《离散数学》题库及答案.docx
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《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库答案
一、选择或填空
(数理逻辑部分)
1、下列哪些公式为永真蕴含式?
()
(1)-Q=>Q>P
(2)—Q二Q⑶P=>P—Q(4)-P(PQ)=>-P
答:
(1),(4)
2、下列公式中哪些是永真式?
()
(1)(nPQ)—(Q—-R)
(2)P—(Q—Q)⑶(PQ)—P(4)P—(PQ)
答:
(2),(3),(4)
3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式?
()
(1)P=>PQ⑵PQ=>P⑶PQ=>PQ
⑷P(P—Q)=>Q(5)-(P—Q)=>P(6)-P(PQ)=>-P
答:
(2),(3),(4),(5),(6)
4、公式-x((A(x)>B(y,x))zC(y,z))>D(x)中,自由变元是(),
约束变元是()。
答:
x,y,x,z
5、判断下列语句是不是命题。
若是,给出命题的真值。
()
(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2)陕西师大是一座工厂。
⑶
你喜欢唱歌吗?
(4)
若7+8>18,则三角形有4条边
(5)
前进!
(6)
给我一杯水吧!
答:
(1)是,T
(2)
是,F
(3)不是
(4)是,T(5)
不是
(6)不是
6、命题“存在一些人是大学生”的否定是(),而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。
答:
所有人都不是大学生,有些人不会死
7、设P:
我生病,Q:
我去学校,则下列命题可符号化为()。
(1)只有在生病时,我才不去学校
(2)若我生病,则我不去学校
(3)当且仅当我生病时,我才不去学校(4)若我不生病,则我一定去学校
答:
8、
设个体域为整数集,则下列公式的意义是()
(1)-Q)P
(2)P—;Q(3)P,-Q(4)一P>Q
(1)-xy(x+y=0)
(2)y-x(x+y=0)
答:
9、
(1)对任一整数x存在整数y满足x+y=0
(2)存在整数y对任一整数设全体域D是正整数集合,确定下列命题的真值:
x满足x+y=0
(1)-xy(xy=y)
)
(2)x-y(x+y二y)
(3)x-y(x+y=x)(
)(4)-xy(y=2x)
答:
(1)F
(2)F(3)F
(4)T
10、设谓词P(x):
x是奇数,
Q(x):
x是偶数,
谓词公式
x(P(x)Q(x))
在哪个个体域中为真?
()
(1)
自然数
(2)实数
⑶复数⑷
(1)--(3)
均成立
答:
(1)
11、
命题“2是偶数或-3是负数”的否定是(
答:
2不是偶数且-3不是负数。
12、
永真式的否定是(
(1)
永真式
(2)永假式(3)可满足式⑷
(1)--(3)
均有可能
答:
13、公式)化简为(),公式Qt(Pm(PaQ))可化简
为()。
答:
-P,Q>P
14、谓词公式-x(P(x)yR(y))>Q(x)中量词-x的辖域是()。
答:
P(x)yR(y)
15、令R(x):
x是实数,Q(x):
x是有理数。
则命题“并非每个实数都是有理
数”的符号化表示为(
答:
—-x(R(x)>Q(x))
(集合论部分)
16、设A二{a,{a}},下列命题错误的是()。
(1){a}P(A)
(2){a}P(A)(3){{a}}P(A)(4){{a}}P(A)
答:
(2)
17、在0()门之间写上正确的符号。
(1)=
(2)(3)(4)
答:
⑷
18、若集合S的基数|S|=5,则S的幕集的基数|P(S)|=()。
答:
32
19、设P={x|(x+1)2乞4且xR},Q={x|5 确() (1)QP (2)QP(3)PQ⑷P=Q 答: (3) 20、下列各集合中,哪几个分别相等()。 (1)A1={a,b} (2)A2={b,a}(3)A3={a,b,a}(4)A4={a,b,c} 2 (5)A5={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0}(6)A6={x|x-(a+b)x+ab=0} 答: A1=A2=A3=A,A4=A5 21、若A-B=①,则下列哪个结论不可能正确? () (1)A=① (2)B=①(3)AB⑷BA 答: (4) 22、判断下列命题哪个为真? () (1)A-B=B-A=>A=B (2)空集是任何集合的真子集 ⑶空集只是非空集合的子集(4)若A的一个元素属于B,则A=B 答: (1) 23、判断下列命题哪几个为正确? () (1){①}€{①,{{①}}}⑵{①}{①,{{①}}}(3)X{{①}} ⑷ ①{①}(5){a,b} €{a,b,{a},{b}} 答: (2),(4) 24、 判断卜列命题哪几个止确? ( ) (1) 所有空集都不相等 ⑵{①八①⑷ 若A为非空集,则AA成立。 答: (2) 25、设AAB=AHC,AAB=AAC,贝SB()C。 答: =(等于) 26、判断下列命题哪几个正确? () (1)若AUB=AUC,则B=C (2){a,b}={b,a} (3)P(AAB)=P(A)AP(B)(P(S)表示S的幕集) (4)若A为非空集,则A=AUA成立。 答: (2) 27、A,E,C是三个集合,则下列哪几个推理正确: (1)AB,BC=>AC (2)AB,BC=>A€B(3)A€B,B€C=>A€C 答: (1) (二元关系部分) 28、设A={1,2,3,4,5,6},B二{1,2,3},从A至UB的关系R={〈x,y〉x=y2}, 求 (1)R (2)R-1。 答: (1)R={<1,1>,<4,2>} (2)R4={<1,1>,<2,4>} 29、举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。 () 答: A上的恒等关系 30、集合A上的等价关系的三个性质是什么? () 答: 自反性、对称性和传递性 31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么? () 答: 自反性、反对称性和传递性 32、设S={1,2,3,4},A上的关系只={〈1,2>,〈2,1>,〈2,3>,〈3,4〉求 (1)RR (2)R-1。 答: RR={〈1,1>,〈1,3>,〈2,2>,〈2,4>} R1={〈2,1>,〈1,2>,〈3,2>,〈4,3>} 33、设A={1,2,3,4,5,6},R是A上的整除关系,求R={()}。 答: R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>, <1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>} 34、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A至UB的关系R={ 1 求 (1)R (2)R-。 答: (1)R={<1,1>,<4,2>,<6,3>} (2)R」={<1,1>,<2,4>,(36>} 35、设A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},从A至UB的关系R={ 求R和R1的关系矩阵。 答: R的关系矩阵= 的关系矩阵 _1 =0 ■0 01 0 0 36、集合A二{1,2,…,10}上的关系R二{ (1)自反的 (2)对称的(3)传递的,对称的(4)传递的 答: (2) (代数结构部分) 37、设A二{2,4,6},A上的二元运算*定义为: a*b=max{a,b},则在独异点中,单位元是(),零元是()。 答: 2,6 38、设A={3,6,9},A上的二元运算*定义为: a*b=min{a,b},则在独异点 <A,*>中,单位元是(),零元是(); 答: 9,3 (半群与群部分) 39、设〈G,*〉是一个群,则 (1)若a,b,x€G,ax=b,则x=(); ⑵ 答: 若a,b,x€G,ax二ab,贝Ux=()。 (1)aJb (2)b 40、设a是12阶群的生成元,则a是()阶元素,a是()阶元素 答: 6,4 41、代数系统<G,*>是一个群,则G的等幕元是()。 答: 单位元 42、设a是10阶群的生成元,则a4是()阶元素,a3是()阶元素 答: 5,10 43、群<G,*>的等幕元是(),有()个。 答: 单位元,1 44、素数阶群一定是()群,它的生成元是()。 答: 循环群,任一非单位元 45、设〈G,*〉是一个群,a,b,c€G,则 (1)若ca二b,则c=(); (2)若ca二ba,则c=() 答: (1)ba,⑵b 46、<H,,是<G,,的子群的充分必要条件是() 答: <H,,>是群或-a,bG,abH,a1H或-a,bGab-1H 47、群vA,*>的等幕元有()个,是(),零元有()个 答: 1,单位元,0 48、在一个群〈G,*〉中,若G中的元素a的阶是k,则a1的阶是() 答: k 49、在自然数集N上,下列哪种运算是可结合的? ( (1)a*b=a-b (2)a*b=max{a,b}(3)a*b=a+2b⑷a*b=|a-b| 答: (2) 50、任意一个具有2个或以上元的半群,它()。 (1)不可能是群 (2)不一定是群 (3)一定是群(4)是交换群 答: (1) 51、 6阶有限群的任何子群一定不是( )。 (1)2阶 (2)3阶(3)4阶 (4)6阶 答: (3) (格与布尔代数部分) 52、 下列哪个偏序集构成有界格() (1) (N,乞) (2)(乙一) ⑶ ({2,3,4,6,12},|(整除关系)) (4)(P(A),) 答: (4) 53、 有限布尔代数的兀素的个数一定等于( )。 (1) 偶数 (2)奇数(3)4的倍数 (4)2的正整数次幕 答: (4) (图论部分) 54、设G是一个哈密尔顿图,则G一定是()。 (1)欧拉图 (2)树(3)平面图(4)连通图 答: ⑷ 55、下面给出的集合中,哪一个是前缀码? () (1){0,10,110,101111} (2){01,001,000,1} ⑶{b,c,aa,ab,aba}⑷{1,11,101,001,0011} 答: (2) 56、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中()的路。 答: 所有结点一次且恰好一次 57、在有向图中,结点v的出度deg+(v)表示(),入度deg(v)表示() 答: 以V为起点的边的条数,以V为终点的边的条数 58、设G是一棵树,则G的生成树有()棵。 (1)0 (2)1(3)2(4)不能确定 答: 1 59、n阶无向完全图Kn的边数是(),每个结点的度数是()答: 叫日,n-1 2 60、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是()。 答: m=n-1 61、一个图的欧拉回路是一条通过图中()的回路。 答: 所有边一次且恰好一次 62、有n个结点的树,其结点度数之和是()。 答: 2n-2 63、下面给出的集合中,哪一个不是前缀码()。 001,000,1} 11,101,002,0011} ),每个结点的度数是() (1){a,ab,110,a1b11} (2){01 ⑶{1,2,00,01,0210}⑷{12 答: (1) 64、n个结点的有向完全图边数是( 答: n(n-1),2n-2 65、一个无向图有生成树的充分必要条件是() 答: 它是连通图 66、设G是一棵树,n,m分别表示顶点数和边数,则 (1)n=m (2)m=n+1(3)n=m+1(4)不能确定。 答: (3) 67、设T= 答: 2 68、任何连通无向图G至少有()棵生成树,当且仅当G是(),G的生成树只有一棵。 答: 1,树 69、设G是有n个结点m条边的连通平面图,且有k个面,则k等于: (1)m-n+2 (2)n-m-2⑶n+m-2⑷m+n+2。 答: (1) 70、设T是--棵树,则T是一-个连通且()图。 答: 无简单回路 71、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2,则图G有()个顶点。 (1)10 (2)4(3)8(4)16 答: (4) 72、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3,则图G有()个顶点。 (1)10 (2)4(3)8(4)12 答: ⑷ 73、设图G= 则G是有向图还是无向图? 答: 有向图 74、任一有向图中,度数为奇数的结点有()个。 答: 偶数 75、具有6个顶点,12条边的连通简单平面图中,每个面都是由()条边围成? (1)2⑵4(3)3⑷5 答: (3) 76、在有n个顶点的连通图中,其边数()。 (1)最多有n-1条 (2)至少有n-1条 (3)最多有n条(4)至少有n条 答: (2) 77、一棵树有2个2度顶点,1个3度顶点,3个4度顶点,则其1度顶点为()。 (1)5 (2)7(3)8⑷9 答: (4) 78、若一棵完全二元(叉)树有2n-1个顶点,则它()片树叶。 (1)n (2)2n(3)n-1⑷2 答: (1) 79、下列哪一种图不一定是树()。 (1)无简单回路的连通图 (2)有n个顶点n-1条边的连通图 (3)每对顶点间都有通路的图(4)连通但删去一条边便不连通的图 答: (3) 80、连通图G是一棵树当且仅当G中()。 (1)有些边是割边 (2)每条边都是割边 (3)所有边都不是割边(4)图中存在一条欧拉路径 答: (2) (数理逻辑部分) 二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式: 1、(P—Q)R 解: (P—Q)R=(-卩Q)R 二(—PR)(QR)(析取范式) =(一P(Q一Q)R)((_PP)QR) 二(-PQR)(-P-QR)(-PQR)(PQR) =(—PQR)(—P-QR)(PQR)(主析取范式) -((P—Q)R)u(-P-Q-R)(-PQ-R)(P_QR) (PQ_R)(P_Q_R)(原公式否定的主析取范式) (P—Q)R: 二(PQR)(P_QR)(_PQ_R) (―P-QR)(一PQR)(主合取范式) 2、(PR)(QR)-P 解: (PR)(QR)-P(析取范式) =(P(Q-Q)R)((P-P)QR)(-P(Q-Q)(R-R)) 二(PQR)(P.■QR)(PQR)(_PQR) (—PQR)(—PQ-R)(一卩—QR)(一卩-Q-R) (PQR)(P-QR)(一PQR)(一PQ-R) (—P-QR)(一卩-Q-R)(主析取范式) -((PR)(QR)-P) =(P-Q-R)(PQ-R)(原公式否定的主析取范式) (PR)(QR)-P二(一PQR)(-P-QR)(主合取范式) 3、(-P—Q)(RP) 解: (-P—Q)(RP) 二(PQ)(RP)(合取范式) 二(PQ(R-R))(P(Q-Q))R) =(PQR)(PQ_R)(PQR)(P-QR) =(PQR)(PQ-R)(P-QR)(主合取范式) 一((一P—Q)(RP)) 二(P一Q一R)(一PQR)(一P_QR)(一PQ-R) (-P-Q-R)(原公式否定的主合取范式) (一P—Q)(RP) =(一PQR)(P-Q-R)(PQ-R)(P_QR)(PQR) (主析取范式) 4、C—(P—R) 解: CH(P-R) =-QP-R(主合取范式) -(CH(P-R)) : =(—P-Q-R)(一P-QR)(一PQ-R)(一PQR) (P-QR)(PQ-R)(PQR)(原公式否定的主合取范式) Qh(P-R) (PQR)(PQ-R)(P-QR)(P-Q-R)(一PQ-R) (—P—QR)(—P-Q-R)(主析取范式) 5、Ph(P(QhP)) 解: Ph(P(QhP)) 一P(P(-QP)) =一PP =T(主合取范式) =(—P-Q)(一PQ)(P-Q)(PQ)(主析取范式) 6、-(PhQ)(RP) 解: —(PHQ)(Rp)二—(—pQ)(RP) =(P-Q)(RP)(析取范式) =(P_Q(R一R))(P(一QQ)R) (P_QR)(P_Q_R)(P_QR)(PQR) 二(P-QR)(P-Q-R)(PQR)(主析取范式) 一(一(PhQ)(RP))=(PQ-R)(一PQR)(-P-QR) (-P-Q-R)(-PQ-R)(原公式否定的主析取范式) -(PHQ)(RP)u(―P-QR)(P—Q-R)(PQ-R) (PQR)(P-QR)(主合取范式) 7、P(PhQ) 解: P(PHQ)=P(―PQ)二(P-P)Q =T(主合取范式) =(一卩—Q)(一卩Q)(P—Q)(PQ)(主析取范式) &(RhQ)P 解: (R-Q)Pu(—RQ)P =(—RP)(QP)(析取范式) u(-R(Q-Q)P)((-RR)QP) 二(-RQP)(-R_QP)(-RQP)(RQP) =(PQ—R)(P-Q-R)(PQR)(主析取范式) -((R—Q)P): =(-P-Q-R)(-PQ-R)(P-QR) (-PQR)(-P-QR)(原公式否定的主析取范式) (R—Q)P: =(PQR)(P_QR)(_PQ-R) (P-Q-R)(PQ-R)(主合取范式) 9、P—Q 解: p—Q二-PQ(主合取范式) =(—P(Q-Q))((-PP)Q) : =(一PQ)(一P-Q)(一PQ)(PQ) =(—PQ)(—P-Q)(PQ)(主析取范式) 10、p-q 解: P-Q(主合取范式) 二(P(-QQ))((-pP)-q =(P-Q)(PQ)(-P-Q)(P-Q =(P-Q)(PQ)(—P-Q)(主析取范式) 11、pq 解: PQ(主析取范式)=(P(Q-Q))((P-P)Q) =(P-Q)(PQ)(PQ)(—PQ) =(P-Q)(PQ)(—PQ)(主合取范式) 12、(PR)>Q 解: (PR)>Q =一(PR)Q =(—P一R)Q =(—PQ)(—RQ)(合取范式) =(一PQ(R_R))((一PP)Q-R) 核聂PJOM (竿耶迪呂)Ad)V(Q^Ad)V(dAd^)V(QAd^)戸 ((3」VQ)Ad)V((dvQ)Ad^)戸(①八。 」)((沖0)7: 搦 ((占」V。 」))V((占“。 )-d)、|^(竿耶迪呂王)(3列0」Ad」)u(3列D■-人d)v(daQad)二 (d八0」Ad^)V(^JAOAd)V(^JAQAd)v(dAO^d)二 (dAOA(d」vd))V(dA(O! _vO)Ad)= (WW)(^JA0-)V(^JAd)吕(A(o-vd)« dA(OAd■-)>-二 3■07(竿耶迪出王)(3^0>_Vd-)A (dv0vd」)八(3、3d)人(3」VQ|-vd)A(3V。 」Vd) (m」"d」)a (dWd」)A(3MD」Vd)A(占d)人(3」vQ,_Vd)A(dvQ^Vd)二 (dv(O^AQ)v(d^Ad))人((3」人3)7。 」Vd)二 (竿耶迪出)3巩(O1-vd)- 3A(0W)」二 3■©7•<占■(0-d)f (竿耶迪出王)(d^OVJ^)A (3」VQvd^)A(dVQvd)A(dvOvd)A(d^VOVd)戸 0■(dAd) (占」入。 」人d)v(占人0」Ad)v(B八0人d)M(占■-人0」八d」)v(3八0」人d」)- 0-&JAd)-(竿耶迪呂王)(d-AOAd)v(d-A0Ad-)v(dAOAd-)- (d-AOAd)v(d^A0Ad>-)v(d^A0Ad^)v(dA0Ad^)= (d-A0Ad)v(d^A0Ad--)v(d^A0Ad^)v(dA0Ad^)- : =(一PQ(R-R))(-P(Q-Q)R)(P一Q(R-R)) (P(Q-Q)-R) : =(—PQR)(一PQ-R)(一PQR)(一P-QR) (P_QR)(P-Q-R)(PQ-R)(P一Q-R) : =(—PQR)(-PQ-R)(一P_QR)(P_QR)
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