专题平面图形的认识二章末重难点题型举一反三苏科版解析版.docx
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专题平面图形的认识二章末重难点题型举一反三苏科版解析版
专题平面图形的认识
(二)章末重难点题型
【苏科版】
【直击考点】
【典例分析】
【考点1同位角、内错角、同旁内角的判断】
【方法点拨】直线AB,CD被第三条直线EF所截。
这三条直线形成了两个顶点,围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系:
*同位角:
没有公共顶点的两个角,它们在直线AB,CD的同侧,在第三条直线EF的同旁(即位置相同),这样的一对角叫做同位角;
*内错角:
没有公共顶点的两个角,它们在直线AB,CD之间,在第三条直线EF的两旁(即位置交错),这样的一对角叫做内错角;
*同旁内角:
没有公共顶点的两个角,它们在直线AB,CD之间,在第三条直线EF的同旁,这样的一对角叫做同旁内角;
【例1】(2019春•巴州区校级期中)如图,下列说法中错误的是( )
A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角
C.∠2和∠4是对顶角D.∠2和∠5是内错角
【分析】根据同位角,同旁内角,对顶角以及内错角的定义进行判断.
【答案】解:
A、∠3和∠5是同位角,故本选项不符合题意.
B、∠4和∠5是同旁内角,故本选项不符合题意.
C、∠2和∠4是对顶角,故本选项不符合题意.
D、∠2和∠5不是内错角,故本选项符合题意.
故选:
D.
【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角.解答此类题确定三线八角是关键,可直接从截线入手.
【变式1-1】(2019春•西湖区校级月考)同学们可仿照图用双手表示“三线八角”图形(两大拇指代表被截直线,食指代表截线).下面三幅图依次表示( )
A.同位角、同旁内角、内错角
B.同位角、内错角、同旁内角
C.同位角、对顶角、同旁内角
D.同位角、内错角、对顶角
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截,在截线的同旁,被截两直线的同一方,把这种位置关系的角称为同位角;
两个角分别在截线的异侧,且夹在两条被截线之间,具有这样位置关系的一对角互为内错角;
两个角都在截线的同一侧,且在两条被截线之间,具有这样位置关系的一对角互为同旁内角.据此作答即可.
【答案】解:
根据同位角、内错角、同旁内角的概念,可知
第一个图是同位角,第二个图是内错角,第三个图是同旁内角.
故选:
B.
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角,解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角,并能区别它们.
【变式1-2】(2019春•闵行区期中)如图,同位角共有( )对.
A.6B.5C.8D.7
【分析】根据同位角的概念解答即可.
【答案】解:
同位角有5对,∠4与∠7,∠3与∠8,∠1与∠7,∠5与∠6,∠2与∠9,∠1与∠3,
故选:
A.
【点睛】此题考查同位角,关键是根据同位角解答.
【变式1-3】(2019春•九龙坡区校级期中)如图,下列结论正确的是( )
A.∠4和∠5是同旁内角B.∠3和∠2是对顶角
C.∠3和∠5是内错角D.∠1和∠5是同位角
【分析】根据同旁内角,对顶角,内错角以及同位角的定义解答.
【答案】解:
A、∠4和∠5是邻补角,不是同旁内角,故本选项错误.
B、∠3和(∠1+∠2)是对顶角,故本选项错误.
C、∠3和∠5是内错角,故本选项正确.
D、∠1和(∠1+∠2)是同位角,故本选项错误.
故选:
C.
【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角的定义,解答此类题确定三线八角是关键,可直接从截线入手.对平面几何中概念的理解,一定要紧扣概念中的关键词语,要做到对它们正确理解,对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义.
【考点2平行线的判定】
【方法点拨】两条直线被第三条直线所截,以下几种情况可以判定这两条直线平行:
平行线判定定理1:
同位角相等,两直线平行
平行线判定定理2:
内错角相等,两直线平行
平行线判定定理3:
同旁内角互补,两直线平行
平行线判定定理4:
两条直线同时垂直于第三条直线,两条直线平行
【例2】(2019春•西湖区校级月考)如图,下列条件:
①∠1=∠2;②∠4=∠5;③∠2+∠5=180°;④∠1=∠3;⑤∠6=∠1+∠2;其中能判断直线l1∥l2的有( )
A.②③④B.②③⑤C.②④⑤D.②④
【分析】根据平行线的判定定理,对各小题进行逐一判断即可.
【答案】解:
①∵∠1=∠2不能得到l1∥l2,故本条件不合题意;
②∵∠4=∠5,∴l1∥l2,故本条件符合题意;
③∵∠2+∠5=180°不能得到l1∥l2,故本条件不合题意;
④∵∠1=∠3,∴l1∥l2,故本条件符合题意;
⑤∵∠6=∠2+∠3=∠1+∠2,∴∠1=∠3,∴l1∥l2,故本条件符合题意.
故选:
C.
【点睛】本题考查的是平行线的判定,熟记平行线的判定定理是解答此题的关键.
【变式2-1】(2019春•西湖区校级月考)如图,点E在AC的延长线上,对于给出的四个条件:
(1)∠3=∠4;
(2)∠1=∠2;
(3)∠A=∠DCE;
(4)∠D+∠ABD=180°.能判断AB∥CD的有( )个.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】根据平行线的判定判断即可.
【答案】解:
(1)∵∠3=∠4,∴BD∥AC;
(2)∵∠1=∠2,∴AB∥CD;
(3)∵∠A=∠DCE,∴AB∥CD;
(4)∵∠D+∠ABD=180°,∴AB∥CD,
故选:
C.
【点睛】此题考查平行线的判定,关键是根据平行线的判定解答.
【变式2-2】(2019春•南关区校级月考)如图,下列条件,其中能判定AB∥CD的有( )
①∠1=∠2;
②∠BAD=∠BCD;
③∠ABC=∠ADC,∠3=∠4;
④∠BAD+∠ABC=180°.
A.3个B.2个C.1个D.0个
【分析】根据平行线的判定方法对四个条件分别进行判断即可.
【答案】解:
①∵∠1=∠2,
∴AD∥BC,不能判定AB∥CD;
②∠BAD=∠BCD,不能判定AB∥CD;
③∵∠ABC=∠ADC,∠3=∠4;
∴∠ABD=∠CDB,
∴AB∥CD;
④∵∠BAD+∠ABC=180°,
∴AD∥BC,不能判定AB∥CD;
∴能判定AB∥CD的有1个,
故选:
C.
【点睛】本题考查了平行线判定:
同位角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行;内错角相等,两直线平行.
【变式2-3】(2019春•吴江区期中)以下四种沿AB折叠的方法中,由相应条件不一定能判定纸带两条边线a,b互相平行的是( )
A.展开后测得∠1=∠2
B.展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4
C.测得∠1=∠2
D.测得∠1=∠2
【分析】根据平行线的判定定理,进行分析,即可解答.
【答案】解:
A、∠1=∠2,根据内错角相等,两直线平行进行判定,故正确;
B、∵∠1=∠2且∠3=∠4,由图可知∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,
∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°,
∴a∥b(内错角相等,两直线平行),
故正确;
C、测得∠1=∠2,
∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角,
∴不一定能判定两直线平行,故错误;
D、∠1=∠2,根据同位角相等,两直线平行进行判定,故正确.
故选:
C.
【点睛】本题考查了平行线的判定,解决本题的关键是熟记平行线的判定定理.
【考点3利用平行线的性质求角】
【方法点拨】两条直线平行则同位角、内错角相等,同旁内角互补.
【例3】(2019春•涧西区校级月考)如图所示,将含有30°角的三角板(∠A=30°)的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上,若∠1=38°,则∠2的度数( )
A.28°B.22°C.32°D.38°
【分析】延长AB交CF于E,求出∠ABC,根据三角形外角性质求出∠AEC,根据平行线性质得出∠2=∠AEC,代入求出即可.
【答案】解:
如图,延长AB交CF于E,
∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°,
∵∠1=38°,
∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=22°,
∵GH∥EF,
∴∠2=∠AEC=22°,
故选:
B.
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理,三角形外角性质,平行线性质的运用,主要考查学生的推理能力.解题的关键是掌握两直线平行,内错角相等.
【变式3-1】(2019春•西湖区校级月考)如图,把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=32°,则∠2的度数为( )
A.68°B.58°C.48°D.32°
【分析】因直尺和三角板得AD∥FE,∠BAC=90°;再由AD∥FE得∠2=∠3;平角构建∠1+∠BAC+∠3=180°得∠1+∠3=90°,已知∠1=32°可求出∠3=58°,即∠2=58°.
【答案】解:
如图所示:
∵AD∥FE,
∴∠2=∠3,
又∵∠1+∠BAC+∠3=180°,∠BAC=90°,
∴∠1+∠3=90°,
又∵∠1=32°,
∴∠3=58°,
∴∠2=58°,
故选:
B.
【点睛】本题综合考查了平行线的性质,直角,平角和角的和差相关知识的应用,重点是平行线的性质.
【变式3-2】(2018秋•襄汾县期末)如图,某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来方向相同,若∠ABC=125°,∠BCD=75°,则∠CDE的度数为( )
A.20°B.25°C.35°D.50°
【分析】由题意可得AB∥DE,过点C作CF∥AB,则CF∥DE,由平行线的性质可得∠BCF+∠ABC=180°,所以能求出∠BCF,继而求出∠DCF,再由平行线的性质,即可得出∠CDE的度数.
【答案】解:
由题意得,AB∥DE,
如图,过点C作CF∥AB,则CF∥DE,
∴∠BCF+∠ABC=180°,
∴∠BCF=180°﹣125°=55°,
∴∠DCF=75°﹣55°=20°,
∴∠CDE=∠DCF=20°.
故选:
A.
【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质,关键是过C点先作AB的平行线,由平行线的性质求解.
【变式3-3】(2018秋•方城县期末)将AD与BC两边平行的纸条ABCD按如图所示折叠,则∠1的度数为( )
A.72°B.45°C.56°D.60°
【分析】根据折叠的性质得出∠C'EF=62°,利用平行线的性质进行解答即可.
【答案】解:
∵一张长方形纸条ABCD折叠,
∴∠C'EF=∠FEC=62°,
∵AD∥BC,
∴∠1=∠C'FB=180°﹣62°﹣62°=56°,
故选:
C.
【点睛】本题考查了平行线的性质、翻折变换(折叠问题).正确观察图形,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
【考点4利用平行线的判定及性质证明平行】
【例4】(2019秋•涡阳县期中)已知:
如图,∠1+∠2=180°,∠A=∠D.求证:
AB∥CD.(在每步证明过程后面注明理由)
【分析】结合图形,利用平行线的性质及判定逐步分析解答.
【答案】证明:
∵∠1与∠CGD是对顶角,
∴∠1=∠CGD(对顶角相等),
∵∠1+∠2=180°(已知),
∴∠CGD+∠2=180°(等量代换),
∴AE∥FD(同旁内角互补,两直线平行),
∴∠A=∠BFD(两直线平行,同位角相等),
又∵∠A=∠D(已知),
∴∠BFD=∠D(等量代换),
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
【点睛】本题利用了平行线的判定和性质,还利用了对顶角相等,等量代换等知识.
【变式4-1】(2019春•江城区期中)如图,AD⊥BC于D,EF⊥BC于F,∠1=∠2,AB与DG平行吗?
为什么?
【分析】结论:
AB∥DG.只要证明∠BAD=∠2即可.
【答案】解:
结论:
AB∥DG.
理由:
∵AD⊥BC于D,EF⊥BC于F,
∴AD∥EF,
∴∠1=∠BAD,
∵∠1=∠2,
∴∠BAD=∠2,
∴AB∥DG.
【点睛】本题考查平行线的性质和判定,垂线等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
【变式4-2】(2019春•怀宁县期末)如图,已知点A.D,B在同一直线上,∠1=∠2,∠3=∠E,试判断DE、BC有怎样的位置关系,并说明理由.
【分析】由∠1=∠2,∠AOE=∠COD可证得∠CDO=∠E;再由∠3=∠E得∠CDO=∠3,即得DE∥BC(内错角相等,两直线平行).
【答案】解:
DE∥BC.
证明:
∵∠1=∠2,∠AOE=∠COD(对顶角相等),
∴在△AOE和△COD中,∠CDO=∠E(三角形内角和定理);
∵∠3=∠E,
∴∠CDO=∠3,
∴DE∥BC(内错角相等,两直线平行).
【点睛】本题主要考查平行线的判定,涉及到三角形内角和定理、对顶角等知识点.
【变式4-3】(2019春•明光市期末)如图:
已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,请问AB与DE是否平行,并说明理由.
【分析】结论:
AB∥DE.首先证明EF∥BC,再证明∠B=∠EDC即可.
【答案】解:
结论:
AB∥DE.
理由:
∵∠1+∠ADC=180°(平角的定义),
又∵∠1+∠2=180°(已知),
∴∠ADC=∠2(等量代换),
∴EF∥DC(同位角相等两直线平行),
∴∠3=∠EDC(两直线平行,内错角相等),
又∵∠3=∠B(已知),
∴∠EDC=∠B(等量代换),
∴AB∥DE(同位角相等两直线平行).
【点睛】本题考查平行线的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
【考点5利用平行线的判定及性质证明角相等】
【例5】如图,已知BD⊥AC,EF⊥AC,点D,F是垂足,∠1=∠2,求证:
∠ADG=∠C.
【分析】由BD与EF都与AC垂直,利用垂直于同一条直线的两直线平行得到BD与EF平行,利用两直线平行同位角相等得到一对角相等,再由已知的一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行得到DG与BC平行,利用两直线平行同位角相等即可得证.
【答案】证明:
∵BD⊥AC,EF⊥AC(已知),
∴∠3=∠4=90°(垂直的定义),
∴BD∥EF(同位角相等,两直线平行),
∴∠2=∠CBD(两直线平行,同位角相等),
∵∠1=∠2(已知),
∴∠1=∠CBD(等量代换),
∴GD∥BC(内错角相等,两直线平行),
∴∠ADG=∠C(两直线平行,内错角相等).
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.
【变式5-1】(2019春•彭泽县期中)如图,已知:
∠ABE+∠DEB=180°,∠1=∠2,则∠F与∠G的大小关系如何?
请说明理由
【分析】根据平行线的判定得出AC∥DE,根据平行线的性质得出∠CBE=∠DEB,求出∠FBE=∠GEB,根据平行线的判定得出BF∥EG即可.
【答案】解:
∠F=∠G,
理由是:
∵∠ABE+∠DEB=180°,
∴AC∥ED,
∴∠CBE=∠DEB,
∵∠1=∠2,
∴∠CBE﹣∠1=∠DEB﹣∠2,
即∠FBE=∠GEB,
∴BF∥EG,
∴∠F=∠G.
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定,能熟练地运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键,注意:
平行线的性质有:
①两直线平行,同位角相等,②两直线平行,内错角相等,③两直线平行,同旁内角互补,反之亦然.
【变式5-2】(2019春•惠阳区校级期中)如图,已知点E、F在直线AB上,点G在线段CD上,ED与FG交于点H,∠C=∠EFG,∠CED=∠GHD.
(1)求证:
CE∥GF;
(2)试判断∠AED与∠D之间的数量关系,并说明理由;
(3)若∠D=30°,求∠AED的度数.
【分析】
(1)根据同位角相等,两直线平行,可证CE∥GF;
(2)根据平行线的性质可得∠C=∠FGD,根据等量关系可得∠FGD=∠EFG,证出AB∥CD,再根据平行线的性质可得∠AED与∠D之间的数量关系;
(3)由平行线的性质得出∠DEF=∠D=30°,即可得出答案.
【答案】
(1)证明:
∵∠CED=∠GHD,
∴CE∥GF;
(2)解:
∴∠AED+∠D=180°,理由如下:
∵CE∥GF,
∴∠C=∠FGD,
∵∠C=∠EFG,
∴∠FGD=∠EFG,
∴AB∥CD,
∴∠AED+∠D=180°;
(3)解:
∵AB∥CD,∠D=30°,
∴∠DEF=∠D=30°,
∴∠AED=180°﹣30°=150°.
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质以及平角的定义等知识;平行线的性质有:
两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补.
【变式5-3】(2019春•北流市期末)如图,∠1=∠C,∠2+∠D=90°,BE⊥FD于G,证明∠B=∠C.
【分析】先根据∠1+∠D=90°,∠2+∠D=90°,即可得到∠1=∠2,进而得出∠2=∠C,判定AB∥CD,即可得到∠1=∠B,即可得到∠B=∠C.
【答案】证明:
∵BE⊥FD于G,
∴∠1+∠D=90°,
又∵∠2+∠D=90°,
∴∠1=∠2,
∵∠1=∠C,
∴∠2=∠C,
∴AB∥CD,
∴∠1=∠B,
∴∠B=∠C.
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质,平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.
【考点6平移变换的运用】
【例6】(2019春•西湖区校级月考)如图,将周长为12cm的△ABC沿边BC向右平移3cm得到△A′B′C′,则四边形ABC′A′的周长为( )
A.17cmB.18cmC.19cmD.20cm
【分析】根据平移的定义求得AA'和BC'的长,则四边形的周长即可求解.
【答案】解:
由题意知,BB'=CC'=AA'=3cm,
则四边形ABC'A'的周长=12+3+3=18cm.
故选:
B.
【点睛】本题考查了平移的定义,理解平移的定义求得AA'和BC'的长是关键.
【变式6-1】(2019春•西湖区校级月考)如图,两个直角三角形重叠在一起,将其中一个沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置,AB=10,DH=4,BC=15,平移距离为6,则阴影部分的面积( )
A.40B.42C.45D.48
【分析】先判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积,再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得DE=AB,然后求出HE,根据平移的距离求出BE=6,然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解.
【答案】解:
∵两个三角形大小一样,
∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积,
由平移的性质得,DE=AB,BE=6,
∵AB=10,DH=4,
∴HE=DE﹣DH=10﹣4=6,
∴阴影部分的面积=
×(6+10)×6=48,
故选:
D.
【点睛】本题考查了平移的性质,对应点连线的长度等于平移距离,平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状,熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积是解题的关键.
【变式6-2】(2019春•西湖区校级月考)如图,两个形状、大小完全相同的三角形ABC和三角形DEF重叠在一起,固定三角形ABC不动,将三角形DEF向右平移,当点E和点C重合时,停止移动,设DC交AC于G.给出下列结论:
①四边形ABEG的面积与CGDF的面积相等;
②AD∥EC,且AD=EC,
则( )
A.①,②都正确B.①正确,②错误
C.①,②都错误D.①错误,②正确
【分析】根据平移的性质和平行线的判定以及四边形面积公式解答即可.
【答案】解:
由平移可得:
△ABC的面积=△DEF的面积,
所以△ABC的面积﹣△EGC的面积=△DEF的面积﹣△EGC的面积,
即四边形ABEG的面积与CGDF的面积相等,故①正确;
由平移可得:
AD∥EC,AD=BE,故②错误;
故选:
B.
【点睛】此题考查平移的性质,关键是根据平移的性质和平行线的判定以及四边形面积公式解答.
【变式6-3】(2019•邢台二模)如图,有两条长分别为a、b的铁丝,其中长为a的铁丝恰好围成一个大正方形;AB是大正方形的对角线,把AB分成n条相等的线段,再以每条线段作为小正方形的对角线,长为b的铁丝恰好能围成n个这样的小正方形;若均不考虑接口情况,则a、b的大小关系是( )
A.a>bB.a<bC.a=bD.a≥b
【分析】在平面内,把一个图形整体沿某一的方向移动,这种图形的平行移动,叫做平移变换,平移不改变图形的大小.
【答案】解:
由平移可得,n个这样的小正方形的边长与大正方形的边长相等,
∴a、b的大小关系是a=b,
故选:
C.
【点睛】本题主要考查了平移变换的运用,平移是指图形的平行移动,平移时图形中所有点移动的方向一致,并且移动的距离相等.
【考点7利用平移变换作图】
【例7】(2019春•西湖区校级月考)作图题.
(1)过点M作直线AC的平行线;
(2)将三角形ABC平移,使得点B与点B′重合.
【分析】
(1)利用点A平移到M点,C点平移到N,从而得到AC∥MN;
(2)利用点B和B′点的位置关系确定平移的方向与距离,然后利用此平移规律画出A、C的对应点A′、C′即可.
【答案】解:
(1)如图,MN为所作;
(2)如图,△A′B′C′为所作.
【点睛】本题考查了作图﹣平移变换:
确定平移后图形的基本要素有两个:
平移方向、平移距离.作图时要先找到图形的关键点,分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后,再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.
【变式7-1】(2019春•西湖区校级月考)如图,正方形网格中,△ABC为格点三角形(顶点都是格点),将△ABC向左平移5个单位得到△DEF.
(1)在正方形网格中,作出△DEF;
(2)设网格小正方形的边长为1,求平移过程中线段AC所扫过的图形面积.
【分析】
(1)分别作出A,B,C的对应点D,E,F即可解决问题.
(2)根据平移过程中线段AC所扫过的图形面积=平行四边形ADFC的面积求解即可.
【答案】解:
(1)△DEF如图所示.
(2)连接CF,AD.
平移过程中线段AC所扫过的图形面积=平行四边形ADFC的面积=5×3=15.
【点睛】本题考查平移变换,平行四边形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
【变式7-2】(2019春•西湖区校级月考)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中.
(1)把△ABC进行平移,得到△A′B′C′,使点A与A′对应,请在网格中画出△A′B′C′;
(2)线段AA′与线段CC′的关系是 平行且相等 .
【分析】
(1)利用点A和点A′的位置关系确定平移的方向与距离,然后利用此平移规律画出B、C的对应点B′、C′即可;
(2)根据平移的性质判断.
【答案】解:
(1)如图,△A′B′C′为所作;
(2)线段AA′与线段CC′平行且相等.
故答案为平行且相等.
【点睛】本题考查了作图﹣平移变换:
确定平移后图形的基本要素有两个:
平移方向、平移距离.作图时要先找到图形的关键点,分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后,再顺次连接对应点即可得到平移后的图形.
【变式7-3】(2019春•西湖区校级月考)画图:
如图1,三角形ABC可通过平移得到三角形DEF,此时点A落在点D.
(1)请描述三角形ABC经过两次平移后得到三角形DEF的过程.
(2)平移三角形ABC使点B落在点D,在图2中作出平移后的三角形.
【分析】
(1)根据平移得出平移过程即可;
(2)根据图形平移的性质画
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