生活中的优化问题举例》优质课教学课件.pptx
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,欢迎各位学生,感谢您的到来,走进生活,感受数学,右面是某品牌饮料的三种规格不同的产品,若它们的价格如下表所示,则
(1)对消费者而言,选择哪一种更合算呢?
(2)对制造商而言,哪一种的利润更大?
走进生活,感受数学,某种圆柱形的饮料罐的容积为定值V时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?
走进生活,感受数学,低碳生活节能环保势在必行现实生活中,当汽车行驶路程一定时,如何使汽油的使用效率最高?
概念呈现引入课题,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.,如何解决生活中的优化问题?
1.4生活中的优化问题举例
(1),内黄县第一中学:
王凯法,2017-06-22,课题呈现突出重点,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.,如何解决生活中的优化问题?
用导数解决问题,直击热点解决问题,学校进行宣传环保海报比赛,要求版心面积128dm2左右边距1dm上下边距2dm,请问你将如何设计?
问题提炼转化问题,海报版面尺寸的设计现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm,如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?
x,图1.4-1,分析:
已知版心的面积,你会如何建立函数关系表示海报四周的面积呢?
解:
设版心的高为xdm,则版心的宽为128dm,此时四周空白面积为,你还有其他方法求这个最值吗?
128,S(x)(x4)(,x,2x,8,x0,x512x,2)128512x2,求导数,得S(x)2,0,令S(x)2,解得:
x16,x,1(6舍),8,512x2128128x16,于是宽为:
当x0,16时,sx0;当x16,时,sx0.,因此,x=16是函数S(x)的极小值,也是最小值点。
所以,当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四周空白面积最小。
(0,16),x,(16,),S(x),S(x),16,0,极小值,解法二:
由解法
(一)得,8,S(x)2x,822x,512x,512x232872,16(x,0)时S取最小值,当且仅当2x512,即xx此时y=128816,答:
使用版心宽为8dm,长为16dm时,四周空白面积最小。
思考生活提出问题,你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?
你想从数学上知道它的道理吗?
是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
背景链接解决问题,某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本是0.8r2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出售1ml的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm,瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?
瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?
rf(r)f(r),(0,2)-减函数,(2,6+增函数,20-1.07,解:
由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是,当半径r时,f(r)0它表示f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;,单调递减,,当半径r时,f(r)0它表示f(r)即半径越大,利润越低
(1).半径为cm时,利润最小,这时,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值().半径为cm时,利润最大。
f
(2)0,1.4,4)上观察,你有什么发现?
换一个角度:
如果我们不用导数工具,直接从函数的图象(图,f3,饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等;当r3时,利润才为正值.,0,即瓶子半径是3cm时,3时,从图象上容易看出,当r,当r0,2时,fr是减函数,你能解释它的实际意义吗?
o,r,y,2,3,图1.4-4,回到生活解决问题,某种圆柱形的饮料罐的容积为定值V时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?
R,h,某种圆柱形的饮料罐的容积为定值V时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?
解:
设圆柱的高为h,底面半径为R.,.,2Rh2R2则hV,则表面积为S(R),2R2,R2,S(R)2R,2,2R.,R22VR,R2,由S(R),2,3,R.,4R0.解得,3,2,V2,VR2,即h=2R.,可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.答:
罐高与底的直径相等时,所用材料最省.,又V(R2h定值,V,变式:
当圆柱2V形金属饮料罐的表面积为V定值S时,,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用材料,从最而省?
h,自我挑战学以致用,一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少?
课堂小结知识打包,由上述例子,我们不难发现,解决优化问题的基本思路是:
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。
优化问题,用函数表示的数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,解决优化问题的一般步骤:
审题:
阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系;建模:
将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;解模:
把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解;对结果进行验证评估,定性定量分析,做出正确的判断,确定其答案。
注意:
实际应用中,准确地列出函数解析式并确定函数的定义域是关键。
课后作业巩固知识,A组2,5,6,必做题:
习题1.选做题:
一条水渠,断面为等腰梯形,如图所示,在确定断面尺寸时,希望在断面ABCD的面积为定值S时,使得湿周l=AB+BC+CD最小,这样可使水流阻力小,渗透少,求此时的高h和下底边长b.,
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