江苏省淮安市学年高一下学期第一次阶段检测数学试题.docx
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江苏省淮安市学年高一下学期第一次阶段检测数学试题
江苏省淮安市2021-2022学年高一下学期3月第一次阶段检测数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
评卷人
得分
一、单选题
1.化简
( )
A.0B.
C.
D.
2.已知向量
,
,则
( )
A.
B.
C.
D.
3.已知
、
是平面上的两个不共线向量,向量
,
,若
,则实数
( )
A.
B.
C.
D.
4.在锐角
中,关于向量夹角的说法,正确的是( )
A.
与
的夹角是锐角B.
与
的夹角是锐角
C.
与
的夹角是锐角D.
与
的夹角是钝角
5.已知
,
,
,下列点
的坐标中不能使点
、
、
、
构成四边形的是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知向量
,
,
,若
,则
与
的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知
都是锐角,
,
,则
( )
A.1B.
C.
D.
8.在
中,
,
,
为
的中点,
,则
( )
A.
B.
C.
D.
评卷人
得分
二、多选题
9.已知向量
,
,则下列结论正确的是( )
A.
B.
与
可以作为一组基底
C.
D.
与
方向相同
10.已知向量
不共线,若
,
,且
,
,
三点共线,则关于实数
的值可以是( )
A.2,
B.
,
C.2,
D.
,
11.已知向量
,
,则下列说法正确的是( )
A.若
,则
或
B.若
,则
C.
的最小值为6D.若
与
的夹角为锐角,则
12.已知
、
、
,
,
,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
评卷人
得分
三、填空题
13.已知
是非零向量,若
,
与
的夹角是
,则
________________.
14.函数
的最大值为______.
15.如图,在
中,
为线段
上靠近
点的三等分点,若
,则
________________.
评卷人
得分
四、双空题
16.如图所示,规定每个小方格的边长是
,又已知向量
、
、
.
则
(1)若用向量
、
表示向量
,则
________________;
(2)向量
与
的夹角为________________.
评卷人
得分
五、解答题
17.平面内给定三个向量
,
,
.
(1)求
的模
(2)若
,求实数
.
18.已知
,
,分别确定实数
的取值范围,使得:
(1)若
与
的夹角为直角,求实数
的值.
(2)请在①
与
的夹角为钝角,②
与
的夹角为锐角,这两个条件中任选一个求实数
的取值范围.
19.已知点
、
、
.求:
(1)
的值;
(2)
的大小;
(3)点
到直线
的距离.
20.已知向量
与向量
共线,其中
为
的内角.
(1)求角B的大小;
(2)若
,求
的值.
21.已知坐标平面内
,
,
,
,
.
(1)当
,
,
三点共线时,求
的值;
(2)当
取最小值时,求
的坐标,并求
的值.
22.如图,已知
是边长为2的正三角形,点
四等分线段
(1)求
(2)
为线段
上一点,若
,求实数
的值;
(3)
为边
上一点,求
的最小值.
参考答案:
1.B
【解析】
【分析】
由向量的加法法则直接求解
【详解】
,
故选:
B
2.C
【解析】
【分析】
根据向量坐标的线性运算求
的坐标.
【详解】
由题设,
.
故选:
C.
3.A
【解析】
【分析】
设
,可得出关于
、
的方程组,即可解得实数
的值.
【详解】
设
,则
,所以,
,所以,
.
故选:
A.
4.C
【解析】
【分析】
作出图形,结合向量夹角的定义可得出合适的选项.
【详解】
如下图所示:
对于A选项,
与
的夹角为
,为钝角,A错;
对于B选项,
与
的夹角为
,为钝角,B错;
对于CD选项,
与
的夹角等于
,为锐角,C对D错;
故选:
C.
5.C
【解析】
【分析】
利用对边平行且相等逐个分析判断即可
【详解】
对于A,因为
,所以
,所以
,
∥
,所以四边形
是平行四边形,所以A不合题意,
对于B,因为
,所以
,所以
,
∥
,所以四边形
是平行四边形,所以B不合题意,
对于C,因为
,所以
,因为
有公共端点,所以
三点共线,所以
、
、
、
四点不能构成平行四边形,所以D正确,
对于D,因为
,所以
,所以
,
∥
,所以四边形
为平行四边形,所以D不合题意,
故选:
C
6.B
【解析】
【分析】
先求得
与
的夹角,再根据
求解.
【详解】
解:
因为向量
,
,
所以
,
设
与
的夹角为
,
因为
,
,
所以
,
则
,
因为
,
所以
,
因为
,
所以
与
的夹角为
,
故选:
B
7.C
【解析】
【分析】
由
,利用两角差的余弦公式求解.
【详解】
因为
都是锐角,
所以
,
又
,
,
所以
,
,
所以
,
,
,
故选;C
8.A
【解析】
【分析】
将
、
用
、
表示,再利用平面向量数量积的运算性质可求得
的值.
【详解】
,
,
因此,
.
故选:
A.
9.AC
【解析】
【分析】
A.利用共线向量定理判断;B.利用基底的定义判断;C.利用向量的线性运算求解判断;D.利用共线向量定理判断;
【详解】
A.因为向量
,
,所以
,则
,故正确;
B.由A知:
,所以
与
不可以作为一组基底,故错误;
C.因为向量
,
,所以
,故正确;
D.因为向量
,
,所以
,则
,所以
与
方向相反,故错误;
故选:
AC
10.CD
【解析】
【分析】
由
,
,
三点共线,可得存在唯一实数
,使
,从而可得到
的关系,进而可得答案
【详解】
因为向量
不共线,
,
,且
,
,
三点共线,
所以存在唯一实数
,使
,
所以
,所以
,
所以
,
故选:
CD
11.ABC
【解析】
【分析】
根据向量垂直与平行的坐标表示可判断AB,由向量的模长以及夹角公式可判断CD.
【详解】
因为向量
,
,
由
,所以
,解得
或
,故A正确;
当
时,
,
,由于
,即
,故B正确;
由于
,所以
,
当
时,
的最小值为6,故C正确;
若
与
的夹角为锐角,则
且不同向,即
,
解得
且
,故D不正确;
故选:
ABC.
12.AD
【解析】
【分析】
由已知可得
,利用同角三角函数的平方关系结合两角差的余弦公式可求得
的值,求出
的取值范围,即可得解.
【详解】
由已知可得
,
所以,
,
所以,
,
因为
、
、
,则
,
因为
,函数
在
上单调递增,则
,则
,故
,
故选:
AD.
13.2
【解析】
【分析】
直接利用数量积的定义求解即可
【详解】
因为
,
与
的夹角是
,
所以
,
故答案为:
2
14.
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简函数解析式,再根据正弦函数的性质计算可得;
【详解】
解:
因为
,
因为
,所以
,所以当
即
时函数取得最大值
,
故答案为:
15.
【解析】
【分析】
利用向量的加减运算法则得
,根据
三点共线即可得解.
【详解】
因为
为线段
上靠近
点的三等分点,所以
三点共线,所以
.
故答案为:
.
16.
##
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系,写出向量
、
、
的坐标.
(1)设
,利用平面向量的坐标运算可得出关于
、
的方程组,求出这两个未知数的值,可得出
关于
、
的线性表示;
(2)计算出
的值,即可得解.
【详解】
建立如下图的平面直角坐标系,
由图可得
,
,
.
(1)设
,则
,所以,
,解得
,
所以,
;
(2)
,所以,
,故向量
与
的夹角为
.
故答案为:
(1)
;
(2)
.
17.
(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)求出向量
的坐标,利用向量的模长公式可求得结果;
(2)求出向量
的坐标,由已知可得
,利用平面向量数量积的坐标运算可求得实数
的值.
(1)
解:
因为
,
,则
,
因此,
.
(2)
解:
,
因为
,则
,解得
.
18.
(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
(1)由题意可得
,从而可求出实数
的值,
(2)若选①,则可得
且
与
不反向,从而可求出实数
取值范围,
若选②,则可得
且
与
不同向,从而可求出实数
取值范围
(1)
设
与
的夹角为
,则
.
因为
与
的夹角为直角,所以
,所以
,
所以
,所以
.
(2)
若选①,
因为
与
的夹角为钝角,所以
且
,
所以
且
与
不反向.
由
得
,故
,
由
与
共线得
,故
与
不可能反向.
所以
的取值范围为
.
若选②
因为
与
的夹角为锐角,所以
,且
,
所以
且
与
不同向.
由
,
得
,
由
与
同向得
.
所以
的取值范围为
且
.
19.
(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
(1)利用平面向量数量积的坐标运算可求得
的值;
(2)利用平面向量数量积的坐标运算可求得
的值,结合
的取值范围可求得
的值;
(3)由已知可得出点
到直线
的距离为
.
(1)
解:
由已知可得
,
,所以,
.
(2)
解:
,
,因此,
.
(3)
解:
由题意可知,点
到直线
的距离为
.
20.
(1)
;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)由向量
与
共线,得到
,求得
,即可求解;
(2)由
,求得
,根据
,结合两角和的余弦公式,即可求解.
【详解】
(1)由题意,向量
与
共线,
可得
,即
,
又由
,可得
,所以
,所以
,即
.
(2)由
,可得
,
又由
.
21.
(1)
;
(2)
,
.
【解析】
【分析】
(1)利用向量共线坐标表示即求;
(2)利用数量积的坐标表示可得
,进而可得
,再利用夹角公式即求.
(1)
∵
,
,
,
,
∴
,
,
∴
,
当
,
,
三点共线时,有
,
,
解得
.
(2)
∵
,
,
∴
,
∴当
时,
取得最小值
,此时
,
∴
,
,
,
,
∴
.
22.
(1)
;
(2)
;(3)
.
【解析】
【分析】
先根据题目条件确定
为
的中点,
为
的中点,
为
的中点,
为
的中点,
,再由
是正三角形,得
.
(1)利用向量数量积的运算律与向量加法法则,化简可得
,再在
中利用勾股定理求出
的长;
(2)根据
为线段
上一点,设
,再利用向量的加减法与数乘运算,求出
结合
列方程组求解,可得
;
(3)根据
为边
上一点,设
,
,再利用向量的加减法与数乘运算,
求出
,进而得出
,从而当
时,
取得最小值
.
【详解】
由题知,
为
的中点,
为
的中点,
为
的中点,
为
的中点,
因为
是正三角形,所以
.
(1)
,
因为
,
,
,
所以
,
故
.
(2)因为
为线段
上一点,所以可设
,
又
,
所以
.
又
,且向量
,
不共线,
所以
,解得
,
所以实数
的值为
.
(3)因为
为边
上一点,所以可设
,
.
,
因为
,
,
所以
,
当
时,
取得最小值
.
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- 江苏省 淮安市 学年 一下 学期 第一次 阶段 检测 数学试题