定积分典型例题.docx
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定积分典型例题
定积分典型例题
例1求lim丄(茁^+畑f+…+M?
).
心a;r
分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可釆取如下方法:
先对区间[0,1]“等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限.
解将区间[0,1]〃等分,則每个小区间长为山;=丄,然后把丄=丄丄的一个因子丄乘nirnnn
入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即
lim丄+…+V^)iim丄(』丄+』二+・・・+』巴)=Cyfxdx^-・
nf«->»n\nV?
?
ynJo4
例2[j-x2dx二・
解法1由定积分的几何意艾知,\241^7dx等于上半圆周(x-i)2+r=i(y>o)
Jo
与尤轴所围成的图形的面积.故\:
j2x—fdx二冷.
解法2本题也可直接用换元法求解.令x-l=sinz(--<-),則
22
['yJ2x-x2dx二戸Jl-siiffcostdt=2J;Jl-sinScostdt=2匸cos2tdt=—
0"T°°2
例3比较[e\lx,[e'dx,£(1+x)dx・
分析对于定积分的大小比较,可以先算出定积分的值再比较大小,而在无法求出积分
值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小.
解法1在[1,2]上,有ev
f(x)>09f(x)在(0,+oo)上单调递增,从而f(x)>/(0),可知在[1,2]上,有ex>\+x.又
解法2在[1,2]Jl,有ex [f(x)dx=一(f(x)dx,从而有[(1+x)dx>[e\lx>[exdx・ 由泰勒中值定理ex=l+x+—x2得H>1+x.注意到2! f(x)dx=一「f(x)dx.因此 ](1+x)dxe\lx>[以dx・ 例4估计定积分厶的值. 分析要仕计定积分的值,关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与炭小值. 2、1 解设/(x)=er-\因为广(x)=/r(2x—l),令/V)=0,求得驻点x=i,而 /(O)=e°=l,g",/(|)=3, 故 I e^ 从而 2e^<^el^xdx<2e29 所以 -2e2<^ex: ^dx<-2e'7. 例5设f(x),g(x)在[“,/"上连续,且g(x)>0,/(x)>0・求lim「gd)打而心•・ r? TacJ“▼ 解由于f(x)在[a.b]Jl连续,则f(x)在上有最大值M和最小值加.由,f(x)>0知M>0,血>0・又g(x)nO.则 苗可: g(x)dx<£g(x)^f(x)clx 由于lim询=lim菊7=1,故 H—>®"TOC 例6求limrr巴上厶,几/i为自然数. "TOCJ"x 分析这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难,解决此类问題的常用方法是利 用积分中值定理与夹逼准则. 解法1利用积分中值定理 设f(x)=—,显然几力在[舁屮+川上连续,由积分中值定理得 r^psinx.sing…, I——/-v=—/? +p]9 J”xg 当n->oo时,歹too,而|sin^|<1,故 ..f”+psin...si叱八 limdx=lim——/? =0. "TOC」"X§ 解法2利用积分不等式 因为 而limln-—=0,所以 limFz,51! LiZr=0 ”TQC」CX In例7求lim[——dx・"TOC」。 1+X 解法1由积分中值定理「/a)ga・M¥=.f(g)J: g(x)厶可知 又 limfx^Zr=lim—! —=0且<1,“TOOJO“too农+121+g 故 lim[―—dx=O・ 宀」。 1+入・ 解法2 因为0 0<' 于是可得 0<[*Adx<[^dx・ Jol+xJd 又由于 •11 Ixndx=—>0(〃TX)・ 因此 °/? +1 In lim[——dx二0・ ”TOCJo1+JV 例8设函数・心)在[0、1]上连续,在(0J)内可导,且4^f(x)dx=f(0)•证明在(0J)内存在一点c,使f(c)=O・ 分析由条件和结论容易想到应用罗尔定理,只需再找出条件f(4)=/(0)即可.证明由题设/(X)在[0川上连续,由积分中值定理,可得 /(0)=4j*f(x)dx=4止)(1-扌)=f©, 其中^e[-J]c[O」]・于是由罗尔定理,存在ce(O^)cz(OJ),使得f\c)=0・证毕. 例9 (1)若/(x)=「严旳,则广(X)二_; (2)若f(x)=[^xf⑴山,求广(x)=_・ 分析这是求变限函数导数的问题,利用下面的公式即可 4-\=/(vCaOJvV)-/[w(x)]f/r(x)・ clxiu^ 解 (1)f(x)=2xe^: (2)由于在被积函数中x不是积分变量,故可提到积分号外即f(x)=x^f(t)dt,则可得 /v)=£7⑴也+灯co. 例10设/*(x)连续,且.[Tf(r)d/=x,则f(26)=. 解对等式[(i',_7(/W/=x两边关于x求导得 $ .曲-1)3宀1, 古攵/(疋一1)=丄,令疋一1=26得x=3,所以f(26)=丄. 3f27 例11函数F(x)=ji,(3--L)Jf(x>0)的单调递减开区间为. 解r(A-)=3-^=,令FVX0得*>3,解之得0 例12求f(x)=[n(1-0arctantdt的极值点. 解由题意先求驻点.于是/rU)=(l-x)arctanx・令ff(x)=O,得x=l,x=0・列表 如下: X (-8,0) I 0 (().1) 1 (l,+a>) f(X) — 0 + % 0 — 故X=1为f(X)的极大值 点,x=0为极小值点. 例13已知两曲线y=f(x)与y=g(x)在点(0,0)处的切线相同,其中 rarvun.v.2 g(x)=Le'dt,xe[-lj], 3 试求该切线的方程并求极限hmnf(-)・ "TDOfJ 分析两曲线y=f(x)与y=g(x)在点(0,0)处的切线相同,隐含条件/(0)=g(0),f(0)=F(0)・ 解由已知条件得 f(O)=g(O)=4;UuO, 且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知 Harcslntf 广(0)=g'(0)====T 丁1 故所求切线方程为y=x・而 3 limnf(-)=lim3—=3/70)=3・ 八fRfjrrTcc3 ——0 [sin2tdt 例14求lim: z'f/(f-sinf)〃f 分析该极限属于9型未定式,可用洛必达法则. 0 Isin"tdt2v(sinv2)2(v2)* 解lim=lim一一=(-2)-lim•丿二(-2)-lim—一 joio(_l)x(x_sin;r)x-sinx1-cosx \2x2=(-2)lim-^—=0.esinx 注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则. 例15试求正数a与h,使等式lim! 「厂'〃=1成立. yja+12 分析易见该极限属呻型的未定式,可用洛必达法则. 解Um——! ——「rdt=lim&+rex-/? sinxJoy/a+t21-Z? cosx =厶恤—-—=1, 而“TO]_bcosx 由此可知必有lim(l-bcosx)=0,得b=\.又由x-MJ 得“=4・即“=4,b=l为所求. 例16设f(x)=[^'sinrJr,^(x)=x3+x4,则当xtO时,/(x)是&(劝的(). A.等价无穷小.B.同阶但非等价的无穷小.C.鬲阶无穷小.D.低阶无穷小.解法1由于Hm竺=1曲沁卫驴 —Og(x)so3x^+4x 故fCv)是g(x)同阶但非等价的无穷小.选B. 解法2 将sinr'展成/的幕级数,再逐项积分,得到 f(x)=f,n[r2一丄(r)3+…M=lsin'x—丄sin°x+…・, Jo3! 342 $i、sin'x(———sin'x+・・・)一——sin*.v+〔 ../(a).・342..3421 lim=lim? ―^―: =lim=一 zg(兀)EX+XE1+X3 例17证明: 若函数f(x)在区间[“上]上连续且单调增加,则有^xf(x)dx>^f(x)dx. 乙 证法1令尸(朗彳”(加/一字[几)山,当te[a.x]时,則 F'(x)=V(x)-*[: -=/(a)-+£' >/(X)-1f(X)dt=/(X)-f(x)=0. 故F(x)单调增加.即F(x)>F(a),又F(a)=O,所以F(x)>0,其中xe[atb]. 从而 尸⑹彳‘寸^仪—斗厂几刃心二。 .证毕. 证法2由于f(x)单调增加.有(x-—)[fix)一广(巴二纟)]二0,从而 2・・2 f'(x-学[g-f(呼)皿>0.儿22 即 「―字)金)厶>仏-字)/(字mt(字)仏-字)如0.几2■222Ja2 故 xf(x)dx>匸兰「f(x)dx. j切2丿“* 例18计算[JxkZv・ 分析被积函数含有绝对值符号,应先去掉绝对值符号然后再积分. 解JjaIJx=L(-x)dx+£xdx=[一+|打+[+■I: =]. 注在使用牛顿一莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件.如 「丄心=[—丄人=丄,则是错误的•错误的原因则是由于被积函数丄在x=0处间断且在被J-2x*x"6f 积区间内无界. 例19计#[jmaxfx^xJJx・ 分析被积函数在积分区间上实际是分段函数 解£max{.v2,A-} 例20设/(x)是连续函数,且f(x)=x+^f(t)dt,则f(x)=. 分析本题只需要注意到定积分^f(x)dx是常数(“,〃为常数). 解因・f(x)连续,/(X)必可积,从而是常数,记则 •'oJo f(x)=x+3a9且[(x+3ti)dx=£f(t)dt=ci.所以 [£x2+3"x]: )=“,即g+3“=“, i3 从而“=,所以f(x)=x-—・ 44 例21设f(x)=\3A、°"A<1,F(x)=[f(t)dt,0 〔5-2兀l 的连续性. 分析由于f(x)是分段函数,故对F(x)也要分段讨论. 解 (1)求F(x)的表达式. F(x)的定艾域为[0.2]・当xe[0J]Ht,[0,x]c[0Jb因此 ¥ F(x)=ff⑴df=£'3rdt=『]: =x3. 当xe(U2]时,[0,x]=[0,l]U[l,x],因此,則 F(x)=[3rdt+「(5一2t)dt=[P];,+[5f-r];=-3+5x-x2,
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- 积分 典型 例题