学年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第3课时函数的奇偶性与周期性教案docdoc.docx
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2019-2020学年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第3课时函数的奇偶性与周期性教案
1.奇函数、偶函数的概念
图像关于原点对称的函数叫作奇函数.
图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.
2.判断函数的奇偶性
判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是
(1)考察定义域是否关于原点对称.
(2)考察表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x):
若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;
若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数;
若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数;
若f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),则f(x)既不是奇函数又不是偶函数,既非奇非偶函数.
3.周期性
(1)周期函数:
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)偶函数图像不一定过原点,奇函数的图像一定过原点.( × )
(2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.( √ )
(3)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.( √ )
(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.( √ )
(5)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.( √ )
(6)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( √ )
1.(2015·福建)下列函数为奇函数的是( )
A.y=B.y=|sinx|
C.y=cosxD.y=ex-e-x
答案 D
解析 对于D,f(x)=ex-e-x的定义域为R,f(-x)=e-x-ex=-f(x),故y=ex-e-x为奇函数.
而y=的定义域为{x|x≥0},不具有对称性,故y=为非奇非偶函数.y=|sinx|和y=cosx为偶函数.故选D.
2.已知函数f(x)=则该函数是( )
A.偶函数,且单调递增B.偶函数,且单调递减
C.奇函数,且单调递增D.奇函数,且单调递减
答案 C
解析 作出函数f(x)=的图像,由图像可知此函数为奇函数,且在(-∞,+∞)上单调递增.
3.(2015·天津)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<cB.c<a<b
C.a<c<bD.c<b<a
答案 B
解析 由函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数,得m=0,
所以f(x)=2|x|-1,当x>0时,f(x)为增函数,
log0.53=-log23,
所以log25>|-log23|>0,
所以b=f(log25)>a=f(log0.53)>c=f(2m)=f(0),
故选B.
4.(2014·天津)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=则f()=________.
答案 1
解析 函数的周期是2,
所以f()=f(-2)=f(-),
根据题意得f(-)=-4×(-)2+2=1.
5.(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则x<0时,f(x)=________.
答案 x(1-x)
解析 当x<0时,则-x>0,
∴f(-x)=(-x)(1-x).
又f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x),
∴f(x)=x(1-x).
题型一 判断函数的奇偶性
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x3-x;
(2)f(x)=(x+1);
(3)f(x)=
解
(1)定义域为R,关于原点对称,
又f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)
=-f(x),
∴函数为奇函数.
(2)由≥0可得函数的定义域为(-1,1].
∵函数定义域不关于原点对称,
∴函数为非奇非偶函数.
(3)当x>0时,-x<0,f(x)=-x2+x,
∴f(-x)=(-x)2-x=x2-x
=-(-x2+x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,f(x)=x2+x,
∴f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x
=-(x2+x)=-f(x).
∴对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
均有f(-x)=-f(x).
∴函数为奇函数.
思维升华
(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤:
(2)分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应分段讨论,讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简,判断f(x)与f(-x)的关系,得出结论,也可以利用图像作判断.
(1)同时满足以下两个条件:
①定义域内是减函数;②定义域内是奇函数的函数是( )
A.f(x)=-x|x|B.f(x)=x3
C.f(x)=sinxD.f(x)=
(2)函数f(x)=loga(2+x),g(x)=loga(2-x)(a>0且a≠1),则函数F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)-g(x)的奇偶性是( )
A.F(x)是奇函数,G(x)是奇函数
B.F(x)是偶函数,G(x)是奇函数
C.F(x)是偶函数,G(x)是偶函数
D.F(x)是奇函数,G(x)是偶函数
答案
(1)A
(2)B
解析
(1)A中,f(x)=由函数性质可知符合题中条件,故A正确;B中,对于比较熟悉的函数f(x)=x3可知不符合题意,故B不正确;C中,f(x)=sinx在定义域内不具有单调性,故C不正确;D中,定义域关于原点不对称,故D不正确.故选A.
(2)F(x),G(x)定义域均为(-2,2),
由已知F(-x)=f(-x)+g(-x)=loga(2-x)+loga(2+x)=F(x),
G(-x)=f(-x)-g(-x)=loga(2-x)-loga(2+x)=-G(x),
∴F(x)是偶函数,G(x)是奇函数.
题型二 函数的周期性
例2
(1)设f(x)是定义在R上的周期为3的函数,当x∈[-2,1)时,f(x)=则f等于( )
A.0B.1C.D.-1
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=-,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=______.
答案
(1)D
(2)2.5
解析
(1)因为f(x)是周期为3的周期函数,
所以f=f=f=4×2-2=-1.故选D.
(2)由已知,可得f(x+4)=f[(x+2)+2]
=-=-=f(x).
故函数的周期为4.
∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).
∵2≤2.5≤3,由题意,得f(2.5)=2.5.
∴f(105.5)=2.5.
思维升华
(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值.
(2)函数周期性的三个常用结论:
①若f(x+a)=-f(x),则T=2a,
②若f(x+a)=,则T=2a,
③若f(x+a)=-,则T=2a(a>0).
设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x<π时,f(x)=0,则f=____.
答案
解析 ∵f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x)+sinx-sinx=f(x),∴f(x)的周期T=2π,
又∵当0≤x<π时,f(x)=0,∴f=0,
即f=f+sin=0,
∴f=,∴f=f=f=.
题型三 函数性质的综合应用
命题点1 函数奇偶性的应用
例3
(1)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f
(1)+g
(1)等于( )
A.-3B.-1C.1D.3
(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=________.
答案
(1)C
(2)1
解析
(1)因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f
(1)+g
(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.故选C.
(2)f(x)为偶函数,则ln(x+)为奇函数,
所以ln(x+)+ln(-x+)=0,
即ln(a+x2-x2)=0,∴a=1.
命题点2 单调性与奇偶性、周期性结合
例4
(1)(2015·石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若f
(1)<1,f(5)=,则实数a的取值范围为( )
A.(-1,4)B.(-2,0)
C.(-1,0)D.(-1,2)
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A.f(-25) B.f(80) C.f(11) D.f(-25) 答案 (1)A (2)D 解析 (1)∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数, ∴f(5)=f(5-6)=f(-1)=f (1), ∵f (1)<1,f(5)=,∴<1,即<0,
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