高考物理 第七章 第二课时单摆受迫振动解析.docx

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高考物理第七章第二课时单摆受迫振动解析

第二课时单摆受迫振动

第一关：

基础关展望高考

基础知识

一、单摆

知识讲解

1.单摆:

在一条不可伸长的\,忽略质量的细线下端拴一质点,上端固定构成的装置.

2.单摆振动可看作简谐运动的条件:

α≤10°.

3.周期公式:

T=2π

式中摆长l指悬点到摆球重心的距离，g为单摆所在处的重力加速度.

4.单摆的等时性:

在小振幅摆动时,单摆的振动周期跟振幅和振子的质量都没关系.

5.应用:

①测重力加速度g=

;②计时器.

6.能量转化关系:

在不计阻力的情况下,单摆在运动中摆球的动能和重力势能相互转化,总能量不变.

活学活用

1.若单摆的摆长不变,摆球的质量增加为原来的4倍,摆球经过平衡位置的速度减小为原来的

则单摆振动的（）

A.频率不变,振幅不变

B.频率不变,振幅改变

C.频率改变,振幅改变

D.频率改变,振幅不变

解析:

摆球经过平衡位置的速度减小从而引起振幅减小,由T=2π

可得单摆的周期与摆球的质量和振幅无关,故B正确.

答案:

B

二、受迫振动和共振

知识讲解

如果振动系统不受外力作用,此时的振动叫做固有振动,其振动的频率称为固有频率.

（1）阻尼振动

振动系统振动过程中受阻尼的作用,系统克服阻尼做功,消耗机械能,因而振幅减小.这种振幅减小的振动叫做阻尼振动.

说明:

物体做阻尼振动时,振幅不断减小,但振动的频率仍由自身结构决定,并不会随振幅的减小而变化.用力敲锣,锣受空气阻尼的作用,振幅越来越小,锣声减弱,但音调不变.

（2）受迫振动

振动系统在周期性的外力（驱动力）作用下的振动叫做受迫振动.

说明:

物体做受迫振动时,振动稳定后的频率等于驱动力的频率,跟系统的固有频率无关.

（3）共振

①定义:

驱动力的频率等于系统的固有频率时,受迫振动的振幅最大,这种现象叫做共振.

②条件:

驱动力的频率等于系统的固有频率.

③共振曲线:

直观地反映物体做受迫振动的振幅A与驱动力频率f的关系,即当驱动力的频率f偏离固有频率f0较大时,受迫振动的振幅A较小;当驱动力频率f等于固有频率f0时,受迫振动的振幅A最大.如图所示.

活学活用

2.

如图所示,曲轴上悬挂一弹簧振子,转动摇柄,曲轴可以带动弹簧振子上下振动,开始时不转动摇柄,让振子上下自由振动,测得振动频率为2Hz,然后匀速转动摇柄,转速为240r/min,当振子振动稳定后,它的振动周期是（）

A.0.5s

B.0.25s

C.2s

D.4s

解析:

转动摇柄,则弹簧振子做受迫振动,振动周期等于转动（驱动力）的周期T=

s=0.25s.

答案:

B

第二关：

技法关解读高考

解题技法

一、对单摆周期公式的理解

技法讲解

对周期公式T=2π

中的摆长l和重力加速度g分析如下：

1.周期公式中的摆长l

摆长l是指摆球摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，它不一定等于摆线的长度.对于某些特殊情况的单摆，应求出等效摆长.

等效摆长：

①在图中，两段细绳l下系一密度均匀、质量为m的小球，小球直径为d,则此双线摆的等效摆长：

L=l·sinα+

，做简谐运动时的周期为：

T=

.

②在下图中，三根等长的绳l1、l2、l3共同系住一密度均匀的小球m，球直径为d.l2、l3与天花板的夹角α＜30°.若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在O1处，故等效摆长为（l1+d2），周期T1=

；若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长为

（l1+l2sinα+

），

周期T2=2π

2.等效重力加速度：

公式中的g由单摆所在的空间位置决定.

由

=g知,g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8m/s2.

典例剖析

例1

一单摆在大山脚下时，一定时间内振动了N次，将此单摆移至山顶上时，在相同时间内振动了（N-1）次，则此山高度约为地球半径的多少倍？

解析：

以g1、g2分别表示山脚与山顶处的重力加速度，则此单摆在山顶处的振动周期为

依题意，在相同时间内，此单摆在山脚下振动N次，而在山顶上振动（N-1）次，有

所以

①

又设山脚离地心距离为R1,山顶离地心距离为R2,以M表示地球的质量，根据万有引力定律，有

g1=

g2=

得

②

由①②式得R2=

R1

故此山的高度h=R2-R1=

答案：

二、摆钟快慢的分析方法

技法讲解

摆钟快慢不同是由摆钟的周期变化引起的,若摆钟周期T大于其准确钟的周期Ts,则为慢钟,若摆钟周期T小于其准确钟的周期Ts,则为快钟.分析时应注意:

（1）由摆钟的机械构造所决定,无论准确与否的钟摆每完成一个全振动,摆钟所显示的时间

为一定值,也就是走时准确的摆钟的周期Ts.

（2）在摆钟机械构造不变的前提下,走时快的摆钟,在给定时间内全振动的次数多,周期小,钟面上显示的时间多.走时慢的摆钟,在给定时间内全振动的次数少,周期大,钟面上显示的时间就少.因钟面显示的时间总等于摆动次数乘以准确摆钟的周期Ts,即t显=N\5Ts,所以在同一时间t内,钟面指示时间之比等于摆动次数之比.

（3）无论摆钟走时是否准确,钟面上显示的时间t显=N\5Ts，式中Ts为走时准确摆钟的周期,N为全振动的次数.对于走时不准确的摆钟,要计算其全振动的次数,不能用钟面上显示的时间除以其周期,而应以准确时间除以其周期,即N=t/T非.（T非即非准确时钟的振动周期）

典例剖析

例2

在高山下一座摆钟走时准确,移到高山上,它是快了还是慢了？

一昼夜相差多少?

已知山下的重力加速度为g0,山上的重力加速度为g′,一昼夜时间用t0表示.

解析：

由摆钟周期T=2π

知,在山上重力加速度减小,周期变大,因而时钟会走慢,不准确了.

由于摆钟计时是由振子振动带动指针跳动来指示时间刻度值的,在山下振动一次指针指示的时间为T0,则在山上振动一次时,指针指示的时间也为T0,因此,测量时间t与振动次数N成正比.在一段确定的时间t0内,振动次数应与周期成反比,即t0=N0T0=N′T′.

山下摆钟一昼夜指示的时间为t0=N0T0,山上摆钟一昼夜指示的时间为t′=N′T0（N′为山上摆钟摆动的次数）,而N′=t0/T′,故一昼夜两摆钟指示的时间相差Δt=t0-t′=（N0-N′）T0=（

）.T0=t0（1-

）=t0（1-

）.

答案：

慢了t0（1-

）

第三关：

训练关笑对高考

随堂训练

1.一个壁厚均匀的空心球壳用一根长线把它悬挂起来，先让空腔中充满水，然后让水从球底部的小孔慢慢地流出来，如果让球摆动，那么在水流出过程中振动周期的变化情况是（）

A.变大

B.变小

C.先变大后变小

D.先变小后变大

解析：

本题主要考查摆长概念，由悬点到重心的距离，水流出过程中，重心应先降后升，故l先变长后变短，T先变大再变小，C正确.

答案：

C

2.有一秒摆，摆球带负电，在如图所示的匀强磁场中做简谐振动，则（）

Ａ振动周期Ｔ０＝２ｓ

Ｂ振动周期Ｔ０＞２ｓ

Ｃ振动周期Ｔ０＜２ｓ

Ｄ无法确定其周期大小

解析：

秒摆的周期为2s，加上磁场后，摆球在运动过程中受到洛伦兹力作用，但洛伦兹力始终沿绳子方向，与摆球运动方向垂直.因此对摆球做简谐振动不起作用，所以摆球的周期不变.应选A项.若在悬点O放一带负电的点电荷时，T不变.

答案：

A

３有一摆长为ｌ的单摆，悬点正下方

某处有一小钉，当摆球经过平衡位

置向左摆动时，摆线的上部将被小

钉挡住，使摆长发生变化，现使摆球

做小幅度摆动，摆球从右边最高点Ｍ至左边最高点Ｎ运

动过程的闪光照片，如图所示（悬点和小钉未被摄入）．Ｐ为

摆动中的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点的距离为

Ａｌ／４Ｂｌ／２

Ｃ３ｌ／４Ｄ无法确定

解析：

由题意可知T1=2T2，T1=

，T2=

，l2=

l1，故选C.

答案：

C

4.一洗衣机正常工作时非常平稳，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动再逐渐减弱，对这一现象，下列说法正确的是（）

①正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率大

②正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率小

③正常工作时，洗衣机波轮的运转频率等于洗衣机的固有频率

④当洗衣机振动最剧烈时，波轮的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率

A.只有①B.③

C.①④D.②④

解析：

洗衣机运行时，波轮的频率远大于洗衣机的频率，所以不会发生共振，当频率降低到与洗衣机的频率相同时，发生共振，振动最剧烈.

答案：

C

5.在2008年发生的汶川地震中，测得其地震波的频率为50Hz.设钢筋混凝土结构建筑物的固有频率与其高度的平方成正比，比例系数为0.5，在这次地震中多高的钢混建筑物振动最厉害？

解析：

设建筑物高度为h，其固有频率为f，二者关系式为

f=0.5h2,即50=0.5h2,解得h=10m.

答案：

10m

课时作业二十六单摆受迫振动

1.如图所示的单摆，摆球a向右摆动到最低点时，恰好与一沿水平方向向左运动的黏性小球b发生碰撞，并黏接在一起，且摆动平面不变.已知碰撞前a球摆动的最高点与最低点的高度差为h，摆动的周期为T，a球质量是b球质量的5倍，碰撞前a球在最低点的速度是b球速度的一半.则碰撞后

（）

A.摆动的周期为

B.摆动的周期为

C.摆球的最高点与最低点的高度差为0.3h

D.摆球的最高点与最低点的高度差为0.25h

解析:

单摆周期T=2π

与摆球质量和摆角无关，故A、B都错.设a球碰撞前速率为va,碰后a、b共同速度为v，上升最大高度为h′，由机械能定守恒得magh=

由碰撞过程中动量守恒得mava-mb（2va）=（ma+mb）v,

又（ma+mb）gh′=

（ma+mb）v2，

及ma=5mb，联立解得h′=0.25h，故D对.

答案:

D

2.如图所示，AC是一段半径为2m的光滑圆弧轨道，圆弧与水平面切于A点，BC=7cm.现将一个小球先后从曲面的顶端C和圆弧中点D由静止开始释放，到达底端时的速度分别为v1和v2，所用时间分别为t1和t2，则

（）

A.v1＞v2,t1=t2

B.v1＜v2,t1=t2

C.v1＞v2,t1＞t2

D.v1=v2,t1=t2

解析:

小球两次运动均可看成类单摆运动.虽然释放的高度不同，但所用时间均为

，故t1=t2.根据机械能守恒知，由C下滑至A点的高度差大，故由C运动到A点时的速度大，即v1＞v2.

答案:

A

3.

如图所示，单摆甲放在空气中，悬点处固定一带正电小球，摆球亦带正电，周期为T甲；单摆乙放在加速度a向下加速运动的电梯中，周期为T乙；单摆丙带正电，放在匀强磁场B中，周期为T丙；单摆丁带正电，放在匀强电场E中，周期为T丁.若四个单摆摆长均相等，那么

（）

A.T甲＞T乙＞T丁＞T丙

B.T乙＞T甲＞T丙＞T丁

C.T丙＞T甲＞T丁＞T乙

D.T乙＞T甲=T丙＞T丁

解析:

甲摆所受库仑力和丙摆受的洛伦兹力总是沿半径方向，不影响回复力，则T甲=T丙=2π

.

根据等效重力加速度的求法，平衡位置处对乙有mg-F乙=ma，F乙=m·（g-a），即T乙=

对丁有：

F丁=mg+qE=m（g+

）即T丁=

.

答案:

D

4.一单摆做小角度摆动，其振动图象如图，以下说法正确的是

（）

A.t1时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小

B.t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小

C.t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大

D.t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大

解析:

由振动图象可知t1和t3时刻摆球偏离平衡位置位移最大，此时摆球速度为0，悬线对摆球拉力最小；t2和t4时刻摆球位移为0，正在通过平衡位置，速度最大，悬线对摆球拉力最大，故选项D正确.

答案:

D

5.

一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图甲所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动.匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动.把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速动的速度就可以改变驱动力的周期.若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，码砝便做简谐运动，振动图线如图乙所示.当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图象如图丙所示.

若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则

（）

A.由图表可知T0=4s

B.由图线可知T0=8s

C.当T在4s附近时，Y显著增大，当T比4s小得多或大得多时，Y很小

D.当T在8s附近时，Y显著增大，当T比8s小得多或大得多时，Y很小

解析:

由图乙可知弹簧振子的固有周期T0=4s，故A选项正确，B选项错误.根据受迫振动的特点：

驱动力的周期与系统的固有周期相同时发生共振，振幅最大；当驱动力的周期与系统的固有周期相差越多，受迫振动物体振动稳定后的振幅越小.故C选项正确，D选项错误.

答案:

AC

6.

如图所示，单摆的摆线是绝缘的，摆长为L，摆球带正电，摆悬挂于O点，在AD间摆动，当它摆过竖直线OC时便进入磁感应强度为B的有界匀强磁场，磁场方向垂直于单摆的摆动平面向里，下列说法正确的是

（）

A.A与D处于同一水平面

B.单摆的周期T=2π

C.单摆的振动周期T＞2π

D.单摆向右或向左摆过同一点C时摆线的张力一样大

解析:

若不考虑带电摆球在磁场中的涡流现象，由洛伦兹力与绳的拉力不会对摆球做功可知摆球的机械能守恒，摆球到达的左、右两边最高点应处于同一水平面，A对；既然机械能守恒，摆球在任何位置的动能与没有磁场作用时一样，即单摆的周期不受影响，B对C错；摆球向左与向右经过C点时，由牛顿第二定律分别可得：

T1-f洛-mg=

，T2+f洛-mg=

，可知向左摆过C点时摆线的张力较大，D错.

答案:

AB

7.

图甲是利用沙摆演示简谐运动图象的装置.当盛沙的漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时，做简谐运动的漏斗漏出的沙，在板上显示出沙摆的振动位移随时间变化的关系曲线.已知木板被水平拉动的速度为0.20m/s，图乙所示的一段木板的长度为0.60m,则这次实验沙摆的摆长大约为（取g=π2）

（）

A.0.56m

B.0.65m

C.1.00m

D.2.25m

解析:

把木板拉出时间t=s/v=3s，沙摆振动周期T=t/2=1.5s，由单摆周期公式T=

，沙摆摆长L=

=0.56m,选项A正确.

答案:

A

8.

如图所示，单摆摆球的质量为m，做简谐运动的周期为T，摆球从最大位移A处由静止释放，摆球运动到最低点B时的速度大小为v，不计空气阻力，则（）

A.摆球从A运动到B的过程中，重力做的功为

mv2

B.摆球从A运动到B的过程中，重力做的功的平均功率为

C.摆球运动到B时重力的瞬时功率为mgv

D.摆球从A运动到B的过程中合力的冲量大小为mv

解析：

从A到B，由动能定理WG=

mv2，A对；运动时间t=

T，则平均功率为P=

B对；摆球在最低点时，重力方向的速度为零，故重力的瞬时功率为P瞬=0，C错；由动量定理，合力的冲量I=mv，D对.

答案：

ABD

9.

如图所示，为同一个单摆分别在地球和月球上做受迫振动的共振曲线，则图线______表示的是在地球上单摆的共振曲线，可以求得该单摆的摆长为_____m，月球表面的重力加速度约为____m/s2.

解析:

当驱动力的频率等于单摆的固有频率时，单摆的振幅最大.由图像可知，此单摆在两星球上自由振动的固有频率分别为0.2Hz与0.5Hz,

由f固=

，f固∝

，地球表面的重力加速度大于月球表面的重力加速度，所以图线Ⅱ为单摆在地球上的共振曲线，

且2π

=

，得

≈1m.

又

答案:

Ⅱ1m1.6m/s2

10.

有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度.已知该单摆在海平面处的周期是T0.当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T.求该气球此时离海平面的高度h.把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体.

解析:

根据单摆周期公式

T0=

T=

其中l是单摆长度，g0和g分别是两地点的重力加速度.根据万有引力公式得

g0=

g=G

其中G是引力常数，M是地球质量.由以上各式解得

.

答案:

11.

将一根一端固定的钢锯条自由端挨着圆盘踞的边缘，圆盘上均匀分布着50个齿，求：

（1）当它以10r/s的转速转动时，钢锯条的振动周期为多少？

（2）当它以6r/s的转速旋转时，发现钢锯条的振幅最大，可知钢锯条的固有频率是多少？

（假定圆盘锯齿始终不脱离钢锯条）

解析:

（1）当圆盘锯以10r/s的转速转动时，转运1个齿所用的时间设为t,有:

n1=10r/s,

圆盘锯转动周期T1=

=0.1s,t=

=2×10-3s.

它即为圆盘锯提供的驱动力周期，所以钢锯条做受迫振动的周期T′1=t=2×10-3s.

（2）当n2=6r/s时，圆盘锯的转动周期：

T2=

圆盘锯提供的驱动力周期T′2=

s

驱动力频率f2=

=300Hz,

因此时钢锯条振幅最大，即发生共振，所以其固体频率

f固=f2=300Hz

答案:

（1）2×10-3s

（2）300Hz

12.如图所示，两个光滑的定滑轮的半径很小，表面粗糙的斜面固定在地面上，斜面的倾角为θ=30°.用一根跨过定滑轮的细绳连接甲、乙两物体，把甲物体放在斜面上且连线与斜面平行，把乙物体悬在空中，并使悬线拉直且偏离竖直方向α=60°.现同时释放甲、乙两物体，乙物体将在竖直平面内振动，当乙物体运动经过最高点和最低点时，甲物体在斜面上均恰好未滑动.已知乙物体的质量为m=1kg，若取重力加速度g=10m/s2.求：

甲物体的质量及斜面对甲物体的最大静摩擦力.

解析:

设甲物体的质量为M，所受的最大静摩擦力为f，则当乙物体运动到最高点时，绳子上的弹力最小，设为T1,对乙：

T1=mgcosα

此时甲物体恰好不下滑，有Mgsinθ=f+T1

得Mgsinθ=f+mgcosα

当乙物体运动到最低点时，设绳子上的弹力最大，设为T2为乙物体由动能定理：

mgl（1-cosα）=

mv2

又由牛顿第二定律：

T2-mg=m

此时甲物体恰好不上滑，则有Mgsinθ+f=T2

得Mgsinθ+f=mg（3-1cosα）

可解得M=

=2.5kg

f=

mg（1-cosα）=7.5N

答案：

2.5kg,7.5N