秋人教版九年级数学上册 期末复习专题 二次函数 压轴题.docx
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秋人教版九年级数学上册 期末复习专题 二次函数 压轴题.docx
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秋人教版九年级数学上册期末复习专题二次函数压轴题
期末复习专题:
二次函数压轴题
1.已知直线y=kx+3(k<0)分别交x轴、y轴于A、B两点,线段OA上有一动点P由原点O向点A运动,速度为每秒1个单位长度,过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,设运动时间为t秒.
(1)当k=﹣1时,线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动,它与点P以相同速度同时出发,当点P到达点A时两点同时停止运动(如图1).
①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标;
②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似,求t的值.
(2)当
时,设以C为顶点的抛物线y=(x+m)2+n与直线AB的另一交点为D(如图2),
①求CD的长;
②设△COD的OC边上的高为h,当t为何值时,h的值最大?
2.如图,平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(﹣2,2),点B的坐标为(6,
6),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点E.
(1)求点E的坐标;
(2)求抛物线的函数解析式;
(3)点F为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线EF与抛物线交于M、N两点(点N在y轴右侧),连接ON、BN,当点F在线段OB上运动时,求△BON面积的最大值,并求出此时点N的坐标;
(4)连接AN,当△BON面积最大时,在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似(点B、O、P分别与点O、A、N对应)的点P的坐标.
3.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A(m﹣4,0)和B(m,0),与直线y=
﹣x+p相交于点A和点C(2m﹣4,m﹣6).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P在抛物线上,且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形面积为12,求点P,Q的坐标;
(3)在
(2)条件下,若点M是x轴下方抛物线上的动点,当△PQM的面积最大时,请求出△PQM的最大面积及点M的坐标.
4.已知,如图,二次函数y=ax2+2ax﹣3a(a≠0)图象的顶点为H,与x轴交于
A、B两点(B在A点右侧),点H、B关于直线l:
对称.
(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;
(2)求二次函数解析式;
(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l
上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.
5.已知:
Rt△ABC斜边上的高为2.4,将这个直角三角形放置在平面直角坐标系
中,使其斜边AB与x轴重合,直角顶点C落在y轴正半轴上,点A的坐标为(﹣1.8,0).
(1)求点B的坐标和经过点A、B、C的抛物线的关系式;
(2)如图①,点M为线段AB上的一个动点(不与点A、B重合),MN∥AC,交线段BC于点N,MP∥BC,交线段AC于点P,连接PN,△MNP是否有最大面积?
若有,求出△MNP的最大面积;若没有,请说明理由;
(3)如图②,直线l是经过点C且平行于x轴的一条直线,如果△ABC的顶点C在直线l上向右平移m,
(2)中的其它条件不变,
(2)中的结论还成立吗?
请说明理由.
6.已知:
直线y=
x+2与y轴交于A,与x轴交于D,抛物线y=
x2+bx+c与直
线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是直线AE上一动点,当△PBC周长最小时,求点P坐标;
(3)动点Q在x轴上移动,当△QAE是直角三角形时,求点Q的坐标;
(4)在y轴上是否存在一点M,使得点M到C点的距离与到直线AD的距离恰好相等?
若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
7.如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)与双曲线y=
相交于点A,B.已知点B的
坐标为(﹣2,﹣2),点A在第一象限内,且tan∠AOx=4.过点A作直线AC
∥x轴,交抛物线于另一点C.
(1)求双曲线和抛物线的解析式;
(2)计算△ABC的面积;
(3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABC的面积?
若存在,请你写出点D的坐标;若不存在,请你说明理由.
8.如图,在直角梯形OABC中,CB∥OA,∠OAB=90°,点O为坐标原点,
点A在x轴的正半轴上,对角线OB,AC相交于点M,OA=AB=4,OA=2CB.
(1)点C的坐标为;
(2)求△OCM的面积;
(3)若点E在过O,A,C三点的抛物线的对称轴上,点F为该抛物线上的点,且以A,O,F,E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F的坐标.
9.如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线y=
x2交于M(x1,y1)
和N(x2,y2)两点(其中x1<0,x2>0).
(1)求b的值.
(2)求x1•x2的值.
(3)分别过M,N作直线l:
y=﹣1的垂线,垂足分别是M1和N1.判断△M1FN1
的形状,并证明你的结论.
(4)对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线m(m是常数),使m与以MN为直径的圆相切?
如果有,请求出这条直线m的解析式;如果没有,请说明理由.
10.如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(﹣2,4),过
点A作AB⊥y轴,垂足为B,连接OA.
(1)求△OAB的面积;
(2)若抛物线y=﹣x2﹣2x+c经过点A.
①求c的值;
②将抛物线向下平移m个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部
(不包括△OAB的边界),求m的取值范围(直接写出答案即可).
11.如图,已知抛物线
与x轴相交于A、B两点,其对称轴为直线
x=2,且与x轴交于点D,AO=1.
(1)填空:
b=,c=,点B的坐标为(,):
(2)若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E,交x轴于点F.求FC的长;
(3)探究:
在抛物线的对称轴上是否存在点P,使⊙P与x轴、直线BC都相切?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
12.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,OA=3,AB=4,将线
段OA绕点O顺时针旋转90°,使点A落在OC边上的点E处,抛物线
y=ax2+bx+c过A,E,B三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若M为抛物线的对称轴上一动点,当△MBE的周长最小时,求M点的坐标;
(3)点P从A点出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动,同时点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿BO向点O运动.P点到达终点B时,Q点同时停止运动,运动时间为t(秒).设△PBQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式.
13.已知:
如图,抛物线
与x轴交于点A,点B,与直线
相
交于点B,点C,直线
与y轴交于点E.
(1)写出直线BC的解析式.
(2)求△ABC的面积.
(3)若点N在线段BC上以每秒1个单位长度的速度从B向C运动(不与B、C重合),1秒后,点M在射线BA上以每秒2个单位长度的速度从B向A运动.设点N运动时间为t秒,请求出t为何值时,△BOE与以B、M、N为顶点的三角形相似?
14.如图,在平面直角坐标系中,已知直线y=﹣x+3交x轴于点A,交y轴于点
B,抛物线y=mx2+nx+3经过点A和点(2,3),与x轴的另一交点为C.
(1)求此二次函数的表达式;
(2)若点P是x轴下方的抛物线上一点,且△ACP的面积为10,求P点坐标;
(3)若点D为抛物线上AB段上的一动点(点D不与A,B重合),过点D作DE⊥x轴交x轴于F,交线段AB于点E.是否存在点D,使得四边形BDEO为平行四边形?
若存在,请求出满足条件的点D的坐标;若不存在,请通过计算说明理由.
15.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点M到x轴的距离是4,抛物
线与x轴相交于O、P两点,OP=4;
(1)请写出P、M两点坐标,并求出这条抛物线的解析式;
(2)设点A是抛物线上位于O、M之间的一个动点,过A作x轴的平行线,交抛物线于另一点D,作AB⊥x轴于B,DC⊥x轴于C.
①当BC=1时,求矩形ABCD的周长l;
②试问矩形ABCD的周长l是否存在最大值?
如果存在,请求出这个最大值,并指出此时A点的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3)连接OM、PM,则△PMO为等腰三角形,请判断在抛物线上是否存在点Q(除点P外),使得△OMQ也是等腰三角形,简要说明你的理由(不必求出点Q的坐标).
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