版数学人教A版必修四文档第二章 平面向量234.docx
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版数学人教A版必修四文档第二章平面向量234
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标,判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法.
知识点 平面向量共线的坐标表示
已知下列几组向量:
(1)a=(0,3),b=(0,6);
(2)a=(2,3),b=(4,6);
(3)a=(-1,4),b=(3,-12);
(4)a=(,1),b=(-,-1).
思考1 上面几组向量中,a,b有什么关系?
答案
(1)
(2)中b=2a,(3)中b=-3a,(4)中b=-a.
思考2 以上几组向量中,a,b共线吗?
答案 共线.
思考3 当a∥b时,a,b的坐标成比例吗?
答案 坐标不为0时成正比例.
思考4 如果两个非零向量共线,你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗?
答案 能.将b写成λa形式,λ>0时,b与a同向,λ<0时,b与a反向.
梳理
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,a,b共线,当且仅当存在实数λ,使a=λb.
(2)如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ(x2,y2),当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b(b≠0)共线.
注意:
对于
(2)的形式极易写错,如写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的,因此要理解并熟记这一公式,可简记为:
纵横交错积相减.
类型一 向量共线的判定与证明
例1
(1)下列各组向量中,共线的是( )
A.a=(-2,3),b=(4,6)
B.a=(2,3),b=(3,2)
C.a=(1,-2),b=(7,14)
D.a=(-3,2),b=(6,-4)
答案 D
解析 A选项,(-2)×6-3×4=-24≠0,
∴a与b不平行;
B选项,2×2-3×3=4-9=-5≠0,∴a与b不平行;
C选项,1×14-(-2)×7=28≠0,∴a与b不平行;
D选项,(-3)×(-4)-2×6=12-12=0,
∴a∥b,故选D.
(2)已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断与是否共线?
如果共线,它们的方向相同还是相反?
解 =(0,4)-(2,1)=(-2,3),
=(5,-3)-(1,3)=(4,-6).
方法一 ∵(-2)×(-6)-3×4=0且(-2)×4<0,
∴与共线且方向相反.
方法二 ∵=-2,∴与共线且方向相反.
反思与感悟 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断,特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时,要注意坐标之间的搭配.
跟踪训练1 已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),=,=,求证:
∥.
证明 设E(x1,y1),F(x2,y2).
∵=(2,2),=(-2,3),=(4,-1),
∴==(,),==(-,1).
∴(x1,y1)-(-1,0)=(,),
(x2,y2)-(3,-1)=(-,1),
∴(x1,y1)=(-,),(x2,y2)=(,0).
∴=(x2,y2)-(x1,y1)=(,-).
∵4×(-)-(-1)×=0,∴∥.
类型二 利用向量共线求参数
例2 已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?
解 方法一 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,
使ka+b=λ(a-3b).
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4).
得解得k=λ=-.
方法二 由方法一知ka+b=(k-3,2k+2),
a-3b=(10,-4),
∵ka+b与a-3b平行,
∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-.
引申探究
1.若例2条件不变,判断当ka+b与a-3b平行时,它们是同向还是反向?
解 由例2知当k=-时,ka+b与a-3b平行,
这时ka+b=-a+b=-(a-3b),
∵λ=-<0,
∴ka+b与a-3b反向.
2.在本例中已知条件不变,若问题改为“当k为何值时,a+kb与3a-b平行?
”,又如何求k的值?
解 a+kb=(1,2)+k(-3,2)=(1-3k,2+2k),
3a-b=3(1,2)-(-3,2)=(6,4),
∵a+kb与3a-b平行,
∴(1-3k)×4-(2+2k)×6=0,
解得k=-.
反思与感悟 根据向量共线条件求参数问题,一般有两种思路,一是利用向量共线定理a=λb(b≠0),列方程组求解,二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0求解.
跟踪训练2 设向量a=(1,2),b=(2,3),若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,则λ=________.
答案 2
解析 λa+b=λ(1,2)+(2,3)=(λ+2,2λ+3),
∵λa+b与c共线,
∴(λ+2)×(-7)-(2λ+3)×(-4)=λ-2=0,
∴λ=2.
类型三 三点共线问题
例3 已知向量=(k,12),=(4,5),=(10,k).当k为何值时,A,B,C三点共线?
解 =-=(4-k,-7),
=-=(10-k,k-12),
若A,B,C三点共线,则∥,
∴(4-k)(k-12)=-7×(10-k),
解得k=-2或11,
又,有公共点A,
∴当k=-2或11时,A,B,C三点共线.
反思与感悟
(1)三点共线问题的实质是向量共线问题,两个向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的,利用向量平行证明三点共线需分两步完成:
①证明向量平行;②证明两个向量有公共点.
(2)若A,B,C三点共线,即由这三个点组成的任意两个向量共线.
跟踪训练3 已知A(1,-3),B,C(9,1),求证:
A,B,C三点共线.
证明 ==,
=(9-1,1+3)=(8,4),
∵7×4-×8=0,
∴∥,且AB,有公共点A,
∴A,B,C三点共线.
1.已知a=(-1,2),b=(2,y),若a∥b,则y的值是( )
A.1B.-1C.4D.-4
答案 D
解析 ∵a∥b,∴(-1)×y-2×2=0,∴y=-4.
2.与a=(12,5)平行的单位向量为( )
A.
B.
C.或
D.
答案 C
解析 设与a平行的单位向量为e=(x,y),
则∴或
3.已知三点A(1,2),B(2,4),C(3,m)共线,则m的值为________.
答案 6
解析 =(2,4)-(1,2)=(1,2).
=(3,m)-(1,2)=(2,m-2).
∵A,B,C三点共线,即向量,共线,
∴存在实数λ使得=λ,
即(1,2)=λ(2,m-2)=(2λ,λm-2λ).
∴⇒
即m=6时,A,B,C三点共线.
4.已知四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D的坐标依次是(3,-1),(1,2),(-1,1),(3,-5).求证:
四边形ABCD是梯形.
证明 ∵A(3,-1),B(1,2),C(-1,1),D(3,-5).
∴=(-2,3),=(4,-6).
∴=-2,即||=||,
∴AB∥CD,且AB≠CD,∴四边形ABCD是梯形.
5.已知A(3,5),B(6,9),M是直线AB上一点,且||=3||,求点M的坐标.
解 设点M的坐标为(x,y).由||=3||,得=3或=-3.
由题意,得=(x-3,y-5),=(6-x,9-y).
当=3时,(x-3,y-5)=3(6-x,9-y),
∴解得
当=-3时,(x-3,y-5)=-3(6-x,9-y),
∴解得
故点M的坐标是或.
1.两个向量共线条件的表示方法
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),
(1)当b≠0,a=λb.
(2)x1y2-x2y1=0.
(3)当x2y2≠0时,=,即两向量的相应坐标成比例.
2.向量共线的坐标表示的应用
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识,可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.
(2)已知两个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值,求轨迹方程.要注意方程思想的应用,向量共线的条件,向量相等的条件等都可作为列方程的依据.
课时作业
一、选择题
1.设k∈R,下列向量中,与向量a=(1,-1)一定不平行的向量是( )
A.b=(k,k)B.c=(-k,-k)
C.d=(k2+1,k2+1)D.e=(k2-1,k2-1)
答案 C
解析 由向量共线的判定条件知,当k=0时,向量b,c与a平行;当k=±1时,向量e与a平行.对任意k∈R,1·(k2+1)+1·(k2+1)≠0,∴a与d不平行,故选C.
2.已知向量a=(1,-2),|b|=4|a|,a∥b,则b可能是( )
A.(4,8)B.(8,4)
C.(-4,-8)D.(-4,8)
答案 D
3.已知三点A(-1,1),B(0,2),C(2,0),若和是相反向量,则D点坐标是( )
A.(1,0)B.(-1,0)
C.(1,-1)D.(-1,1)
答案 C
4.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若(ma+nb)∥(a-2b),则等于( )
A.-2B.2C.-D.
答案 C
解析 由题意得ma+nb=(2m-n,3m+2n),
a-2b=(4,-1),∵(ma+nb)∥(a-2b),
∴-(2m-n)-4(3m+2n)=0,∴=-,故选C.
5.下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是( )
A.e1=(0,0),e2=(1,-2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,7)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=(,-)
答案 B
解析 A选项,∵e1=0,e1∥e2,∴不可以作为基底;
B选项,∵-1×7-2×5=-17≠0,∴e1与e2不共线,故可以作为基底;
C选项,3×10-5×6=0,e1∥e2,故不可以作为基底;
D选项,2×(-)-(-3)×=0,∴e1∥e2,不可以作为基底.
故选B.
6.已知e1=(1,0),e2=(0,1),a=2e1+e2,b=λe1-e2,当a∥b时,实数λ等于( )
A.-1B.0C.-D.-2
答案 D
解析 ∵e1=(1,0),e2=(0,1),a=2e1+e2,b=λe1-e2,
∴a=2(1,0)+(0,1)=(2,1),b=λ(1,0)-(0,1)=(λ,-1).
又∵a∥b,∴2×(-1)-1×λ=0,解得λ=-2.故选D.
7.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中,正确的个数为( )
①存在实数x,使a∥b;
②存在实数x,使(a+b)∥a;
③存在实数x,m,使(ma+b)∥a;
④存在实数x,m,使(ma+b)∥b.
A.0B.1C.2D.3
答案 B
解析 只有④正确,可令m=0,则ma+b=b,无论x为何值,都有b∥b.
8.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点坐标是( )
A.(1,5)或(5,5)
B.(1,5)或(-3,-5)
C.(5,-5)或(-3,-5)
D.(1,5)或(5,-5)或(-3,-5)
答案 D
二、填空题
9.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=________.
答案 -6
解析 因为a∥b,所以由(-2)×m-4×3=0,解得m=-6.
10.已知A(-1,4),B(x,
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