理学概率论与数理统计练习题含答案.docx
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理学概率论与数理统计练习题含答案
第一章随机事件及其概率
练习:
1.判断正误
(1)必然事件在一次试验中一定发生,小概率事件在一次试验中一定不发生。
(B)
事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。
事件的对立与互不相容是等价的。
(B)若P(A)=0,则A=0。
(b)
若P(A)=0.4,P(B)=0.5,则P(AB)=0.2。
(B)
A,B,C三个事件至少发生两个可表示为AB・BC・AC(A)
(7)考察有两个孩子的家庭孩子的性别,
、1
0={两个男孩,(两个女孩),(一个男孩,一个女孩)},则P'两个女孩}=3。
(8)若P(A)兰P(B),贝JAUB。
(B)
(9)n个事件若满足Jj,P(AAj)=P(A)P(Aj),则n个事件相互
独立。
(10)只有当AUB时,有P(B-A)二P(B)-P(A)。
(A)2.选择题
(1)设A,B两事件满足P(AB)=O,则?
(2)设A,B为两事件,则P(A-B)等于(C)
件A为(D)
A.
“甲种产品滞销,乙种产品畅销”
B.
“甲乙两种产品均畅销”
C.
“甲种产品滞销”
D.
“甲种产品滞销或乙种产品畅销”
(3)以A
若A,B为两随机事件,且
表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事
BuA,则下列式子正确的是(A)
B.a+cT
D.(1—b)c
设P(A-B)=a,P(A)=b,P(B)=c,则P(AB)等于(B)A.(a+c)c
假设事件A和B满足P(B|A)=1,则(B)
D.AUB
C.A二B
设0VP(A)v1,0VP(B)v1,P(A|B^PSe)"则(D)
对立
8.对于任意两个事件A,B,必有(C)
A.若ABK肌贝yA,B—定独立;B若AB=*,则A,B一定独立;
C若ABH©,贝yA,B有可能独立;D若AB=4则A,B一定不独立;
_41
—,P(AB)=-,则P(A),P(B)的值分别为:
(D)
75
三解答题
1设P(A)=P,P(B)=q,P(AB)=r,求下列事件的概率:
P(AUB),P(Ab),P(AUb),P(AB).
解:
由德摩根律有P(A.B)=P(AB)=1-P(AB)=1-r;
P(AB)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=q-r;
P(A.B)=P(A)+P(B)-P(Ab)=(1-p)+q-(q-r)=1+r-p;
P(AB)=P(AuB)=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]=1-(p+q-r).
2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次,命中率分别是0.6和0.5,现
已知目标被命中,求它是甲射击命中的概率。
解:
设事件A甲表示甲命中,A乙表示乙命中,B表示目标被命中。
3.设一枚深水炸弹击沉一潜艇的概率为0.6,求释放4枚深水炸弹能
击沉潜艇的概率。
解:
4枚深水炸弹只要有一枚射中就有击沉潜艇的可能,所以
设B表示潜艇被击沉,A,i=123,4为第i枚深水炸弹击沉潜艇。
P(B)=P(A]uA22Ab2At)=1-P(AljA2uA3uA4)=1-p(AAA3A4)=1-P(A1)p(A2)p(A3)p(A4)=1-0.44
4.
某卫生机构的资料表明:
患肺癌的人中吸烟的占90%,不患肺癌的
患肺癌的概率。
P(AB)=90%,P(AB)=20%,P(B)=0.1%.
P(B)P(AB)
已知条件为迪小鵲=p(B)p(ab)+p(b)p(a|b)
0.001X0.9
"0.001x0.9+0.999x0.2
5.设玻璃杯整箱出售,每箱20个,各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯,由售货员任取一箱,经顾客开箱随机查看4只,若无残次品,则购买,否则不买,求
顾客购买此箱玻璃杯的概率。
在顾客购买的此箱玻璃杯中,确实没有残次品的概率。
章随机变量及其分布
练习题:
1判断正误:
(1)概率函数与密度函数是同一个概念。
(B)
(2)超几何分布在一定条件下可近似成二项分布。
(A)
(3)p仏)中的A是一个常数,它的概率含义是均值。
(A)
(3)P(acXcb)-P(a (B) 2选择题 f(x)=O,则区间[a,b]等于: (A) b.e乍q]D*m (3)若X“P仏),当m=()时P(X=m)最大? (A) AX或B.几一1C.bJD.Z 三解答题 回两种抽样方式抽取6个产品,求抽得的次品数的概率分布。 解: 不放回抽样,次品数X“H(4,6,20) Ckc6-k p(X=k)=CC^,k=0,1,2,3,4. C20 放回抽样,次品数X〜B(6,20) P(X=k)=需 (1)冷6弋k=0,1,2,3,4川20. (2)设X的分布律是p(x=-1)=1'P(X=1)=1,求它的分布函数。 解: XC_1,P(Xcx)=O,F(x)=0; 1 -1 1 QxwO; 1 F(x)詔2,-1Ex<1 1,x>1. (3)设连续型随机变量X的分布函数为 0,xcO, F(x)才Asinx,0 (1)常数A的值 2 兀 1,x>—.2 (2)P(ixi<6)(3)X的密度函数 解: 由分布函数的右连续性,函数的右极限值等于函数值有 兀兀 limF(x)=F(—),所以1=Asin—,所以A=1. *22 兀兀兀兀兀兀1 PdxluxP(一石弋乂肓^珥才-珥-卞“门--0.? 兀 f(x)二F'(x)二 cosx,0 『Ax1 4设随机变量X的概率密度函数为f(x)=b其他-,,求⑴常数A 3 (2)P(-IcXc? ) (3)X的分布函数。 解: 由密度函数性质有 P(—1cX<3)=〔2f(x)dx=[0dx+『2xdx=1x2? = 233 分布函数为: 当x<1时,F(x)=P(Xcx)=O; 121 =—x- 33 rrxX212 当1cx<2时,F(x)=P(Xcx)=Jf(t)dt=(—tdt=—t2 33 当x>2时,F(x)=1. 5.电话站为300个电话用户服务,在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01,求在一小时内恰有4个用户使用电话的概率: 先用二项分布计算,再用泊松分布近似计算,并求相对误差。 解: P(x=4)=c3000.0140.99300*=0.1689,几=np=300^0.01=3。 34O P2(x=4)肓…1680 RJR-BI=0.53% 第三章随机变量的数字特征 (1) (2) 量取值的分散程度。 (A) (3) (4) (5) (6) 只要是随机变量,都能计算期望和方差。 (B)期望反映的是随机变量取值的中心位置,方差反映的是随机变 方差越小,随机变量取值越集中,方差越大越分散。 (A) 方差的实质是随机变量函数的期望。 (A) 对于任意的X,Y,都有exy=exeyex-y)=dx-dy成立。 (b)若EX=EY,则X=Y。 (B)2选择题 (1)对于X与丫,若EXY二EXEY,则下列结论不正确的是(A) A.X与丫相互独立B.X与丫必不相关 E(X-Y)2=D(X-Y)+E2(X-Y)=DX+DY+(EX-EY)2=1+1+0=2. (2)设X与Y独立同分布,都服从参数为几的泊松分布,设 U=2X+Y,V=2X-Y 求U与V的相关系数P。 解: cov(U,V)=EUV-EUEV. E(UV)=E(2X+Y)(2X-Y)=E(4X2-Y2)=4(DX+e2x)-(DY+E2Y)=3(a+a2). EUEV=E(2X+Y)E(2X-Y)=(2a+几)(2a-入)=3a2. cov(U,V)=EUV-EUEV=3仏+a2)-3^2=3扎 3兀 DU=D(2X—Y)=4DX+DY=5打DV=D(2X-Y)=4DX+DY=5丄 cov(U,V)_3a3 TDUTDV4^4^5. 「-1,Xco X~U(-1,2),Y=<0,X=0 [l,X>0 求EY及DY。 解: EY=—1xP(Y=-1)+0Xp(Y=0)+1XP(Y=1)=_1xP(Xc0)+1xP(X>0) DY=EY2 -E2Y=(—1)2xP(X吒0)+12咒P(X>0)-(I)2=-. 39 (4)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元,发生一次故障仍可获利润5万元;发生二次故障所获利润为0元;发生三次或三次以上故障就要亏损2万元,求一周内期望利润是多少? 解: 设X表示出故障的次数,Y表示利润。 r10,x=0 5,X=1X-B(5,0.2),Y= I0,X=2[—2,3兰X兰5 EY=10XP(X=0)+5xP(X=1)+(—2)[P(X=3)+P(X=4)+P(X+5)] EY=1Oxc0o.2oO.85+5xc50.210.84+(—2)[C53O.23O.82+C;O.24O.81+C;O.25O.8o] 化简即可。 (5) 求乘客等候 汽车起点站分别于每小时的10分、30分和55分钟发车,若乘客不知发车的时间,在每小时的任一时刻随机到达车站,时间的数学期望。 解: 设X表示乘客的到达时间,则丫表示等候时间, r10-x,0兰X兰10 30-X,10吒X|55-X,30丈X170-X,55 练习题: 1.判断题: L 22 、‘.N(巴b),则巴b称为正态分布的两个参数,且 卩>0,b2>0.(B) 正态分布的密度函数是偶函数,其图象关于y轴对称。 正态分布密度函数的图象对称轴由4决定,平坦度由 P(acX 若XUn(5,1),y[N(—5,1),贝JX+yUN(O,2).(B) N(1,1),则(B)。 11 A.P(X+Y 22 11 C.P(X-Y 22 A单调增加;B.单调减少; C.保持不变;D.非单调变化. (3)在本门课程中,习惯上用甩表示标准正态分布的上侧a分位数, 则①(U4(B) Ct A。 ;B.1-O;C.1-—;D无法确定。 2 auJ=(B). (4)若XUNJ1),且P(X>甩)=a,则p(|x aa AaB.2aC—D.1 22 3解答题 (1)已知xIn®0.52),求 P(X<9),P(7.5 解: P(X<9)=F(9)=①(口)=0 (2)=0.9772, 0.5 10-87.5-8 P(7.5 二①⑷—①(_1)俺① (1)=0.8413, 1 <——)=2① (2)-1=0.9544, 0.50.5 P(X-8<1)=P( X-8 P(X-9C0.5)=P(—0.5 9.5-88.5-8 =0()-0()“一0.8413=0.1587. 0.50.5 (2)某地抽样调查考生的英语成绩(按百分制)计算,近似服从 正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的 2.3%,求考生的英语成绩在60L84分之间的概率。 解: 设X表示考生的英语成绩,则X“N(72,CT2),由已知有 P(X>96)=0.023,则P(X<96)=1-0.023=0.977, 日nf/X—72“96-72\-24 即P(<)=6(——)=0.977,查正态分布表知 ccc P(60 121212 24=2,所以b=12.要求 -41)2 (1)1.0.6826 第五章 1.判断正误。 总体是随机变量,样本也是随机变量,并且它们的概率分布 完全相同。 (A) 样本来自总体,样本与样本,样本与总体之间都是相互独立 的。 (B) 统计问题的核心是由样本估计总体,样本容量越大,估计越 准确。 (A) 统计量是样本的函数,但不是所有的统计量都是随机变量。 (5)样本均值与EX是相等的。 (B) 2.选择题。 2 (1)X"2川Xn为来自总体N(4,b)的一个样本,卩已知,CT2未知, 则以下是统计量的是(A) n 人(送Xi-X)2 n (无Xi-X)2 B4 n ZXi2 O' n 送(Xi-X) D.y ⑵Xi,X^(Xn为来自总体N(0,1)的一个样本,X,S分别为 样本均值和样本方差,则以下不正确的是(B) AnX〜N(0,n); n CTXj2“Z2(n) i壬 D.X〜N(0,—) n (3)下列统计量服从/(n)分布的是: (D) a"2 n z(Xi-X)2 B.y n (n1)S21n2(Xi—門2 C.^^^Q2(Xj-X)2D.v bny 0-2 (4)X1,X2川X10和X1,X2川X9是分别来自总体川1,4)和N(2,9)的样 aS2 本,bls』分别是它们的样本方差,贝y常数a=(C)时,统计量S^2 服从F(9,8)分布。 A3B.2C.9D.4 249 (5)若X〜/2(n),贝JE(X2)=(C) A.3n B.2n C.n2+2n D.n2+n 2 (6)Xl,X^lXn为来自总体N(巴b)的一个样本,X为样本均值, A.与CT有关;B.与卩有关;C与n有关;D.为一常数 (7)设X〜尸⑹,丫〜尸⑸,且X,Y相互独立,则空“(D) 6Y 11 A两B.F(5,6)C.聞D.F(6,5) X[t(n)(na1),Y=2, (8)设()(),X2,则(C) 22 AY〜X(n)BY〜n-1)C.Y〜F(n,1)DY〜F(1,n) (9)设X〜N(0,1),丫〜N(0,1),贝y必有(C) AX+Y服从正态分布 B.X2+Y2服从/2分布 C.X2与丫2都服从/2分布 X2 D.p服从F分布。 Y2 第六章参数估计 1.判断题 (1)参数的点估计适用于总体分布已知但参数未知的情形。 A 2参数的点估计由不用的估计法得到的估计量完全相同。 B 3同一参数的矩估计量优于极大似然估计量。 B 4无偏估计量的函数未必是无偏估计量。 A 5同一参数的矩估计量往往不唯一。 A 6同一参数的两个估计量方差越小的越有效。 B 2.选择题。 矩估计量是(D) D.6 A.3B.2C.1 552 (2)X1,X2川Xn是来自总体X的一个样本,且DX"2,X,S2分 别是样本均值和样本方差,则必有(D) A.S是b的无偏估计量B.S是b的极大似然估计量 C.X与S2相互独立D.ES2=cr2 (3)正态总体X的方差CT2已知,为使总体均值的置信度为1-僅的 总体X服从(0,8)上的均匀分布,0>0未知,X1,X2il|Xn是来 自总体X的一个样本,则e的矩估计量为: (B) xJh 总体X的分布律为p(x=x)=n,X=0,1,2川,而1,2,5,7, x! 计量中(B)最有效 3.解答题 (1)X1,X^(Xn是来自总体X的一个样本,其中总体有密度 2 f(x,H)=宵e—x),o [0,其他 (iii)估计量的方差 22日22C6262 DX=EX-EX十.尹-x)dx-(3)=18; ]—-DX92 D(B)=D(3X)=9D(X)=9 n2n 解: 矩估计法求解,先求总体期望 11Gfe EX=[x(6+1)x划X=(&+1)JoX跡dx=(日中1)寸石令EX=X即二^=X,得“二2—1。 e+21~X 极大似然估计法: 先写似然函数 nn L(8)=n(日+1)涉,0cXic1,化简L(&)=(&+1)n(口Xi)2 i47 n lnL(&)=[ln(9+1)n(口xj勺=ln(0+1)n+ln(nx)日 iU 求对数似然函数 i4 n =nIn(日+1)+日SInxi i4 求导并令导数为0 dlnL(日)n亠;.. =+ZlnXi=0, de日+1yi An 解得6二一-1. ZlnXi 均值是最有效的。 (此题不用掌握) 证明: 利用柯西-许瓦兹不等式有 nnnnnn 1=(SG)2=0: 1%Ci)2€送12送G2=nSCi2,即送 i壬i=1i吕i=1iTi=1 -1nn1 而DX=—02,D(5: CiXi)=(SCi2)cr2>— nyyn 所以X最有效。 (4)设DX=1,根据来自总体X的容量为100的简单随机样本, 测得样本均值为5,求X的数学期望的置信度为0.95的置信区间。 解: 显然此题是在已知总体X的方差条件下求总体期望的95滬信区 间。 故用公式160页的6.19 »匸(X—f—2,X+j—2),其中b0=1,Uq=Uow=Uo.o25=1.96,n=100, 寸nvn‘2"J 所以4^(5—俚,5+俚)=(4.804,5.196). 1010
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