第五章 专题强化八 卫星变轨问题 双星模型.docx
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第五章专题强化八卫星变轨问题双星模型
专题强化八 卫星变轨问题 双星模型
目标要求
1.会处理人造卫星的变轨和对接问题.2.掌握双星、多星系统,会解决相关问题.
题型一 卫星的变轨和对接问题
1.变轨原理
(1)为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上,如图1所示.
图1
(2)在A点(近地点)点火加速,由于速度变大,万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力,卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2.变轨过程分析
(1)速度:
设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3,在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速,则vA>v1,在B点加速,则v3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度:
因为在A点,卫星只受到万有引力作用,故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点,卫星的加速度都相同,同理,卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同.
(3)周期:
设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3,轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3,由开普勒第三定律
=k可知T1 (4)机械能: 在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒.若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3,则E1 例1 (2021·江苏连云港市期中)2020年7月23日,我国火星探测器“天问一号”在海南文昌航天发射场由长征五号运载火箭发射升空,随后准确地进入预定地火转移轨道.如图2所示为探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图,其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆,轨道Ⅱ为圆.探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星,O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点,轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上,O、Q分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点.已知火星的半径为R,OQ=4R,轨道Ⅱ上经过O点的速度为v,关于探测器,下列说法正确的是( ) 图2 A.沿轨道Ⅰ运动时,探测器与P点连线在相等时间内扫过的面积相等 B.沿轨道Ⅱ的运动周期小于沿轨道Ⅲ的运动周期 C.沿轨道Ⅲ运动时,经过O点的速度大于v D.沿轨道Ⅲ运动时,经过O点的加速度等于 答案 D 例2 宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动.若飞船想与前方的空间站对接,飞船为了追上空间站,可采取的方法是( ) A.飞船加速直到追上空间站,完成对接 B.飞船从原轨道减速至一个较低轨道,再加速追上空间站完成对接 C.飞船加速至一个较高轨道,再减速追上空间站,完成对接 D.无论飞船采取何种措施,均不能与空间站对接 答案 B 解析 飞船在轨道上正常运行时,有G =m .当飞船直接加速时,所需向心力m 增大,则G ,故飞船做离心运动,轨道半径增大,将导致不在同一轨道上,A错误;飞船若先减速,它的轨道半径将减小,但运行速度增大,故在低轨道上飞船可接近空间站,当飞船运动到合适的位置再加速,回到原轨道,即可追上空间站,B正确,D错误;若飞船先加速,它的轨道半径将增大,但运行速度减小,再减速故而追不上空间站,C错误. 1.(卫星变轨)(2019·山西五地联考期末)2018年12月8日2时23分,嫦娥四号探测器搭乘长征三号乙运载火箭,开始了奔月之旅.她肩负着沉甸甸的使命: 首次实现人类探测器月球背面软着陆.2018年12月12日16时45分,嫦娥四号探测器成功实施近月制动,顺利完成“太空刹车”,被月球捕获,进入了近月点约100公里的环月轨道,如图3所示,下列说法正确的是( ) 图3 A.嫦娥四号在地月转移轨道经过P点时和在100公里环月轨道经过P点时的速度相同 B.嫦娥四号从100公里环月轨道的P点进入椭圆环月轨道后机械能减小 C.嫦娥四号在100公里环月轨道运动的周期等于在椭圆环月轨道运动的周期 D.嫦娥四号在100公里环月轨道运动经过P的加速度大小等于在椭圆环月轨道经过P的加速度大小,但方向有可能不一样 答案 B 解析 嫦娥四号从地月转移轨道的P点进入100公里环月轨道,需点火减速,所以在地月转移轨道P点的速度大于在100公里环月轨道P点的速度,故A错误;从100公里环月轨道进入椭圆环月轨道,嫦娥四号需点火减速,发动机做负功,机械能减小,故B正确;根据开普勒第三定律 =k知,100公里环月轨道半径大于椭圆环月轨道的半长轴,则嫦娥四号在100公里环月轨道运动的周期大于在椭圆环月轨道运动的周期,故C错误;嫦娥四号卫星在不同轨道经过P点,所受的万有引力相等,根据牛顿第二定律知,加速度大小相等,方向相同,故D错误. 2.(飞船回收)2017年9月,我国控制“天舟一号”飞船离轨,使它进入大气层烧毁,残骸坠入南太平洋一处号称“航天器坟场”的远离大陆的深海区.在受控坠落前,“天舟一号”在距离地面380km的圆轨道上飞行,则下列说法中正确的是( ) A.在轨运行时,“天舟一号”的线速度大于第一宇宙速度 B.在轨运行时,“天舟一号”的角速度小于同步卫星的角速度 C.受控坠落时,应通过“反推”实现制动离轨 D.“天舟一号”离轨后,在进入大气层前,运行速度不断减小 答案 C 解析 第一宇宙速度是环绕地球圆轨道运行的卫星的最大速度,则“天舟一号”在轨运行时的线速度小于第一宇宙速度,选项A错误;在轨运行时,“天舟一号”的运行半径小于同步卫星的运行半径,根据ω= 可知,其角速度大于同步卫星的角速度,选项B错误;受控坠落时要先减速,让前部的推进器点火,通过“反推”实现制动离轨,选项C正确;“天舟一号”离轨后,在进入大气层前,运行半径逐渐减小,地球的引力做正功,则运行速度不断增大,选项D错误. 题型二 双星或多星模型 1.双星模型 (1)模型构建: 绕公共圆心转动的两个星体组成的系统,我们称之为双星系统,如图4所示. 图4 (2)特点: ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供,即 =m1ω r1, =m2ω22r2 ②两颗星的周期及角速度都相同,即 T1=T2,ω1=ω2. ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为: r1+r2=L. 2.多星模型 (1)模型构建: 所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力,除中央星体外,各星体的角速度或周期相同. (2)三星模型: ①三颗星体位于同一直线上,两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图5甲所示). ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示). 图5 (3)四星模型: ①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上,沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示). ②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上,另一颗位于中心O,外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示). 双星模型 例3 (2018·全国卷Ⅰ·20改编)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波.根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100s时,它们相距约400km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈.将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星( ) A.质量之积B.各自的质量 C.速率之和D.各自的自转角速度 答案 C 解析 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示 每秒转动12圈,角速度已知 中子星运动时,由万有引力提供向心力得 =m1ω2r1① =m2ω2r2② l=r1+r2③ 由①②③式得 =ω2l,所以m1+m2= , 质量之和可以估算,但不能估算各自的质量. 由线速度与角速度的关系v=ωr得 v1=ωr1④ v2=ωr2⑤ 由③④⑤式得v1+v2=ω(r1+r2)=ωl,速率之和可以估算. 质量之积和各自的自转角速度无法求解,故选C. 多星模型 例4 宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统,其中一种三星系统如图6所示.三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点,三角形边长为R.忽略其他星体对它们的引力作用,三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动,万有引力常量为G,则( ) 图6 A.每颗星做圆周运动的线速度大小为 B.每颗星做圆周运动的角速度为 C.每颗星做圆周运动的周期为2π D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 答案 C 解析 每颗星受到的合力为F=2G sin60°= G ,轨道半径为r= R,由向心力公式F=ma=m =mω2r=m r,解得a= ,v= ,ω= ,T=2π ,显然加速度a与m有关,故C正确,A、B、D错误. 3.(双星模型)(2020·广东深圳中学质检)有一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统,如图7所示.若图中双黑洞的质量分别为M1和M2,它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动.根据所学知识,下列说法中正确的是( ) 图7 A.双黑洞的角速度之比ω1∶ω2=M2∶M1 B.双黑洞的轨道半径之比r1∶r2=M1∶M2 C.双黑洞的线速度大小之比v1∶v2=M1∶M2 D.双黑洞的向心加速度大小之比a1∶a2=M2∶M1 答案 D 解析 双黑洞绕连线的某点做匀速圆周运动的周期相等,所以角速度也相等,故A错误;双黑洞做匀速圆周运动的向心力由它们间的万有引力提供,向心力大小相等,设双黑洞的距离为L,由M1ω2r1=M2ω2r2,得r1∶r2=M2∶M1,故B错误;由v=ωr得双黑洞的线速度大小之比为v1∶v2=r1∶r2=M2∶M1,故C错误;由a=ω2r得双黑洞的向心加速度大小之比为a1∶a2=r1∶r2=M2∶M1,D正确. 4.(四星模型)(2019·安徽模拟)如图8为一种四颗星体组成的稳定星系,四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点,四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动,忽略其他星体对它们的作用,万有引力常量为G.下列说法中正确的是( ) 图8 A.星体匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心 B.每个星体匀速圆周运动的角速度均为 C.若边长L和星体质量m均是原来的两倍,星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍 D.若边长L和星体质量m均是原来的两倍,星体匀速圆周运动的线速度大小不变 答案 D 解析 四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动,所以星体匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心,故A错误;由 G +G =( + )G =mω2· L,可知ω= ,故B错误;由( + )G =ma可知,若边长L和星体质量m均为原来的两倍,星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的 ,故C错误;由( + )G =m 可知星体匀速圆周运动的线速度大小为v= ,所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍,星体匀速圆周运动的线速度大小不变,故D正确. 课时精练 1.目前,在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转,其中一些卫星的轨道可近似为圆,且轨道半径逐渐变小.若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中,只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用,则下列判断正确的是( ) A.卫星的动能逐渐减小 B.由于地球引力做正功,引力势能一定减小 C.由于稀薄气体阻力做负功,地球引力做正功,机械能保持不变 D.卫星克服稀薄气体阻力做的功等于引力势能的减小量 答案 B 解析 地球引力做正功,引力势能一定减小,卫星轨道半径变小,动能增大,由于稀薄气体阻力做负功,机械能减小,选项A、C错误,B正确;根据动能定理,卫星动能增大,卫星克服稀薄气体阻力做的功小于地球引力做的正功,而地球引力做的正功等于引力势能的减小量,所以卫星克服阻力做的功小于引力势能的减小量,选项D错误. 2.(2019·江苏卷·4)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星,该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动.如图1所示,设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2,近地点到地心的距离为r,地球质量为M,引力常量为G.则( ) 图1 A.v1>v2,v1= B.v1>v2,v1> C.v1<v2,v1= D.v1<v2,v1> 答案 B 解析 “东方红一号”环绕地球在椭圆轨道上运动的过程中,只有万有引力做功,因而机械能守恒,其由近地点向远地点运动时,万有引力做负功,卫星的势能增加,动能减小,因此v1>v2;“东方红一号”离开近地点开始做离心运动,则由离心运动的条件可知G <m ,解得v1> ,B正确,A、C、D错误. 3.(2020·江苏南京、盐城市一模)在地月系统中,若忽略其他星球的影响,可以将月球和地球看成在引力作用下都绕某点做匀速圆周运动;但在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周运动.我们把前一种假设叫“模型一”,后一种假设叫“模型二”.已知月球中心到地球中心的距离为L,月球运动的周期为T.利用( ) A.“模型一”可确定地球的质量 B.“模型二”可确定月球的质量 C.“模型一”可确定月球和地球的总质量 D.“模型二”可确定月球和地球的总质量 答案 C 解析 对于“模型一”,是双星问题,设月球和地球做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R,间距为L,运行周期为T,根据万有引力定律有G =M R=m r 其中R+r=L 解得M+m= 可以确定月球和地球的总质量,A错误,C正确; 对于“模型二”,月球绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,有G =m L 解得地球的质量为M= ,可以确定地球的质量,无法确定月球的质量,B、D错误. 4.(2021·江苏苏州市期中)人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道.如图2所示,在发射地球同步卫星的过程中,卫星从圆轨道Ⅰ的A点先变轨到椭圆轨道Ⅱ,然后在B点变轨进入地球同步轨道Ⅲ,则下列说法正确的是( ) 图2 A.该卫星的发射速度应大于11.2km/s且小于16.7km/s B.该卫星在轨道Ⅱ上经过A点时的加速度比在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度小 C.该卫星在B点通过减速实现由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ D.若该卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运动的周期分别为T1、T2、T3,则T1<T2<T3 答案 D 5.银河系的恒星中大约四分之一是双星,某双星由质量不等的星体S1和S2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T,S1到C点的距离为r1,S1和S2的距离为r,已知引力常量为G.由此可求出S2的质量为( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 取S1为研究对象,S1做匀速圆周运动,由牛顿第二定律得: G =m1( )2r1,得: m2= ,故D正确. 6.双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现,双星系统演化过程中,两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的k倍,两星之间的距离变为原来的n倍,则此时圆周运动的周期为( ) A. TB. T C. TD. T 答案 B 解析 设原来双星间的距离为L,质量分别为M、m,圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r.双星间的万有引力提供向心力,对质量为m的恒星: G =m( )2·r,对质量为M的恒星: G =M( )2(L-r),得G = ·L,即T2= ;则当总质量为k(M+m),间距为L′=nL时,T′= T,选项B正确. 7.(2020·福建龙岩市检测)2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布.在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时,黑洞和恒星可以相互绕行,从而组成双星系统.在相互绕行的过程中,质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中,从而被吞噬掉,黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”.天鹅座X-1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统,它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,如图3所示.在刚开始吞噬的较短时间内,恒星和黑洞的距离不变,则在这段时间内,下列说法正确的是( ) 图3 A.它们的万有引力大小变小 B.它们的万有引力大小不变 C.恒星做圆周运动的轨道半径将变大,线速度也变大 D.恒星做圆周运动的轨道半径将变小,线速度也变小 答案 C 解析 质量较大的M1和质量较小的M2之间的万有引力F=G ,结合数学知识可知M1=M2时,M1M2有最大值,根据题意,质量较小的黑洞M2吞噬质量较大的恒星M1,所以万有引力变大,A、B错误;对于两天体,万有引力提供向心力,有G =M1 R1,G =M2 R2,解得两天体质量的表达式M2= R1,M1= R2,两天体总质量的表达式M1+M2= (R1+R2)= ,两天体的总质量不变,天体之间的距离L不变,所以天体运动的周期T不变,较小质量的黑洞M2质量增大,所以恒星做圆周运动的半径R1增大,根据v= 可知恒星的线速度增大,C正确,D错误. 8.太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图4): 一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设这三颗星的质量均为M,并设两种系统的运动周期相同,则( ) 图4 A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B.直线三星系统的运动周期T=4πR C.三角形三星系统中星体间的距离L= R D.三角形三星系统的线速度大小为 答案 B 解析 直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相等,方向相反,选项A错误;直线三星系统中,对甲星有G +G =M R,解得T=4πR ,选项B正确;对三角形三星系统中任一颗星,根据万有引力定律和牛顿第二定律得2G cos30°=M · ,联立解得L= R,选项C错误;三角形三星系统的线速度大小为v= = = · · ,选项D错误.
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