随机过程习题和答案.docx
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随机过程习题和答案
、1.1设二维随机变量(X,F)的联合概率密度函数为:
=—i—[l241-ι>⅛="k"
QThXl-JF)
1.2设离散型随机变量X服从几何分布:
Hm=(Ip)HPJt=U-
试求/的特征函数,并以此求其期望E(X)与方差IKX)
¾0=Efrir)=∑e⅛=*)
解:
一
=⅛α-riMP=√^∑^α-p)tUO-P)⅛J
1—(I-JI)1—q/
(O)=α⅛
⅛(Q)=
-JPQ÷g)
所以:
-⅛(0)二丄
fP
ZUr=JEr3-(JEIf)3=^^-^=4
PPp
2.1袋中有一个白球,两个红球,每隔单位时间从袋中任取一球后放回,对每一个确定的t对应随机变量
x(t^3如果对t时取得红球
et如果对t时取得白球
试求这个随机过程的一维分布函数族
2.2设随机过程W加吨MIF)∙gZI叫,其中吗是常数,/与F是
相互独立的随机变量,F服从区间(°2刘上的均匀分布,/服从瑞利分布,其概率密度为
x>0
x≤0
试证明Xu)为宽平稳过程。
解:
(1)⑷+F)}q啊诚如+f)}
=与无关
(2)枚F(M仪加血I(Q/伽说如")汁F(才)
f_tt
=-te^t∣Γ÷p^dt=-2σ1e^i∣Γ=2σ3
所以必U)啟0⑴卜"
(3)RlM壊M∞¼⅛+Hl∕∞Ψ⅛+y)]}
=豺]£{oKs(A+Γ)∞<β(A+Γ)}
=2^Jtt2{α≈(0A+β⅛+y)-rasffl0fcA)I^⅛
心’皿叫仏ZL)只与时间间隔有关,所以XU)为宽平稳过程
2.3设随机过程X(t)=Ucos2t,其中U是随机变量,且E(U)=5,D(U)=5.求:
(1)均值函数;
(2)协方差函数;(3)方差函数
2.4设有两个随机过程X(t)=Ut2,Y(t)=Ut3,其中U是随机变量,且D(U)=5.
试求它们的互协方差函数
2.5设代B是两个随机变量,试求随机过程X(t)=At∙3B,t∙T=(」:
「:
)的均值函数和自相关函数若A,B相互独立,且A~N(1,4),B~U(0,2),则mχ(t)及Rχ(t1,t2)
为多少?
3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分
钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立,则1小时内平均
有多少学生接受过体检?
在这1小时内最多有40名学生接受过
体检的概率是多少(设学生非常多,医生不会空闲)
解:
令N(t)表示(0,t)时间内的体检人数,则N(t)为参数为30的
PoiSSon过程。
以小时为单位。
则E(N(I)^30O
(30)
k!
J30e
40
P(N(I)乞40)「
k=0
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车
的强度分别为'1,'2,当1路公共汽车有NI人乘坐后出发;2路公共汽车在有N2人乘坐后出发。
设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来,求
(1)1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式;
(2)当N1=n2,'1=∙2时,计算上述概率解:
法一:
(1)乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为'1、’2的poisson过程,令它们为弘⑴、N2(t)oTn1表示Ndt)=N的发生时刻,Tn2表示N2(t)=N2的发生时刻。
}NI
fTN1("■(^刁代呦-‘小
λN2
fT(t2)=—2t2N2'exp(—打t2)
TN^(N2-1)!
222
.N1IN2
fTN1,Tn2(t1,t2)=fTN1TN2(t1|t2)fTN2(t2)='∣t1'exp(-'乙)!
t^exp(-'2t2)
(NIT)!
(N2T)!
入INIiN^1(、t)雷2tN2_1
exp(-1t1)t2
Oelt2.一I
exp(-扎2t2)dt1
(N2-i)r
P(TNI:
:
Tn2)=0dt20(N1)!
ti
i
(2)当N1=N2、∙1=∙2时,P(TNι 法二: (1)乘车到来的人数可以看作参数为‘1+,2的泊松过程。 令乙、Z2分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时间间隔。 则乙、Z2分别服从参数为1、七的指数分布,现在来求当一个乘客乘坐1路汽车后,下一位乘客还是乘坐1路汽车的概率。 : : z2 P=P(ZI =0 '1•'2 故当一个乘客乘坐1路汽车后,下一位乘客乘坐2路汽车的概 率为1-P— 人十λ2 上面的概率可以理解为: 在乘客到来的人数为强度∙1+∙2的泊松 过程时,乘客分别以概率乘坐公共汽车1,以的概 ■1、■2"1、"2率乘坐公共汽车2。 将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功,那么有: N1N24 P(1路汽车比2路汽车先出发)八CN14(—N1(-^)5k=N1上1中丸2人+/-2 2N二 (”E) (2)当N1=N2、∙1=-2时 2N-4 P(1路汽车比2路汽车先出发)二、C^ k=N 3.3设{Ni(t),t-0},(i=1,2^∣,n)是n个相互独立的Poisson过程,参数分别为 ■i(i=1,2,H∣,n)。 记T为全部n个过程中,第一个事件发生的时刻。 (1)求T的分布; (2)证明{N(t)=7i[Ni(t),t-0}是Poisson过程,参数为■=×'∙i; (3)求当n个过程中,只有一个事件发生时,它是属于{N1(t),t≥0}的概率。 解: (1)记第i个过程中第一次事件发生的时刻为tii,i=1,2,...,nO 则T=min{ti1,i=1,2,∙∙∙,n}。 由帖服从指数分布,有 P{Td}=1-P{Tt}=1-P{min{ti1,i=1,2,...,n}t} n =1-P{tj1t,i=1,2,...,n}=1∣]Pgt} i=I nn ∣∣>t {1_(1_e_‘)}=1-exp{-'it} i=Iiz1 (2)方法一: 由{Ni(t),i=1,2,...,n}为相互独立的poisson过程,对 于-s,t-0o n P{N(ts)-N(t)=n}=Pr[Ni(ts)-Ni(t)]=n} i=1 ni=n,i=1,2...,n} 八P{Ni(ts)-Ni(t)=n「 Sli⅛ 'S nn 八(SneXP(-(、∖)s)[[ (^-i)n i£ n! F生iZii=1ni! n exp(-(''i)s) 这里利用了公式(1 nIni y□i! iA nn 所以{N(t)八∙Ni(t),t-0}是参数为■八∙i的poisson过程。 i=1i=1 方法二: ①当h>0时, n P{N(th)—N(t)=1}=Pr[Ni(ts)-Nj(t)]=1} iΛ nn 八«iho(h))[[(^jho(h))} i1jJ j≠ nn =X[iho(h)]八iho(h) i4i4 ②当h-.0时, n P{N(th)-N(t)_2}=P{'[Ni(ts)-Ni(t)]_2} ∖=I n ^-Pr[Ni(ts)-叫⑴]<2} i4 nn =1T丨(1-,jho(h))-'■iho(h) j4iA nn =1一(1-'iho(h))-'■iho(h) i二id: =o(h) 得证。 (3)P{N: (t)=1∣N(t)=1}=P{Nι(t)=1,Ni(t)=0,i=2,∙∙∙,n}∕P{N(t)=1} n n“j」itn. —ιteτt[[e-'it∕ei±泣=——1— i=2iA'1...'n 3.4证明poisson过程分解定理: 对于参数为'的poisson过程 r VPi=1 {N(t),t-O},°5",y,i=12M,r,可分解为r个相 互独立的poisson过程,参数分别为丸Pii=12i∣∣,rO 解: 对过程{N(t),t一0},设每次事件发生时,有r个人对此以概率 r P1,p2,...,Pr进行记录,且7PiN,同时事件的发生与被记录之 i# 间相互独立,r个人的行为也相互独立,以Ni(t)表示为到t 时刻第i个人所记录的数目。 现在来证明{Ni(t),t-O}是参数为 ■Pi的poissOn过程。 Oo P{Ni(t)=m}八P{Ni(t)=m∣N(t)=mn}P{N(t)=mn} nd Oel(7t)m^ 八CmnPim(I-P)nP2e」 nz0(mn)! -⅞PitCPit) =em! 独立性证明: 考虑两种情况的情形,即只存在两个人记录, 一个以概率P,一个以概率-P记录,则{Ni(t),t_O}是参数为 ■P的PoiSSon过程,{N2(t),t_0}是参数为(VP)的PoiSSon 过程。 P{N,t)=k1,N2(t)=k2}=P{N,t)=kj,N(t)=kj∙k2} =P{N(t)k2}P{N1(t)N(t)=k1k2} (∙t)k1k2 e七\pk1(1-p)k2(k1k2)! 12 (∙t)k1k2 e (k1k2)! ^Pk-P) 口e-'tpk1(1-p)k2 k1! k2! CPt)k1-t('(^p)t)k2_g)t ee kι! k2! =P{N1(tHk1}P{N2(tHk2} 得证。 3.5设{N(t),t-°}是参数为3的poisson过程,试求 (1)P{N(1R3}; (2)P{N (1)=1,N(3)=2}; (3)P{N (1)-2∣N (1)一1} 33k 解: (1)P{N (1)乞3}八e"13e“ k≡0k! (2)P{N (1)=1,N(3)=2}=P{N (1)=1,N(3)-N (1)=1} =P{N (1)J}P{N(3)-N (1)=1}=3e^6^6=18e* (3)p{N(I)-N(I) 3.6 对于poisson过程{N(t),t-°},证明s: : t时, X(t) 屮⑴讥⑴,问{X(t)}是否为Poisson过程,为什么? 解: 解: 不是 X(t)=N1(t)-N2(t),X(t)的一维特征函数为: r1 -1 0I J(t1,t2,t3)= 0 1 -1 <0 0 1> fT1,T2,Ti(t1,t2,t3 )= fχ1,X2 X3(t1 i∖3e^0 -1 0其他 t2-山,t3“2)J(t1,t2,t3) 解: 解: 参数为■的PoiSSon过程的特征函数的形式为exp{eiu■t-1},所以 X(t)不是poisson过程。 fX1,X2,X3(X1,X2,X3=fχ1(x∣)fχ2(X2)fχ3(X3)='e E[N(t)N(ts)]=E[N(t)(N(ts)-N(t))]E[N2(t)]=E[N(t)]E[(N(ts)-N(t))]E[N2(t)] ='t,S亠t('t)2=,2t2亠JSt亠t 3.10设某医院专家门诊,从早上8: 00开始就已经有无数患者等候, 且每名患者的服务时间是相互独立的指数分布。 则 8: 00到 而每个专家只能为一名患者服务,服务的平均时间为20分钟, 12: 00门诊结束时接受过治疗的患者平均在医院停留了多长时 解: 从门诊部出来的患者可以看作服从参数为3的泊松过程(以小时 为单位)。 则在[0,t]小时内接受治疗的患者平均停留时间为: N⑴N(t) 、TiXTi E[V]=E[E[V]∣N(t)rn] N(t)N(t) nt 当t=4时,平均等待停留时间为2h。 3.11{N(t),t-0}是强度函数为()的非齐次PoiSSon过程,X1,X2川是 事件发生之间的间隔时间,问: (1)诸Xi是否独立? (2)诸Xi是否同分布? 解: (1)P{X1t}=P{N(t)=0}=ejm⑴=e~0"川。 P{X211X1=s}=P{N(ts)-N(S)=OlX1=s} =P{N(ts)-N(S)=0}=e4m(t'S)Jm(S)]=√s()d 从上面看出X1、X2不独立。 以此类推,Xi不独立。 (2)Fχ,(t)=1d%ds; FX2(t)^-P(X2t)=1-.0P{X2t|X1=s}dFχ,s) -,0: e+m(tSE(S)]e初(S)■(s)ds^-.o: e^(ts)'(s)ds 分布不同。 3.12设每天过某路口的车辆数为: 早上7: 00」8: 00,11: 00」12: 00为平均每分钟2辆,其他时间平均每分钟1辆。 则早上7: 3011: 20平均有多少辆车经过此路口,这段时间经过路口的车辆数超过500辆 的概率是多少? 解: (1)记时刻7: 00为时刻0,以小时为单位。 经过路口的车辆数 为一个非齐次PoiSSon过程,其强度函数如下: 「1200≤s≤1,4cs≤5 ■(S)= 1601cs兰4 则在7: 30~11: 20时间内,即t[0.5,13]时,N(13)-N(0.5) 33 代表这段时间内通过的车辆数,它服从均值为如下的 poissOn分布。 13,JI13 14 m(t)二3-(s)ds二120ds60ds3120ds=6018040=280 0.50.5'14 即: E[N(13)-N(0.5)]=280,在给定的时间内平均通过的车 3 n J280e。 n! 辆数为280。 (2)P[N(13)-N(0∙5)500]='(28O) 均值为」。 设损害会积累,当损害超过一定极限 A时,系统将终止运行。 以T记 3n=501 ET。 ET 系统运行的时间(寿命),试求系统的平均寿命 N(t) 解: 在[0,t]内某系统受到的总损害X(t)八Yi为一个复合poissOn过 im 程,其中Y~e(g)。 : : : : t二二: : : : -0tdFγ(t)=00dxdFr(t^0xdFT(t)dx=.0(VFT(X))d^0P(Tx)dx N(t) P(TΛ)=PCY: A} i=Q OON(t) PrY: : A∣N(t)=n}P{N(t)=n} n=Qiz0 : : n =e~t'PrY: : A}P{N(t)=n} t: -A 0P仃t)dt=o{e-'t、[0nA n (I) nXn 一XnJLeTdX]e』(Rt)]dt(n-1)! n! X XnAe'dx : : .t: =A(4) =e-tdt\[ 0n40(n-1)! 1胃A(^inn」五d((XF1毘[XedX(e 人nd0(n—1)! n! 人 A(P)"nΛ云d edx DoOo 0J n-J e」dt)](n-1)! (t) X^nm0(n-1)! 1丄11A-(IJnA2Td edx■■0n^(n-1)! n4i4 1A =—+—— λ? uP 系统的平均寿命为1- λzμ 某商场为调查顾客到来的客源情况,考察了男女顾客来商场的人数。 假设 14 男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程。 (1)试求到某时刻! 时到达商场的总人数的分布; (2)在已知If时刻以有50人到达的条件下,试求其中恰有30位妇女的概率,平均有多少个女性顾客? 解: 设灾)分别为(0,t)时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。 (1)由已知,为强度A一‘的泊松过程,呗)为强度A一马的泊松过程; 故,NQ)为强度22"人弓的泊松过程;于是, (2) P(Λ⅛0=3O∣Wω=5O)= JP(MGo=3啊JVl(O=2<0㈤叫产/驰廉㈣1IeH≡fF20! TXw(JO=50)(⅛yoβrft∕5βl (⅛)3°『730k(¾%r20! (5⅛a^∕50! 故平均有女性顾客 Λ{Λ3(0∣Wα)=50}=50x-=30人 (4分) 般地, Λ¾ω-JtlMO=50}=⅛φtφs*μ*Λ=OU5 4.1 (1)对 (2)错当N(t)=n时,Tn有可能小于t(3)错,T「: : t时,N(t)可能等于n。 4.2更新过程的来到间隔服从参数为(n,■)的丨分布。 (1)试求N(t)的分布; l.N(t)丸 (2)试证哩〒=n解: (1)P{N(t)=k}=P{N(t)—k}—P{N(t)—k1} =P{TkEt}-P{TkiEt} kk1 =PrXj乞t}_P{、x√≤t} iZiid --Skn4--S(k1)nJ =e(s)ds-e(S)ds0(kn-1)! 0((k1)n-1)! (2)由强大数定律: •: 二t 丁⑴込穴冷dx"J0Le ^'x-dx』;t (n-1)! 4.4 解: 、12 设P{Xi=1},P{Xi=2},计算P{N (1)=k}, 33 P{N(3)=k}o P{N (2)=k}, (1) M(t)=E(N(t))=t; P{N (1)=0}=P{N (1)_0}-P{N (1)_1}=P{T0乞1}-P{T1乞1} =1— 33 P{N⑴忙P{N(I)"P{N(I)一2}FT1»P{X1X2fE X1X22 1 9 (2) 1 P{N (2)=2}=P{N (2)一2}-P{N (2)-3}=P{XrX2乞2}-P{X1X2X^2}=-⅛9 18 P{N (2)=1}=P{N (2)-1}-P{N (2)-2}=P{T1乞1}-P{X1X2乞1}=1-- X1X2+X3 3 4 5 6 P 1 6 12 8 27 27 27 27 (3) 14 27 51 P{N(3)=2}=P{N(3)A2}—P{N(3)≥3}=P{Xi+X2兰3}—P{T3W3}—: 927 54 99 11 P{N(3)=3}=P{N⑶讣P{N(3心}卡心3"{"3}盲-。 盲 4.5一个过程有n个状态1,2,H∣,n,最初在状态1,停留时间为X1,离开1到达2停留时间为X2,再达到3,…,最后从n回到1,周而复始,并且过程对每一 个状态停留时间的长度是相互独立的。 试求 limP{时刻t系统处于状态i} 设E(XI∙X2+川+Xn)-: 且X1X2+川+Xn为非格点分布。 解: 记过程处于状态i记为开,从状态i+1到n,经过n再回到 1,再到i-1这一过程记为关。 则有Zk=Xi,Yk八XjO i≠j总 4.6 用交错更新过程原理计算t时刻的寿命与剩余年龄的极限分 布。 解: Y(t)=TN(t).1-t为t时刻剩余寿命,A(t)=t一TN(t)为t时刻年龄。 若假设更新过程是将一个部件投入使用而一旦失效即更换所产生的,则A(t)表示 在时刻t部件所使用的年龄,而丫⑴表示它的剩余寿命。 令X(t^Y(t)A(t),即X(t)表示两次相邻更新的时间间隔,我们要计算P{A(t)乞x},为此我们将一个开-关的循环对应于一个更新区间,且若在t时刻的年龄小于或等于X,就说系统在时刻t“开着”。 换言之,在两次相邻的时间为X(t)的时间内,前X时间内系统“开着”,而其余时间“关着”。 那么若X(t)的分布非格点的,由定理4.10得到 IimP{A(t)Ex}=IimP{在时刻t开着}=E[min(X,x)]∕E[X] t;: t: : IOCl 法一: E[min(X,x)]=[P{min(X,x)>y}dy X =([P(X>x)P{min(X,x)>y∣X>x}+P(X≤x)P{min(X,x)>y∣X≤x}]dy +.f⅛P(X>x)P{min(X,x)>y∣X>x}+P(X≤x)P{min(X,x)>y∣X≤x}]dy X =[[P(X>x)P{x>y|XAX}+P(X≤x)P{X>y|X≤x}]dy +j⅛P(X>x)P{x>y|X>x}+P(X兰x)P{X>y|X≤x}]dy X: " =[[P(X>x)+P(yCX≤x)]dy+XP(ycX≤x)dy X J[P(Xx)P(χX乞x)]dy X 7p(XaxAy)+P(y X =OP(Xy)dy : IX1X— 贝'0P{min(X,x)y}dy∕E[X]=°P{Xy}dy∕E[X]°F(y)dy 法二: E[min(X,x)]/E[X]=^in(X,x)dF min(X,x)(y)∕E[X] X1X =OydF(y)xP{Xx}[xF(x)-0F(y)dyx-xF(x)] IXX1X— .0dy-.0F(y)dy]二了OF(y)dy 同理: 1X limP{Y(t) 4.7对t时刻最后
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