高考全国卷理科数学试题及答案.docx
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高考全国卷理科数学试题及答案
普通高等学校招生全国统一考试
数学(理工农医类)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
第I卷1至2页。
第II卷3至9页。
共150分。
考试时间120分钟。
第I卷(选择题60分)
注意事项:
1.答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写
在答题卡上。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。
3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式:
三角函数的积化和差公式
正棱台、圆台的侧面积公式
其中、分别表示上、下底面周长,表示斜高或母线长
台体的体积公式
其中、分别表示上、下底面积,表示高
一、选择题:
本大题共12小题;第每小题5分,共60分。
在每小题给出的
四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)若,则在
(A)第一、二象限(B)第一、三象限(C)第一、四象限(D)第二、四象限
(2)过点且圆心在直线上的圆的方程是
(A)(B)
(C)(D)
(3)设是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是
(A)1(B)2(C)4(D)6
(4)若定义在区间内的函数满足,则的取值范围是
(A)(0,)(B)(0,(C)(,+)(D)(0,+)
(5)极坐标方程的图形是
(A)(B)(C)(D)
(6)函数的反函数是
(A)(B)
(C)(D)
(7)若椭圆经过原点,且焦点为,则其离心率为
(A)(B)(C)(D)
(8)若,,,则
(A)(B)(C)(D)
(9)在正三棱柱中,若,则与所成的角的大小为
(A)60°(B)90°(C)105°(D)75°
(10)设都是单调函数,有如下四个命题:
若单调递增,单调递增,则单调递增;
若单调递增,单调递减,则单调递增;
若单调递减,单调递增,则单调递减;
若单调递减,单调递减,则单调递减;
其中,正确的命题是
(A)(B)(C)(D)
(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法:
单向倾斜;双向倾斜;四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为.
若屋顶斜面与水平面所成的角都是,则
(A)(B)(C)(D)
(12)如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联。
连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。
现从结点向结点传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递。
则单位时间内传递的最大信息量为
(A)26(B)24
(C)20(D)19
第II卷(非选择题90分)
注意事项:
1.第II卷共7页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二.填空题:
本大题共4小题;每小题4分,共16分,把答案填在题中横
线上。
(13)若一个椭圆的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个椭圆的侧面积是
(14)双曲线的两个焦点为,点在双曲线上.若⊥,则点到x轴的距离为.
(15)设是公比为的等比数列,是它的前n项和.若是等差数列,则.
(16)圆周上有2n个等分点(),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为.
三、解答题:
本大题共6小题;共74分,解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
如图,在底面是直角梯形的四棱锥中,
∠°,⊥面,,
.
(Ⅰ)求四棱锥的体积;
(Ⅱ)求面与面所成的二面角的正切值.
(18)(本小题满分12分)
已知复数.
(Ⅰ)求及;
(Ⅱ)当复数满足,求的最大值.
(19)(本小题满分12分)
设抛物线的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于两点.点在抛物线的准线上,且∥x轴.证明直线经过原点.
(20)(本小题满分12分)
已知是正整数,且.
(Ⅰ)证明;
(Ⅱ)证明.
(21)(本小题满分12分)
从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为万元,旅游业总收入为万元.写出的表达式;
(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?
(22)(本小题满分14分)
设是定义在上的偶函数,其图象关于直线对称,对任意,都有,且.
(Ⅰ)求及;
(Ⅱ)证明是周期函数;
(Ⅲ)记,求.
普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准
说明:
一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生物解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定部分的给分,但不得超过该部分正确解答得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一.选择题:
本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分60分.
(1)B
(2)C(3)B(4)A(5)C
(6)A(7)C(8)A(9)B(10)C
(11)D(12)D
二.填空题:
本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
(13)2π(14)(15)1(16)2n(n-1)
三.解答题:
(17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算,以及空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.
解:
(Ⅰ)直角梯形ABCD的面积是
M底面,……2分
∴四棱锥S—ABCD的体积是
M底面
.……4分
(Ⅱ)延长BA、CD相交于点E,连结SE则SE是所求二面角的棱.……6分
∵AD∥BC,BC=2AD,
∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB,
∵SA⊥面ABCD,得SEB⊥面EBC,EB是交线,
又BC⊥EB,∴BC⊥面SEB,
故SB是CS在面SEB上的射影,
∴CS⊥SE,
所以∠BSC是所求二面角的平面角.……10分
∵,BC=1,BC⊥SB,
∴tan∠BSC.
即所求二面角的正切值为.……12分
(18)本小题考查复数基本性质和基本运算,以及分析问题和解决问题的能力.满分12分.
解:
(Ⅰ)z1=i(1-i)3=2-2i,
将z1化为三角形式,得
,
∴,.……6分
(Ⅱ)设z=cosα+isinα,则
z-z1=(cosα-2)+(sinα+2)i,
(),……9分
当sin()=1时,取得最大值.
从而得到的最大值为.……12分
(19)本小题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力.满分12分.
证明一:
因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(,0),所以经过点F的直线的方程可设为
;……4分
代入抛物线方程得
y2-2pmy-p2=0,
若记A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是该方程的两个根,所以
y1y2=-p2.……8分
因为BC∥x轴,且点c在准线x=-上,所以点c的坐标为(-,y2),故直线CO的斜率为
.
即k也是直线OA的斜率,所以直线AC经过原点O.
……12分
证明二:
如图,记x轴与抛物线准线l的交点为E,过A作AD⊥l,D是垂足.则
AD∥FE∥BC.……2分
连结AC,与EF相交于点N,则
,
……6分
根据抛物线的几何性质,,
,……8分
∴,
即点N是EF的中点,与抛物线的顶点O重合,所以直线AC经过原点O.……12分
(20)本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力.满分12分.
(Ⅰ)证明:
对于1<i≤m有
=m·…·(m-i+1),
…,
同理…,……4分
由于m<n,对整数k=1,2…,i-1,有,
所以,即.……6分
(Ⅱ)证明由二项式定理有
,
,……8分
由(Ⅰ)知>(1<i≤m<n=,
而,,……10分
所以,(1<i≤m<n=.
因此,.
又,,.
∴.
即(1+m)n>(1+n)m.……12分
(21)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.
解:
(Ⅰ)第1年投入为800万元,第2年投入为800×(1-)万元,……,第n年投入为800×(1-)n-1万元.
所以,n年内的总投入为
an=800+800×(1-)+…+800×(1-)n-1
=4000×[1-()n];……3分
第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400×(1+)万元,……,第n年旅游业收入为400×(1+)n-1万元.
所以,n年内的旅游业总收入为
bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)n-1
=1600×[()n-1].……6分
(Ⅱ)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此
bn-an>0,
即1600×[()n-1]-4000×[1-()n]>0.
化简得5×()n+2×()n-7>0,……9分
设()n,代入上式得
5x2-7x+2>0,
解此不等式,得
,x>1(舍去).
即()n<,
由此得n≥5.
答:
至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入.……12分
(22)本小题主要考查函数的概念、图像,函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识;考查运算能力和逻辑思维能力.满分14分.
(Ⅰ)解:
因为对x1,x2∈[0,],都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以
f()·f()≥0,x∈[0,1].
∵f()=f()·f()=[f()]2,
f()f()=f()·f()=[f()]2.……3分
,
∴f(),f().……6分
(Ⅱ)证明:
依题设y=f(x)关于直线x=1对称,
故f(x)=f(1+1-x),
即f(x)=f(2-x),x∈R.……8分
又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x),x∈R,
∴f(-x)=f(2-x),x∈R,
将上式中-x以x代换,得
f(x)=f(x+2),x∈R.
这表明f(x)是R上的周期函数,且2是它的一个周期.……10分
(Ⅲ)解:
由(Ⅰ)知f(x)≥0,x∈[0,1].
∵f()=f(n·)=f(+(n-1)·)
=f()·f((n-1)·)
=f()·f()·…·f()
=[f()]n,
f()=,
∴f()=.
∵f(x)的一个周期是2,
∴f(2n+)=f(),因此an=,……12分
∴()=0.……14分
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