决胜中考最难压轴题大挑战二次函数综合题.docx
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决胜中考最难压轴题大挑战二次函数综合题
决胜2020年中考最难压轴题大挑战二次函数综合题
点睛导航
1、二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时,先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号,然后判断新的函数关系式中系数的符号,再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征,则符合所有特征的图象即为正确选项.
2、二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题,善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,并注意挖掘题目中的一些隐含条件.
3、二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系,建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建,建立直角坐标系下的二次函数图象,然后数形结合解决问题,需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义.
挑战突破
1.(2020•西湖区校级模拟)已知直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B,抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点M在线AB上,且抛物线与直线AB的另一个交点为N.
(1)如图,当点M与点A重合时,则抛物线的解析式为y=﹣x2+5x
;
(2)当抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点M在直线AB上平移时,若△OMN与△AOB相似,则点M的坐标为(2,﹣1)、(4,3).
【点睛】
(1)抛物线的顶点为:
(
,0),则抛物线的表达式为:
y=﹣(x
)2,即可求解;
(2)当∠OMN=90°时,则直线OM表达式中的k值为
,即
,即可求解;当∠ONM=90°时,同理可得:
点M(4,3);当∠MON=90°时,证明tan∠GMO=tan∠HON,即:
,即可求解.
【解析】解:
(1)直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B,
则点A、B的坐标分别为:
(
,0)、(0,﹣5),
则抛物线的顶点为(
,0),则抛物线的表达式为:
y=﹣(x
)2,
则抛物线的表达式为:
y=﹣x2+5x
,
故答案为:
y=﹣x2+5x
;
(2)设点M(m,2m﹣5),点N(x,y),
将抛物线表达式与直线表达式联立并整理得:
﹣(x﹣m)2+2m﹣5=2x﹣5,
x2+(2﹣2m)x+m2﹣2m=0,
(x﹣m)(x﹣m+2)=0,
则x=m或m﹣2,故点N(m﹣2,2m﹣9),
则MN=2
,则AB
,
①当∠OMN=90°时,
则直线OM表达式中的k值为
,
即
,解得:
m=2,
故点M、N的坐标分别为:
(2,﹣1)、(0,﹣5),
则OM
,ON=5,
经验证:
,满足△OMN与△AOB相似,
故点M(2,﹣1);
②当∠ONM=90°时,
同理可得:
点M(4,3);
③当∠MON=90°时,
过点M、N分别作y轴的垂线交于点G、H,
∵∠GMO+∠GOM=90°,∠GOM+∠HON=90°,
∴∠GMO=∠HON=α,则tan∠GMO=tan∠HON,
即:
,解得:
m=3,
故点M(3,1)(△OMN为等腰直角三角形,故舍去);
综上,点M的坐标为:
(2,﹣1)、(4,3),
故答案为:
(2,﹣1)、(4,3).
2.(2020•余杭区模拟)如图1,在平面直角坐标系中,将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上.现将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使得点B落到x轴的正半轴上(如图2),设抛物线y=ax2+bx+c(a<0),如果抛物线同时经过点O、B、C:
①当n=3时a=
;
②a关于n的关系式是
.
【点睛】①当n=3时,OC=1,BC=3,设所求抛物线解析式为y=ax2+bx,过C作CD⊥OB于点D,则Rt△OCD∽Rt△CBD,得出OD:
CD=OC:
BC=1:
3,设OD=t,则CD=3t,根据勾股定理OD2+CD2=OC2,求出t,得出C的坐标,把B、C坐标代入抛物线解析式即可得到方程组,求出a即可;
②根据a=2、4和①总结规律,可以得到答案.
【解析】解:
①如图当n=3时,OC=1,BC=3,
设所求抛物线解析式为y=ax2+bx,
过C作CD⊥OB于点D,
则Rt△OCD∽Rt△OBC,
∴
,
设OD=t,则CD=3t,
∵OD2+CD2=OC2,
∴(3t)2+t2=12,∴
∴C(
),又B(
,0),
∴把B、C坐标代入抛物线解析式,得
解得:
a
,
故答案为:
.
②当n=2时,OC=1,BC=2,
∴OB
,
∴1×2
CD,B(
,0)
∴CD
,
∴OD
,
∴C(
,
)
设所求抛物线解析式为y=ax2+bx,
∴
,
解得:
a
;
同理当n=4时,a
;
∴可以得出a关于n的关系式是:
.
故答案为:
,
.
3.(2020•衢州模拟)在直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣4ax+2(a>0)交y轴于点A,点B是点A关于对称轴的对称点,点C是抛物线的顶点,则:
(1)抛物线的对称轴为直线x=2;
(2)若△ABC的外接圆经过原点O,则a的值为
.
【点睛】
(1)根据对称轴方程x
解答;
(2)先求得顶点坐标,然后利用待定系数法确定函数关系式,即求得a的值.
【解析】解:
(1)抛物线y=ax2﹣4ax+2的对称轴为直线x
2,即x=2.
(2)连接OB交对称轴于点O′.
∵抛物线的对称轴x=2,A(0,2),A,B关于对称轴对称,
∴B(4,2),
∵△ABC的外接圆经过原点O,
∴外接圆的圆心是线段OB的中点O′,
∴O′(2,1),
∴OB
2
,
∴O′C
,
∴点C坐标为(2,1
),
∴1
4a﹣8a+2,
∴a
.
故答案是:
2;
.
4.(2020•和平区模拟)已知抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣1.
(Ⅰ)该抛物线的对称轴是x=2;
(Ⅱ)该抛物线与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,点A的坐标为(1,0),若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB<∠ACB,则点P的纵坐标n的取值范围是n>2
或n<﹣2
.
【点睛】(Ⅰ)抛物线的对称轴为:
x
2;
(Ⅱ)当点P在圆上时,∠APB=∠ACB,点P在圆外时,∠APB<∠ACB,即可求解.
【解析】解:
(Ⅰ)抛物线的对称轴为:
x
2,
故答案为:
2;
(Ⅱ)将点A的坐标代入抛物线表达式并解得:
a=1,
故抛物线的表达式为:
y=x2﹣4x+3,
则点A、B、C的坐标分别为:
(1,0)、(3,0)、(0,3),
过点A、B、C作△ABC的外接圆M(2,m),
当点P在圆上时,∠APB=∠ACB,点P在圆外时,∠APB<∠ACB,
则MA=MC,即4+(m﹣3)2=1+m2,解得:
m=2,
则圆的半径为:
,则点P的坐标为:
(2,2
),
则点P关于x轴的对称点P′(2,﹣2
),
故答案为:
n>2
或n<﹣2
.
5.(2020•张店区模拟)已知抛物线y=ax2﹣2ax+c(a<0)的图象过点A(3,m).
(1)当a=﹣1,m=0时,求抛物线的顶点坐标(1,4);
(2)如图,直线l:
y=kx+c(k<0)交抛物线于B,C两点,点Q(x,y)是抛物线上点B,C之间的一个动点,作QD⊥x轴交直线l于点D,作QE⊥y轴于点E,连接DE.设∠QED=β,当2≤x≤4时,β恰好满足30°≤β≤60°,a=
.
【点睛】
(1)利用待定系数法求得抛物线解析式,然后利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式,可以直接得到答案;
(2)将点Q(x,y)代入抛物线解析式得到:
y=ax2﹣2ax+c.结合一次函数解析式推知:
D(x,kx+c).则由两点间的距离公式知QD=ax2﹣2ax+c﹣(kx+c)=ax2﹣(2a+k)x.在Rt△QED中,由锐角三角函数的定义推知tanβ
ax﹣2a﹣k.所以tanβ随着x的增大而减小.结合已知条件列出方程组
,解该方程组即可求得a的值.
【解析】解:
(1)当a=﹣1,m=0时,y=﹣x2+2x+c,A点的坐标为(3,0),
∴﹣9+6+c=0.
解得c=3.
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3.
即y=﹣(x﹣1)2+4.
∴抛物线的顶点坐标为(1,4),
故答案为:
(1,4).
(2)∵点Q(x,y)在抛物线上,
∴y=ax2﹣2ax+c.
又∵QD⊥x轴交直线l:
y=kx+c(k<0)于点D,
∴D点的坐标为(x,kx+c).
又∵点Q是抛物线上点B,C之间的一个动点,
∴QD=ax2﹣2ax+c﹣(kx+c)=ax2﹣(2a+k)x.
∵QE=x,
∴在Rt△QED中,tanβ
ax﹣2a﹣k.
∴tanβ是关于x的一次函数,
∵a<0,
∴tanβ随着x的增大而减小.
又∵当2≤x≤4时,β恰好满足30°≤β≤60°,且tanβ随着β的增大而增大,
∴当x=2时,β=60°;当x=4时,β=30°.
∴
,
解得
,
故答案为:
.
6.(2020•柯桥区模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y
3与x轴交于点A、B(A在B左侧),与y轴交于点C,经过点A的射线AF与y轴正半轴相交于点E,与抛物线的另一个交点为F,
,点D是点C关于抛物线对称轴的对称点,点P是y轴上一点,且∠AFP=∠DAB,则点P的坐标是(0,6)或P(0,
).
【点睛】过点F作FM⊥x轴,垂足为M.设E(0,t),则OE=t,则F(6,4t),将点F的坐标代入抛物线的解析式可求得t的值,最后,依据cot∠FAB
的值;然后求得cot∠DAB
,则∠FAB=∠DAB.当点P在AF的上方时可证明PF∥AB,从而可求得点P的坐标;当点P在AF的下方时,设FP与x轴交点为G(m,0),则∠PFA=∠FAB,可得到FG=AG,从而可求得m的值,然后再求得PF的解析式,从而可得到点P的坐标.
【解析】解:
过点F作FM⊥x轴,垂足为M.
设E(0,t),则OE=t.
∵
,
∴
.
∴F(6,4t).
将点F(6,4t)代入y
x2
x﹣3得:
62
3×6﹣3=0,解得t
.
∴cot∠FAB
.
∵y
3
(x+2)(x﹣4).
∴A(﹣2,0),B(4,0).
易得抛物线的对称轴为x=1,C(0,﹣3).
∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点,
∴D(2,﹣3).
∴cot∠DAB
,
∴∠FAB=∠DAB.
如下图所示:
当点P在AF的上方时,∠PFA=∠DAB=∠FAB,
∴PF∥AB,
∴yP=yF=6.
由
(1)可知:
F(6,4t),t
.
∴F(6,6).
∴点P的坐标为(0,6).
当点P在AF的下方时,如下图所示:
设FP与x轴交点为G(m,0),则∠PFA=∠FAB,可得到FG=AG,
∴(6﹣m)2+62=(m+2)2,解得:
m
,
∴G(
,0).
设PF的解析式为y=kx+b,将点F和点G的坐标代入得:
,
解得:
k
,b
.
∴P(0,
).
综上所述,点P的坐标为(0,6)或P(0,
).
故答案是:
(0,6)或P(0,
).
7.(2020•金堂模拟)如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x﹣m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C、D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为﹣3,则点D的横坐标最大值为8.
【点睛】当C点横坐标最小时,抛物线顶点必为A(1,4),根据此时抛物线的对称轴,可判断出CD间的距离;
当D点横坐标最大时,抛物线顶点为B(4,4),再根据此时抛物线的对称轴及CD的长,可判断出D点横坐标最大值.
【解析】解:
当点C横坐标为﹣3时,抛物线顶点为A(1,4),对称轴为x=1,此时D点横坐标为5,则CD=8;
当抛物线顶点为B(4,4)时,抛物线对称轴为x=4,故C(0,0),D(8,0);
由于此时D点横坐标最大,
故点D的横坐标最大值为8;
故答案为:
8.
8.(2020•常州模拟)二次函数y
x2的图象如图所示,点A0位于坐标原点,点A1,A2,A3,…,A2013在y轴的正半轴上,点B1,B2,B3,…,B2013在二次函数y
x2位于第一象限的图象上,若△A0B1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,…,△A2012B2013A2013都为等边三角形,则△A2012B2013A2013的边长=2013.
【点睛】分别过B1,B2,B3作y轴的垂线,垂足分别为A、B、C,设A0A1=a,A1A2=b,A2A3=c,则AB1
a,BB2
b,CB3
,再根据所求正三角形的边长,分别表示B1,B2,B3的纵坐标,逐步代入抛物线y
x2中,求a、b、c的值,得出规律.
【解析】解:
分别过B1,B2,B3作y轴的垂线,垂足分别为A、B、C,
设A0A1=a,A1A2=b,A2A3=c,则AB1
a,BB2
b,CB3
c,
在正△A0B1A1中,B1(
a,
),
代入y
x2中,得
a2,解得a=1,即A0A1=1,
在正△A1B2A2中,B2(
b,1
),
代入y
x2中,得1
b2,解得b=2,即A1A2=2,
在正△A2B3A3中,B3(
c,3
),
代入y
x2中,得3
c)2,解得c=3,即A2A3=3,
…
依此类推由此可得△A2012B2013A2013的边长=2013,
故答案为:
2013.
9.(2020•成都模拟)如图,已知抛物线和x轴交于两点A、B,和y轴交于点C,已知A、B两点的横坐标分别为﹣1,4,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,则此抛物线顶点的坐标为(
,
).
【点睛】根据点A、B的横坐标求出OA、OB的长,再根据△AOC和△COB相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出OC的长度,然后写出点C的坐标,然后设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣4),把点C的坐标代入求出a的值,再整理成顶点式形式,然后写出顶点坐标即可.
【解析】解:
∵A、B两点的横坐标分别为﹣1,4,
∴OA=1,OB=4,
∵∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠ABC=90°,
∵CO⊥AB,
∴∠ABC+∠BCO=90°,
∴∠CAB=∠BCO,
又∵∠AOC=∠BOC=90°,
∴△AOC∽△COB,
∴
,
即
,
解得OC=2,
∴点C的坐标为(0,2),
∵A、B两点的横坐标分别为﹣1,4,
∴设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣4),
把点C的坐标代入得,a(0+1)(0﹣4)=2,
解得a
,
∴y
(x+1)(x﹣4)
(x2﹣3x﹣4)
(x
)2
,
∴此抛物线顶点的坐标为(
,
).
故答案为:
(
,
).
10.如图,二次函数y
的图象交x轴于点A,B(点A在点B的左侧),交y轴于点C.
(1)若在抛物线对称轴上存在一点P,使△ACP周长最小,则P点坐标为(2,
);
(2)现有一长为2的线段DE在直线y
上移动,且在移动过程中,线段DE上始终存在点P,使得三条线段PA,PB,PC能与某个等腰三角形的三条边对应相等.若线段DE左端点D的横坐标为t,则t的取值范围是
t≤2.
【点睛】
(1)先求出点A,点B,点C坐标,当点C,点P,点B三点共线时,△ACP周长最小,由待定系数法可求BC解析式,即可求点P坐标;
(2)分三种情况讨论,由两点距离公式和三角形三边关系可求解.
【解析】解:
(1)如图1,连接BP,
∵y
的图象交x轴于点A,B,交y轴于点C.
∴点A(1,0),点B(3,0),点C(0,
),对称轴为x=2,
∵点A,点B关于对称轴直线x=2对称,
∴AP=PB,
∵AP+CP+AC=PB+CP+AC,且AC是定值,
∴当点C,点P,点B三点共线时,△ACP周长最小,
设直线BC解析式为:
y=kx+b,
解得:
∴直线BC解析式为:
y
x
,
当x=2时,y
∴点P坐标(2,
),
故答案为:
(2,
);
(2)如图2,
∵线段DE上始终存在点P,使得三条线段PA,PB,PC能与某个等腰三角形的三条边对应相等,
∴PA=PB,或PB=PC,或PC=PA,
∵DE在直线y
上移动,
∴点P的纵坐标为
,
设点P(x,
),
若PA=PC,
∴(x)2+(
)2=(x﹣1)2+(
)2,
∴x
,
∴点P(
,
),
∴PA=PC=1,PC
,
∵PA+PB
∴不合题意舍去;
若PB=PC,
∴(x)2+(
)2=(x﹣3)2+(
)2,
∴x
∴∴点P(
,
),
∴PB=PC
,PA=1,
∵PA+PB>PC
∴PA,PB,PC能组成三角形;
若PA=PB,
∴(x﹣1)2+(
)2=(x﹣3)2+(
)2,
∴x=2,
∴点P(2,
),
∴PA=PB
,PC
,
∵PA+PB>PC,
∴PA,PB,PC能组成三角形;
∵点P在长为2的线段DE上,
∴线段DE左端点D的横坐标为t的取值范围为:
2≤t≤2,
∴线段DE左端点D的横坐标为t的取值范围为:
t≤2,
故答案为:
t≤2.
11.抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B(点A在点B的左边),点P在抛物线上.
(1)点C是x轴上一个动点,四边形ACPQ是正方形,则满足条件的点Q的坐标是(﹣1,﹣3)或(﹣1,5)或(2,3)或(4,﹣5);
(2)连结AP,以AP为一条对角线作平行四边形AMPN,使点M在以点(1,0),(0,1)为端点的线段上,则当点N的纵坐标取最小值时,N的坐标为(0,﹣5).
【点睛】
(1)先求出点A,点B坐标,设点C(x,0),由正方形的性质CA=CP=AQ=QP,可得|x+1|=x2﹣2x﹣3,可求点C坐标,即可求点Q坐标;
(2)设点M(m,﹣m+1),由平行四边形的性质可得AN=PM,AN∥MP,当AN⊥AB时,且在x轴下方上,点N的纵坐标有最小值,由二次函数的性质可求解.
【解析】解:
(1)令y=0,则0=x2﹣2x﹣3,
∴x1=3,x2=﹣1,
∴点A(﹣1,0),点B(3,0),
如图1,若AC为边,设点C(x,0),
∴CA=|x+1|
∵四边形ACPQ是正方形,
∴CA=CP=AQ=QP,∠QAC=90°,
∴|x+1|=|x2﹣2x﹣3|,
∴x+1=x2﹣2x﹣3或﹣x﹣1=x2﹣2x﹣3
∴x1=﹣1(不合题意舍去),x2=2,x3=4,
∴点C(2,0)或(4,0)
∴AC=AQ=3或5,
∴点Q(﹣1,﹣3)或(﹣1,5);
若AC为对角线,则AC的中点坐标为(
,0)
∴CA=|x+1|
∵正方形的对角线互相垂直平分且相等,
∴
|(
)2﹣2
3|,
∴
(
)2﹣2
3或
(
)2﹣2
3
∴x1=﹣1(不合题意舍去),x2=5,x3=9,
∴AC的中点坐标为(2,0),(4,0),
∴点Q坐标为(2,3)或(4,﹣5)
故答案为(﹣1,﹣3)或(﹣1,5)或(2,3)或(4,﹣5);
(2)∵四边形ANPM是平行四边形,
∴对角线互相平分,
∴yA+yP=yM+yN,
∴yN=0+x2﹣2x﹣3﹣yM,
∴当x2﹣2x﹣3取最小值,yM取最大值时,yN有最小值,
∵x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴当x=1时,x2﹣2x﹣3最小值=﹣4,点P(1,﹣4)
∵0≤yM≤1,
∴yM最大值=1
∴yN最小值=﹣4﹣1=﹣5.
∴故答案为:
(0,﹣5).
12.在平面直角坐标系xOy中抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a﹣1的顶点为点A
(1)写出抛物线的对称轴为直线x=1;
(2)若抛物线的顶点A在第一象限,直线y=﹣1与此抛物线交于B、C两点,当△ABC为等腰直角三角形,求出此抛物线的解析式;
(3)设直线y=﹣1关于x轴对称的直线为直线m当抛物线与直线m交于两点,两点间距离不小于6时,求a的取值范围.
【点睛】
(1)由抛物线的解析式,利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称轴;
(2)利用配方法可找出顶点A的坐标,代入y=﹣1可求出点B,C的横坐标,由等腰直角三角形的性质可得出关于a的一元一次方程,解之即可得出a的值,再将其代入抛物线解析式中即可得出结论;
(3)由
(2)可得出BC=3,进而可得出a<0不符合题意,当a>0时,由抛物线与直线m两交点的距离不小于6,可得出点(4,1)在抛物线内或抛物线上,再利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于a的一元一次不等式,解之即可得出结论.
【解析】解:
(1)抛物线的对称轴为直线x
1.
故答案为:
x=1.
(2)∵y=ax2﹣2ax﹣3a﹣1=a(x﹣1)2﹣4a﹣1,
∴顶点A的坐标为(1,﹣4a﹣1).
当y=﹣1时,有a(x﹣1)2﹣4a﹣1=﹣1,即(x﹣1)2=4,
解得:
x1=﹣1,x2=3,
∴点B的坐标为(﹣1,﹣1),点C的坐标为(3,﹣1).
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴﹣4a﹣1﹣(﹣1)
[3﹣(﹣1)],
∴a
,
∴当△ABC为等腰直角三角形,此抛物线的解析式为y
x2+x
.
(3)由
(2)可知BC=3,
∴当a<0时,不符合题意.
当a>0时,如图2所示.
∵抛物线与直线m交于两点,两点间距离不小于6,
∴a×42﹣2a×4﹣3a﹣1≤1,
解得:
a
,
∴0<a
,
∴当抛物线与直线m交于两点,两点间距离不小于6时,a的取值范围为0<a
.
13.已知抛物线C1:
y=﹣x2+2mx+1(m为常数,且m≠0)的顶点为A,与y轴交于点C;抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,其顶点为B.若点P是抛物线C1上的点,使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形,则m的值为±
.
【点睛】抛物线C1、C2关于y轴对称,那么它们的顶点A、B也关于y轴对称,所以AB∥x轴;若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形,那么CP也必须与x轴平行,即点C、P的纵坐标相同,代入抛物线C1的解析式中,就能确定点P的坐标,此时能发现AB=CP,即四边形APCB中,AB、CP平行且相等,即该四边形APCB是平行四边形,只要再满足AP=CP(即一组邻边相等),就能判定该四边形是菱形,因此先用m表达出AP、CP的长,再列等式求出m的值.
【解析】解:
由抛物线C1:
y=﹣x2+2mx+1知,点A(m,m2+1)、C(0,1);
∵抛物线C1、C2关于y轴对称,
∴点A、B关于y轴对称,则AB∥x轴,且B(﹣m,m2+1),AB=|﹣2m|;
若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形,则AB∥CP;
在抛物线C1:
y=﹣x2+2mx+1中,当y=1时,﹣x2+2mx+1=1,解得x1=0、x2=2m,
∴点P(2m,m2+1);
∴AB=CP=|2m|,又AB∥CP,则四边形APCB是平行四边形;
若四边形APCB是菱形,那么必须满足AP=CP,即:
(2m)2=(m﹣0)2+(m2+1﹣1)2,即:
m2=3,
解得m
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