解析几何中设而不求专题练习含参考答案.docx
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解析几何中设而不求专题练习含参考答案
解析几何中设而不求专题练习
设而不求是解析几何的重要解题策略,在许多题目的解答中,常常可以起到简化计算的作用。
许多同学会问:
什么情况下,可以通过设而不求解答问题呢?
一、利用曲线与方程的关系:
1.已知两圆
,
,求两圆的公共弦方程及弦长。
2.过圆外一点P(a,b)引圆
的两条切线,求经过两个切点的直线方程。
二、利用圆锥曲线的定义:
1.已知椭圆
为焦点,点P为椭圆上一点,
,求
。
三、利用点差法:
1.求过椭圆
内一点A(1,1)的弦PQ的中点M的轨迹方程。
四、利用韦达定理:
1.已知椭圆C1的方程为
,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(Ⅰ)求双曲线C2的方程;
(Ⅱ)若直线
与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A和B满足
(其中O为原点),求k的取值范围.
2.已知平面上一定点C(4,0)和一定直线
为该平面上一动点,作
,垂足为Q,且
.
(1)问点P在什么曲线上?
并求出该曲线的方程;
(2)设直线
与
(1)中的曲线交于不同的两点A、B,是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过点D(0,-2)?
若存在,求出k的值,若不存在,说明理由.
五、对多元问题,围绕解题目标,通过逐步消元,实现设而不求
1.抛物线
与过点
的直线
相交于
、
两点,
为坐标原点,若直线
和
斜率之和是
,求直线
的方程。
2.已知点P(3,4)为圆C:
内一点,圆周上有两动点A、B,当∠APB=90°时,以AP、BP为邻边,作矩形APBQ,求顶点Q的轨迹方程。
补充练习:
1、设
、
分别是椭圆
的左、右焦点.
(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求
的最大值和最小值;
(Ⅱ)是否存在过点A(5,0)的直线l与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2C|=|F2D|?
若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
解:
(Ⅰ)易知
设P(x,y),则
,
,即点P为椭圆短轴端点时,
有最小值3;
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