学年人教A版高中数学选修44全册同步练习题集解析版95P.docx

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学年人教A版高中数学选修44全册同步练习题集解析版95P

2017~2018学年人教A版高中数学选修4-4全册同步训练题汇编

目录

✧第一讲坐标系1.1平面直角坐标系练习

✧第一讲坐标系1.2极坐标系练习

✧第一讲坐标系1.3简单曲线的极坐标方程练习

✧第一讲坐标系1.4柱坐标系与球坐标系简介练习

✧第一讲坐标系测评

✧第二讲参数方程2.1曲线的参数方程练习

✧第二讲参数方程2.2圆锥曲线的参数方程练习

✧第二讲参数方程2.3直线的参数方程练习

✧第二讲参数方程2.4渐开线与摆线练习

✧第二讲参数方程测评

✧模块综合测评A

✧模块综合测评B

一　平面直角坐标系

课后篇巩固探究

A组

1.若点P（-2015,2016）经过伸缩变换后所得的点在曲线y'=上,则k=（　　）

A.1B.-1C.2016D.-2016

解析因为点P（-2015,2016）,所以将其代入y'=,得k=x'y'=-1.

答案B

2.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线x'2+8y'2=1,则曲线C的方程为（　　）

A.49x2+128y2=1B.49x2+64y2=1

C.49x2+32y2=1D.x2+y2=1

解析将伸缩变换代入x'2+8y'2=1中,得49x2+128y2=1,故曲线C的方程为49x2+128y2=1.

答案A

3.曲线y=sin经过伸缩变换后的曲线方程是（　　）

A.y'=5sinB.y'=sin

C.y'=5sinD.y'=sin

解析由伸缩变换

将其代入y=sin中,

得y'=sin,

即y'=5sin.

答案C

4.导学号73574002已知平面内有一条固定的线段AB,|AB|=4.若动点P满足|PA|-|PB|=3,点O为线段AB的中点,则|OP|的最小值是（　　）

A.B.C.2D.3

解析以AB的中点O为原点,

AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可知点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的一支.

∵2c=4,∴c=2.∵2a=3,

∴a=.∴b2=c2-a2=4-.

∴点P的轨迹方程为=1.

由图可知,当点P为双曲线与x轴的右交点时,|OP|最小,|OP|的最小值是.

答案A

5.点（2,3）经过伸缩变换后得到的点的坐标为　　　　　. 

解析由伸缩变换公式即变换后的点的坐标为（1,9）.

答案（1,9）

6.到直线x-y=0和直线2x+y=0的距离相等的动点的轨迹方程为　　　　　　　　　　　. 

解析设动点的坐标为（x,y）,则依题意有,整理得x2+6xy-y2=0.

答案x2+6xy-y2=0

7.将椭圆=1按φ:

变换后的曲线围成图形的面积为　　　　　. 

解析设椭圆=1上任意一点的坐标为P（x,y）,按φ变换后对应的点的坐标为P'（x',y'）,由φ:

将其代入椭圆方程,得=1,即x'2+y'2=1.因为圆的半径为1,所以圆的面积为π.

答案π

8.导学号73574003已知△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上的中线,则BE与CF的位置关系是　　　　　. 

解析如图,以△ABC的顶点A为原点O,边AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则A（0,0）,B（c,0）,F.

设C（x,y）,则E,

所以kBE=-,kCF=.

由b2+c2=5a2,得|AC|2+|AB|2=5|BC|2,

即x2+y2+c2=5[（x-c）2+y2],

整理得2y2=（2x-c）（2c-x）.

所以kBE·kCF==-1.

所以BE与CF互相垂直.

答案垂直

9.已知在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC>AD,求证:

|AC|=|BD|.

证明取BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.

设A（-a,h）,B（-b,0）,

则D（a,h）,C（b,0）.

所以|AC|=,

|BD|=.

所以|AC|=|BD|.

10.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.

（1）5x+2y=0;

（2）x2+y2=2.

解

（1）由伸缩变换

得

将其代入5x+2y=0,得10x'+6y'=0,

即5x'+3y'=0.

故经过伸缩变换后,直线5x+2y=0变成了直线5x'+3y'=0.

（2）将代入x2+y2=2,得经过伸缩变换后的图形的方程是=2,即=1.

故经过伸缩变换后,圆x2+y2=2变成了椭圆=1.

11.导学号73574004在同一平面直角坐标系中,分别求一个伸缩变换使其满足下列曲线的变换,并叙述变换过程.

（1）曲线y=2sin变换为正弦曲线y=sinx;

（2）圆x2+y2=1变换为椭圆=1.

解

（1）将变换后的曲线方程y=sinx改写为y'=sinx'.

设满足题意的伸缩变换为将其代入y'=sinx'得μy=sinλx.

将其即y=sinλx,与原曲线的方程比较系数得

所以满足题意的伸缩变换为

即先使曲线y=2sin上的点的纵坐标不变,将曲线上的点的横坐标缩短为原来的,得到曲线y=2sin=2sinx,再将其纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,得到正弦曲线y=sinx.

（2）将变换后的椭圆方程=1改写为=1.

设满足题意的伸缩变换为

将其代入=1,

得=1,

即x2+y2=1.

将其与x2+y2=1比较系数得

即

所以满足题意的伸缩变换为

即先使圆x2+y2=1上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍,得到椭圆+y2=1,再将该椭圆的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变,得到椭圆=1.

B组

1.一个正方形经过平面直角坐标系中的伸缩变换后,其图形可能是（　　）

A.正方形B.矩形

C.菱形D.正方形、菱形或矩形

解析正方形在平面直角坐标系中进行伸缩变换后,图形的形状是由其在平面直角坐标系中的位置决定的.若顶点在坐标轴上,则变换后的图形可能是菱形或正方形;若顶点在象限内,则变换后的图形可能是矩形或正方形.

答案D

2.到两定点的距离之比等于常数k（k≠0）的点的轨迹是（　　）

A.椭圆B.抛物线

C.圆D.直线或圆

解析以两定点A,B所在的直线为x轴,以AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系（图略）.设A（-a,0）,B（a,0）,P（x,y）,|PA|=k|PB|.显然当k=1时,点P的轨迹是直线（即线段AB的中垂线）;当k≠1,且k≠0时,代入两点间的距离公式化简可知点P的轨迹为圆.

答案D

3.在同一平面直角坐标系中,在伸缩变换φ:

的作用下,仍是其本身的点的坐标为　　　　　. 

解析设点P（x,y）在伸缩变换φ:

的作用下得到点P'（λx,μy）,依题意得因为λ>0,μ>0,λ≠1,μ≠1,所以x=y=0,即P（0,0）为所求.

答案（0,0）

4.在平面直角坐标系xOy中,直线l:

x=-2交x轴于点A.设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上的一点,且满足∠MPO=∠AOP.当点P在l上运动时,则点M的轨迹E的方程是　　　　　　　　　　. 

解析如图所示,连接OM,则|PM|=|OM|.

因为∠MPO=∠AOP,所以动点M满足MP⊥l或M在x轴的负半轴上.设M（x,y）,

①当MP⊥l时,|MP|=|x+2|,|OM|=,|x+2|=,化简得y2=4x+4（x≥-1）.

②当M在x轴的负半轴上时,y=0（x≤-1）.

综上所述,点M的轨迹E的方程为y2=4x+4（x≥-1）或y=0（x<-1）.

答案y2=4x+4（x≥-1）或y=0（x<-1）

5.已知B村庄位于A村庄的正西方向1km处,原计划在经过B村庄且沿着北偏东60°的方向上埋设一条地下管线l,但在A村庄的西北方向400m处,发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果,文物管理部门将遗址W周围100m内的范围划为禁区.试问,埋设地下管线l的计划需要修改吗?

解以A为坐标原点,正东方向和正北方向分别为x轴、y轴的正半轴,建立如图所示的平面直角坐标系.

则A（0,0）,B（-1000,0）.

由W位于A的西北方向及|AW|=400,

得W（-200,200）.

由直线l经过点B且倾斜角为90°-60°=30°,得直线l的方程是x-y+1000=0.

点W到直线l的距离为

d=

=500-100（）≈114>100,

所以埋设地下管线l的计划不需要修改.

6.导学号73574005圆C:

x2+y2=4向着x轴均匀压缩,压缩系数为,在压缩过程中,圆上的点的横坐标保持不变.

（1）求压缩后的曲线方程.

（2）过圆C上一点P（）的切线,经过压缩后的直线与压缩后的曲线有何关系?

解设圆上一点P（x,y）,压缩后的点为P'（x',y'）,

则

（1）将其代入x2+y2=4,得（x'）2+（2y'）2=4,

即x'2+4y'2=4,

则压缩后的曲线方程为x2+4y2=4.

（2）因为点P（）满足（）2+（）2=4,

所以点P在圆上.

故过点P的切线方程为x+y=4,

压缩后变为x'+×2y'=4,即x'+2y'=2,

即压缩后的方程为x+2y=2.

由联立得x2-2x+2=0,

由Δ=8-4×2=0,

得直线x+2y=2与曲线x2+4y2=4相切.

7.导学号73574006由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务,对商船进行护航.某日甲舰在乙舰正东6km处,丙舰在乙舰北偏西30°,两舰相距4km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距离商船远,因此4s后乙、丙两舰才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1km/s.若甲舰赶赴救援,则行进的方位角应是多少?

解设A,B,C,P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.

以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A（3,0）,B（-3,0）,C（-5,2）.

由题意,得|PB|=|PC|,所以点P在线段BC的垂直平分线上.因为kBC=-,线段BC的中点D（-4,）,

所以直线PD的方程为y-（x+4）.①

又因为|PB|-|PA|=4,所以点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,双曲线方程为=1（x≥2）.②

联立①②,解得点P的坐标为（8,5）.

所以kPA=.

因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.

二　极坐标系

课后篇巩固探究

A组

1.在极坐标系中,点（-2,-2）的一个极坐标可以是（　　）

A.B.

C.D.

解析ρ==2,tanθ=1,且点在第三象限,可取θ=,故极坐标可以是.

答案D

2.下列的点在极轴所在直线的上方的是（　　）

A.（3,0）B.

C.D.

解析由极坐标的定义可得点（3,0）在极轴上,点在极轴所在直线的下方,点在极轴所在直线的上方,故选D.

答案D

3.将点的直角坐标（-2,2）化为极径ρ是正值,极角在0到2π之间的极坐标是（　　）

A.B.

C.D.

答案A

4.下列极坐标对应的点中,在直角坐标平面的第三象限的是（　　）

A.（3,4）B.（4,3）

C.（3,5）D.（5,6）

解析x=ρcosθ,y=ρsinθ,对选项A来说,x=3cos4<0,y=3sin4<0,满足在第三象限,故选A.

答案A

5.若A,B两点的极坐标分别为A（4,0）,B,则线段AB的中点的极坐标为（　　）

A.B.

C.D.

解析由题意知点A,B的直角坐标分别为（4,0