C4[2014·陕西卷]函数f(x)=cos的最小正周期是( ) A.B.πC.2πD.4π 2.B [解析]已知函数y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的周期为T=,故函数f(x)的最小正周期T==π. 16.C4,C5,C6,C7[2014·四川卷]已知函数f(x)=sin. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)若α是第二象限角,f=coscos2α,求cosα-sinα的值. 16.解: (1)因为函数y=sinx的单调递增区间为,k∈Z, 由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z, 得-+≤x≤+,k∈Z. 所以,函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z. (2)由已知,得sin=cos(cos2α-sin2α), 所以sinαcos+cosαsin=(cos2α-sin2α), 即sinα+cosα=(cosα-sinα)2(sinα+cosα). 当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角, 得α=+2kπ,k∈Z, 此时,cosα-sinα=-. 当sinα+cosα≠0时,(cosα-sinα)2=. 由α是第二象限角,得cosα-sinα<0,此时cosα-sinα=-. 综上所述,cosα-sinα=-或-. 15.C4、C5、C6[2014·天津卷]已知函数f(x)=cosx·sin-cos2x+,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值. 15.解: (1)由已知,有 f(x)=cosx·-cos2x+ =sinx·cosx-cos2x+ =sin2x-(1+cos2x)+ =sin2x-cos2x =sin, 所以f(x)的最小正周期T==π. (2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f=, 所以函数f(x)在区间上的最大值为,最小值为-. 4.C4[2014·浙江卷]为了得到函数y=sin3x+cos3x的图像,可以将函数y=cos3x的图像( ) A.向右平移个单位B.向左平移个单位 C.向右平移个单位D.向左平移个单位 4.C [解析]y=sin3x+cos3x=cos=cos,所以将函数y=cos3x的图像向右平移个单位可以得到函数y=sin3x+cos3x的图像,故选C. 17.C2,C3,C4[2014·重庆卷]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值; (2)若f=,求cos的值. 17.解: (1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以ƒ(x)的最小正周期T=π,从而ω==2. 又因为f(x)的图像关于直线x=对称, 所以2×+φ=kπ+,k=0,±1,±2,…. 因为-≤φ<, 所以φ=-. (2)由 (1)得ƒ=sin(2×-)=, 所以sin=. 由<α<得0<α-<, 所以cos===. 因此cos =sinα =sin =sincos+cossin =×+× =. C5两角和与差的正弦、余弦、正切 14.C3、C5[2014·新课标全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为________. 14.1 [解析]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sinφ=sinx,故其最大值为1. 16.C5、C8[2014·安徽卷]设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B. (1)求a的值; (2)求sin的值. 16.解: (1)因为A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB,由余弦定理得cosB==,所以由正弦定理可得a=2b·. 因为b=3,c=1,所以a2=12,即a=2. (2)由余弦定理得cosA===
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