平面向量知识点归纳及常考题型分析.docx
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平面向量知识点归纳及常考题型分析
平面向量知识点归纳及常考题型分析
【知识点回顾】
1、实数与向量的积的运算律:
设λ、μ为实数,那么
(1)结合律:
λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:
(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律:
λ(a+b)=λa+λb
2、向量的数量积的运算律:
(1)a·b=b·a(交换律);
(2)(a)·b=(a·b)=a·b=a·(b);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c
3、平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=
λ1e1+λ2e2.
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
4、向量共线(平行)的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b0,则a//b(b0)x1y2x2y10
5、a与b的数量积(或内积):
a·b=|a||b|cos
6、a·b的几何意义:
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.
7、平面向量的坐标运算
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1x2,y1y2)
(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1x2,y1y2)
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1)
(4)设a=(x,y),R,则a=(x,y)
(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=(x1x2y1y2)
(6)
8、两向量的夹角公式
abx1x2y1y2
cos(a=(x1,y1),b=(x2,y2))
|a||b|x12y12x22y22
9、平面两点间的距离公式
10、向量的平行与垂直:
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b0,则
a||bb=λax1y2x2y10
ab(a0)a·b=0x1x2y1y20
11、线段的定比分公式:
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)是线段P1P2的分点,是实数,且P1PPP2,则
12、三角形的重心坐标公式
13、点的平移公式
14、
1)点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(xh,yk)
(3)
C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x),则C的函数解析式为yf(xh)k
(4)
C:
f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C',则C'的方程为f(xh,yk)0
向量的概念和基本运算
例1、
(1)判断下列命题是否正确:
①若ab,则ab;②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同;
③若ABDC,则ABCD是平行四边形;④若ABCD是平行四边形,则ABDC;
⑤若ab,bc,则ac;⑥若a//b,b//c,则a//c。
2)关于平面向量a,b,c.有下列三个命题:
①若ab=ac,则bc.②若a(1,k),b(2,6),a∥b,则k3.
③非零向量a和b满足|a||b||ab|,则a与ab的夹角为60.
2)已知a(1,2),b(1,1),且a与ab的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.
例5、已知a(cosx,sinx),b(cosy,siny),a与b之间有关系式
akb,其中k0。
1)用k表示ab;
(2)求ab的最小值,并求此时a与b的夹角的大小。
定比分点及平移公式
唯一?
若唯一,求出a;若不唯一,求出模最小的向量。
1
例7、已知三点A(0,8),B(4,0),C(5,3),点D分AB所成的比为1,E为BC上的点且使BDE的面积是ABC的面
3
积的一半,求E的坐标.
四、平面向量综合题
例8、已知向量a=(3sinωx,cosωx),b=(cosωx,cosωx),其中ω>0,记函数f(x)=a·b,已知f(x)的最小正
周期为π.
(1)求ω;
π
(2)当0 3 M2(2,a2),⋯⋯,Mn(n,an) 1)求证: P1Pn(n>2且n∈N*)与P1P2共线; 2 2)若P1P2与M1M2的夹角是α,求证: |tanα|≤4 B.3C.1D.1 2b、3c、d首尾相连能构成四边形,其中 A.(5,-11)B.(-5,11)C.(-5,-11)D.(5,11) 3、设a(1,cos),b(2cos,1),且a//b,则的值为() 1 C3D 3 b15,a(3,4),则b为( 1 A3B 3 5、若a与b同向,且 D.(9,12)或(-9,-12) ) A.(9,12)B.(-9,12)C.(-9,12)或(9,-12) 6、已知b(3,1),c(2,1),若a//c,则ab的最小值为( A5B5C5D5 7、设A(1,1),B(4,5),A、B、C三点共线,BA1AC,则C点坐标为() 3 A(16,-19)B(14,-17)C(16,-19)或(-14,17)D(16,-19)或(14,-17) 8、下列命题中真命题的个数为() ①abcbac;②ac(ab)ca(bc);③ac,bc(ab)c;④若a,b,c互不共线,则a//(bc),b//(ac)c//(ab) A0B1C2D3 9、△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2,b6,B120,则a等于A.6 B.2C.3D.2 10、已知OA(1,2),OB(3,m),若OAOB,则m. 11、已知平面向量a(2,4),b(1,2).若ca(ab)b,则|c|。 12、a,b的夹角为120,a1,b3则5ab。 13、在△ABC中,三个角A,B,C的对边边长分别为a3,b4,c6,则bccosAcacosBabcosC的值为 14、在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若3bccosAacosC,则cosA 15、已知点P1(2,1),P2(4,3),求下列情况下,点P分有向线段P1P2所成的比及点P的坐标: 18、已知平面向量a(3,1),b(1,3)。 22 1)证明: ab; (2)若存在不同时为零的实数k和t,使xa(t23)b,ykatb,且xy,试求函数关系 式kf(t);(3)根据 (2)的结论,确定函数kf(t)的单调区间。
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