四川省绵阳市届高三第三次诊断性考试数学理试题解析版.docx

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四川省绵阳市届高三第三次诊断性考试数学理试题解析版

绵阳市高中2015级第三次诊断性考试

数学（理工类）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数满足（是虚数单位），则=（）

A.1B.-1C.D.

【答案】A

........................

详解：

由题设有，选A.

点睛：

本题考查复数的加、减、乘、除等四则运算，属于基础题.

2.已知集合，，集合，则集合的子集个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】分析：

为一元二次不等式的解集，可先计算出，求得为单元素集合，其子集的个数为2.

详解：

由题设有，故，所以的子集的个数为，选B.

点睛：

本题为集合与集合的交集运算，它们往往和一元二次不等式结合在一起考查，注意如果一个有限集中元素的个数为，那么其子集的个数为.

3.下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据，用最小二乘法得到关于的线性回归方程，则（）

A.0.25B.0.35C.0.45D.0.55

【答案】B

【解析】分析：

题设中给出了关于的线性回归方程中的一个参数，可利用计算.

详解：

由题设有，故，解得，选B.

点睛：

本题考查线性回归方程中系数的计算，注意线性回归方程表示的直线必过点.

4.已知实数满足，则的最小值是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】分析：

题设中给出的是二元一次不等式组，要求的是线性目标函数的最小值，可以先画出不等式组对应的可行域，再把目标函数看成一条动直线即可判断出目标函数的最小值.

详解：

不等式组对应的可行域如图所示：

由当动直线过时，取最小值为6，选C.

点睛：

当题设条件给出的是关于的二元一次不等式组时，我们可考虑利用线性规划来求目标函数的最值.

5.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】分析：

题设中的算法是结合的范围计算分段函数的函数值.

详解：

由题设有，

当时，；

当时，，

从而当时，，选C.

点睛：

本题考察算法中的选择结构，属于基本题.解题时注意判断的条件及其每个分支对应的函数形式.

6.甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：

“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（）

A.吉利，奇瑞B.吉利，传祺C.奇瑞，吉利D.奇瑞，传祺

【答案】A

【解析】分析：

因为丁的猜测只对了一个，所以我们从“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个判断着手就可以方便地解决问题.

详解：

因为丁的猜测只对了一个，所以“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个都是错误的.否则“甲买的不是奇瑞，乙买的不是奇瑞”或“甲买的是奇瑞，乙买的是奇瑞”是正确的，这与三人各买了一辆不同的品牌矛盾，“丙买的不是吉利”是正确的，所以乙买的是奇瑞，甲买的是吉利，选A.

点睛：

本题为逻辑问题，此类问题在解决时注意结合题设条件寻找关键判断.

7.如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，是侧棱上靠近点的四等分点，.该四棱锥的俯视图如图2所示，则的大小是（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】分析：

根据俯视图，计算的长度，然后在直角三角形中，计算的大小即可.

详解：

在俯视图中，因为，所以，

而四边形为直角梯形，故为直角三角形斜边上的高且大小为，

又，所以在直角三角形中，，

从而，，选C.

点睛：

本题中所要求解的角是直角三角形内角的补角，该直角三角形的一个直角边已知，所以只要求出的长度即可，但该长度隐含在俯视图中，利用勾股定理和等积法可以求出其大小.

8.在区间上随机取一个实数，则事件“”发生的概率是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】分析：

根据给出的三角不等式求出所在的区间，计算出该区间的长度再利用几何概率的计算方法计算概率.

详解：

，

从而.而，

所以，也就是，

故所求概率为，选B.

点睛：

几何概型的概率计算关键是基本事件的测度的选取，通常是线段的长度、平面区域的面积或几何体的体积等.

9.双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（）

A.B.C.1D.2

【答案】D

【解析】分析：

利用点到直线的距离计算出，从而得到，再根据面积为1得到，最后结合离心率求得.

详解：

因为，，所以，故即，

由，所以即，故，双曲线的实轴长为.

点睛：

在双曲线中有一个基本事实：

“焦点到渐近线的距离为虚半轴长”，利用这个结论可以解决焦点到渐进线的距离问题.

10.已知圆，圆交于不同的，两点，给出下列结论：

①；②；③，.其中正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】分析：

根据两个圆的标准方程得到公共弦的方程为，两点均在该直线上，故其坐标满足①②.而的中点为直线与直线的交点，利用直线方程构成的方程组可以得到交点的坐标，从而得到③也是正确的.

详解：

公共弦的方程为，所以有，②正确；

又，所以，①正确；

的中点为直线与直线的交点，又

，

.

由得，故有，③正确，

综上，选D.

点睛：

当两圆相交时，公共弦的方程可由两个圆的方程相减得到，而且在解决圆的有关问题时，注意合理利用圆的几何性质简化计算.

11.中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】分析：

根据点在三角形内部（含边界）可以得到，再通过的解析式来求的最大值.

详解：

因为为三角形内（含边界）的动点，所以，从而.

又，

因为，所以的最大值为，故，选B.

点睛：

本题中向量的模长、数量积都是已知的，故以其为基底计算，其中的取值范围可以由的位置来确定.

12.对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】分析：

题设中给出的二元方程可以化简为，因为对每一个，总有三个不同的使得等式成立，因此我们需要研究的值域和的图像，两者均需以导数为工具来研究它们的单调性.

详解：

由题设有.令

，.

，当时，，

在为单调增函数，所以的值域为.

，

当时，，

当时，，当时，，

所以当时，是减函数，

当时，是增函数，

当时，是减函数，所以的图像如图所示.

因为关于的方程，对任意的总有三个不同的实数根，

所以，也就是，选A.

点睛：

较为复杂函数的零点个数问题，均需以导数为工具研究函数的极值，从而刻画出函数的图像，最后数形结合考虑参数的取值范围.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.的展开式中，的系数是__________．

【答案】16

【解析】分析：

展开式中的系数取决于展开式中的和的系数，后者可以利用二项展开式的通项求得.

详解：

的展开式中，，故的系数分别为，从而的展开式中的系数为.

点睛：

本题考虑二项展开式中特定项的系数的计算，这类问题可利用多项式的乘法和二项展开式的通项来处理.

14.奇函数的图象关于点对称，，则__________．

【答案】2

【解析】分析：

因为函数的图像具有两个对称中心，可通过解析式满足的条件推出函数为周期函数且周期为2，从而求出.

详解：

由题设有

，

从而有，为周期函数且周期为，所以.

点睛：

一般地，定义在上的函数如果满足，（），那么的一个周期为.

15.已知圆锥的高为3，侧面积为，若此圆锥内有一个体积为的球，则的最大值为__________．

【答案】

详解：

设圆锥的母线长，底面的半径为，则即

，又，解得.

当球的体积最大时，该球为圆锥的内切球，设内切球的半径为，则

，故，所以.

点睛：

对于圆锥中的基本量的计算，可以利用轴截面来考虑，因为它集中了圆锥的高、底面的半径和圆锥的母线长.

16.如图，在中，，，的垂直平分线与分别交于两点，且，则__________．

【答案】

【解析】分析：

连接，因为是中垂线，所以.在中，由正弦定理得到与角的关系.在直角三角形中，，两者结合可得的大小，从而在中利用正弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得.

.

详解：

由题设，有，所以，故.

又，

所以，而，故，

因此为等腰直角三角形，所以.

在中，，所以，故，

在中，.

点睛：

解三角形时，如果题设给出的几何量分散在不同的三角形中，我们就需要找出沟通这些不同三角形的几何量，如本题中的和，通过它们得到分散的几何量之间的关系.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知数列的前项和满足：

.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，数列的前项和为，试问当为何值时，最小？

并求出最小值.

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）-10.

【解析】分析：

（Ⅰ）题设给出了与的关系，从该关系可以得到或以及，故可得的两种不同的通项；

（Ⅱ）数列为等差数列，其前项和的最值与项的正负相关，故考虑项何时变号即可.

详解：

（Ⅰ）由已知，可得

当时，，可解得，或，

当时，由已知可得，两式相减得.

若，则，此时数列的通项公式为.

若，则，化简得，

即此时数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.

∴综上所述，数列的通项公式为或.

（Ⅱ）因为，故.

设，则，显然是等差数列，

由解得，∴当或，最小，

最小值为.

点睛：

（1）一般地，如果知道，那么我们可以利用将前者转化为关于或的递推关系；

（2）数列前项和的最值往往和项的正负有关，解题时注意合理使用.

18.十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量（单位：

吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：

将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立.

（Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；

（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：

当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案：

方案一：

防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；

方案二：

防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；

方案三：

不采取措施.

试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）方案二.

【解析】分析：

（Ⅰ）根据给出的频率分布表可以得到每年排放量在吨到吨的概率为，而三年中之多有一年排放量满足题设要求的概率可由二项分布来计算.

（Ⅱ）考虑不同方案导致的经济损失.方案一的经济损失为万元；方案二中，排列量在吨到吨的概率为，相应的经济损失为万，排放量不在此范围内的概率为，相应的经济损失为防治费万，故经济损失的数学期望为，同理可以计算出方案三的经济损失的数学期望为万，故方案二较好.

详解：

（Ⅰ）由题得，

设在未来3年里，河流的污水排放量的年数为，则.

设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量”为事件，则.

∴在未来3年里，至多1年污水排放量的概率为.

（Ⅱ）方案二好，理由如下：

由题得，.

用分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则万元.

的分布列为：

.

的分布列为：

.

∴三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.

点睛：

本题为统计与离散型随机变量的综合题，往往需要