四升五培优数学暑假班讲义.docx
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四升五培优数学暑假班讲义
汉中睿智教育
四年级培优数学
2014暑假班
汉中睿智教育
第1讲算式谜
专题简析:
解决算式谜题,关键是找准突破口,推理时应注意以下几点:
1.认真分析算式中所包含的数量关系,找出隐蔽条件,选择有特征的部分作出局部判断;
2.利用列举和筛选相结合的方法,逐步排除不合理的数字;
3.试验时,应借助估值的方法,以缩小所求数字的取值范围,达到快速而准确的目的;
4.算式谜解出后,要验算一遍。
例1:
在下面的方框中填上合适的数字。
□76
×□□
18□□
□□□□
31□□0
分析:
由积的末尾是0,可推出第二个因数的个位是5;由第二个因数的个位是5,并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑,可推出第一人个因数的百位是3;由第一个因数为376与积为31□□0,可推出第二个因数的十数上是8。
题中别的数字就容易填了。
练习一
在□里填上适当的数。
(1)6□
(2)□2□□(3)285
×35×□6×□□
33□□□041□2□
1□8□□70□□□
□□□□□□□□□□9□□
例2:
在下面方框中填上适合的数字。
分析:
由商的十位是1,以及1与除数的乘积的最高位是1可推知除数的十位是1。
由第一次除后余下的数是1,可推知被除数的十位只可能是7、8、9。
如果是7,除数的个位是0,那么最后必有余数;如果被除数是8,除数的个位就是1,也不能除尽;只有当被除数的十位是9时,除数的个位是2时,商的个位为6,正好除尽。
完整的竖式是:
练习二
在□内填入适当的数字,使下列除法竖式成立。
例3:
下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字?
abcd
×9
dcba
分析:
因为四位数abcd乘9的积是四位数,可知a是1;d和9相乘的积的个位是1,可知d只能是9;因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位,所以b只能是0(1已经用过);再由b=0,可推知c=8。
练习三
求下列各题中每个汉字所代表的数字。
(1)1华罗庚金杯
×3华=罗=庚=
华罗庚金杯1金=杯=
(2)盼望祖国早日统一
×一盼=望=祖=国=
盼盼盼盼盼盼盼盼盼早=日=统=一=
例4:
在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“+、-”两种运算符号,使其结果等于100(数字的顺序不能改变)。
123456789=100
分析:
先凑出与100比较接近的数,再根据需要把相邻的几个数组成一个数。
比如:
123与100比较接近,所以把前三个数字组成123,后面的数字凑出23就行。
因为45与67相差22,8与9相差1,所以得到一种解法:
123+45-67+8-9=100
再比如:
89与100比较接近,78与67正好相差11,所此可得另一种解法:
123+45-67+8-9=100
练习四
(1)一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方,使其结果等于100(数字的顺序不能改变)。
123456789=100
(2)添上适当的运算符号和括号,使下列等式成立。
12345=100
例5:
在下面的式子里添上括号,使等式成立。
7×9+12÷3-2=23
分析:
采用逆推法,从最后一步运算开始考虑。
假如最后一步是用前面计算的结果减2,那么前面式子的运算结果应等25,又因为25×3=75,而前面7×9+12又正好等于75,所以,应给前面两步运算加括号。
(7×9+12)÷3-2=23
练习五
在下面的式子里添上括号,使等式成立。
88+33-11÷11×2=5
第2讲变化规律
例1:
两数相减,被减数减少8,要使差减少12,减数应有什么变化?
分析与解答:
被减数减少8,假如减数不变,差也减少8;现在要使差减少12,减数应增加12-8=4。
练习一
1、两数相减,如果被减数增加20,要使差减少12,减数应有什么变化?
2、两数相减,减数减少9,要使差增加16,被减数应有什么变化?
例2:
两个数相除,商是8,余数是20,如果被除数和除数同时扩大10倍,商是多少?
余数是多少?
分析与解答:
两数相除,被除数和除数同时扩大相同的倍数,商不变,余数扩大相同的倍数。
所以商是8,余数是20×10=200。
练习二
1、两个数相除,商是9,余数是3。
如果被除数和除数同时扩大120倍,商是多少?
余数是多少?
2、两个数相除,商是8,余数是600。
如果被除数和除数同时缩小100倍,商是多少?
余数是多少?
例3:
两数相乘,积是48。
如果一个因数扩大2倍,另一个因数缩小3倍,那么积是多少?
分析与解答:
一个因数扩大2倍,积扩大2倍;另一个因数缩小3倍,积缩小3倍。
所以最后的积是48×2÷3=32。
练习三
1、两数相除,商是19。
如果被除数扩大20倍,除数缩小4倍,那么商是多少?
2、两数相除,商是27。
如果被除数扩大12倍,除数扩大6倍,那么商是多少?
例4:
小华在计算两个数相加时,把一个加数个位上的1错误地写成7,把另一个加数十位上的3错误地写成8,所得的和是1996。
原来两个数相加的正确答案是多少?
分析与解答:
根据题意,一个加数个位上的1被写成了7,这样错写一个加数比原来增加了6;另一个加数十位上的3写成8,增加了50。
这样,所得的结果就比原来增加了6+50=56。
所以,原来两数相加的正确答案是:
1996-(6+56)=1940。
练习四
1、小强在计算加法时,把一个加数十位上的7错写成1,把个位上的8错写成0,所得的和是285。
正确的和是多少?
2、小亮在计算加法时,把一个加数个位上的5错写成3,把另一个加数十位上的3错写成8,所得的和是650。
正确的和是多少?
例5:
王霞在计算题时,由于粗心大意,把被减数个位上的3错写成5,把十位上的6错写成0,这样算得差是189。
正确的差是多少?
分析与解答:
根据题意,被减数个位上的3写成5,因此增加了2;十位上的6写成0,因此减少60。
这样错写的被减数比原来减少了60-2=58。
因为减数不变,根据差的变化规律,正确的差要比错误的差多50。
正确的差是:
189+58=247。
练习五
1、小刚在做题时,把减数个位上的9错写成6,把十位上的3错写成8,这样算得的差是268。
正确的差是多少?
2、小红在做题时,把被减数十位上的0错写成8,把减数个位上的8错写成3,这样算得的差是632。
正确的差是多少?
第3讲较复杂的和差倍问题
专题简析:
前面我们学习了和倍、差倍、和差三种应用题,有的题目需要通过转化而成为和倍、差倍、和差问题,这类问题叫做复杂的和差倍问题。
解答较复杂的和差倍问题,需要我们从整体上把握住问题的本质,将题目进行合理的转化,从而将较复杂的问题转化为一般和倍、差倍、和差应用题来解决。
例1:
两箱茶叶共重96千克,如果从甲箱取出12千克放入乙箱,那么乙箱的千克数是甲箱的3倍。
两箱原来各有茶叶多少千克?
分析与解答:
由“两箱茶叶共重96千克,如果从甲箱取出12千克放入乙箱,那么乙箱的千克数是甲箱的3倍”可求出现在甲箱中有茶叶96÷(1+3)=24千克。
由此可求出甲箱原来有茶叶24+12=36千克,乙箱原来有茶叶96-36=60千克。
练习一
1、甲、乙两人共储蓄2000元,甲取出160元,乙又存入240元,这时甲储蓄的钱数比乙的2倍少20元。
甲、乙两人原来各储蓄多少元?
2、某畜牧场共有绵羊和山羊3561只,后来卖了60只绵羊,又买来山羊100只,现在绵羊的只数比山羊的2倍多1只。
原来绵羊和山羊各有多少只?
例2:
甲、乙、丙三个同学做数学题,已知甲比乙多做5道,丙做的是甲的2倍,比乙多做20道。
他们一共做了多少道数学题?
分析与解答:
甲比乙多5道,丙比乙多20道,丙做的是甲的2倍,因此,20-5=15道是丙的一半,也就是甲做的道数。
丙做了15×2=30道,乙做了15-5=10道。
他们共做了:
(20-5)×(1+2)+[(20-5)-5]=55道。
练习二
1、甲、乙、丙三个人合做一批零件,甲比乙多做12个,丙做的比甲的2倍少20个,比乙做的多38个。
这批零件共有多少个?
2、果园里的苹果树是桃树的3倍,管理员每天能给25棵苹果树和15棵桃树洒农药。
几天后,当桃树喷完农药时,苹果树还有140棵没有喷药。
果园里共有多少棵树?
例3:
某工厂一、二、三车间共有工人280人,第一车间比第二车间多10人,第二车间比第三车间多15人。
三个车间各有工人多少人?
分析与解答:
这是多量的和差问题,解题的时候确定的标准不同,解法也就不同。
如果以第二车间的人数为标准,第一车间减少10人,第三车间增加15人,那么280-10+15=285人是第二车间人数的3倍,由此可以求出第二车间有285÷3=95人,第一车间有95+10=105人,第三车间有95-15=80人。
练习三
1、一个三层柜台共放皮鞋120双,第一层比第二层多放4双,第二层比第三层多7双,三层各多皮鞋多少双?
2、四个数的和是152,第一个数比第二个数多16,比第三个数多20,比第四个数少12。
第一个数和第四个数是多少?
例4:
两个数相除,商是4,被除数、除数、商的和是124。
被除数和除数各是多少?
分析与解答:
从124里去掉商,是124-4=120,它是除数的1+4=5倍,除数是120÷5=24,被除数是24×4=94。
练习四
1、两个数相除,商是5,余数是7,被除数、除数、商、余数的和是187,求被除数。
2、两个数相除,商是17,余数是8,被除数、除数、商和余数的和是501,求被除数和除数是多少。
例5:
甲的存款是乙的4倍,如果甲取出110元,乙存入110元,那么乙的存款是甲的3倍。
甲、乙原来各有存款多少元?
分析与解答:
由“乙存入110元,甲取出110元”,可知乙存入110元后相当于甲存款数的3倍,取出110×3=330元;而由甲的存款是乙的4倍,可知甲原有存款的3倍相当于乙原有存款的4×3=12倍,乙现在存入110元后相当于甲原有的12倍,取110×3=330元,所以,330+110=440元,相当于乙原有的12-1=11倍。
所以,乙原有存款440÷11=40元,甲原有存款40×4=160元。
练习五
1、刘叔叔的存款是李叔叔的6倍,如果刘叔叔取出1100元,李叔叔存入1100元,那么刘叔叔的存款是李叔叔的2倍。
刘叔叔和李叔叔原来各有存款多少元?
2、有大、中、小三筐菠萝,小筐装的是中筐的一半,中筐比大筐少装16千克,大筐装的是小筐的4倍。
大、中、小三筐各装菠萝多少千克?
第4讲错中求解
专题简析:
在加、减、乘、除式的计算中,如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄错,就会导致计算结果发生错误。
这一周,我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。
例1:
小玲在计算除法时,把除数65写成56,结果得到的商是13,还余52。
正确的商是多少?
分析与解答:
要求出正确的商,必须先求出被除数是多少。
我们可以先抓住错误的得数,求出被除数:
13×56+52=780。
所以,正确的商是:
780÷65=12。
练习一
1、甜甜和蜜蜜在用同一个数做被除数。
甜甜用12去除,蜜蜜用15去除,甜甜得到的商是32还余6,蜜蜜计算的结果应该是多少?
2、小虎在计算除法时,把被除数1250写成1205,结果得到的商是48,余数是5。
正确的商应该是多少?
例2:
小芳在计算除法时,把除数32错写成320,结果得到商是48。
正确的商应该是多少?
分析与解答:
根据题意,把除数32改成320扩大到原来的10倍,又因为被除数不变,根据商的变化规律,正确的商应该是错误商的10倍。
所以正确的商应该是48×10=480。
练习二
1、小马在计算除法时,把被除数1280误写成12800,得到的商是32。
正确的商应该是多少?
2、小欣在计算除法时,把被除数420错写成240,结果得到商是48。
正确的商应该是多少?
例3:
小冬在计算有余数的除法时,把被除数137错写成173,这样商比原来多了3,而余数正好相同。
正确的商和余数是多少?
分析与解答:
因为被除数137被错写成了173,被除数比原来多了173-137=36,又因为商比原来多了3,而且余数相同,所以除数是36÷3=12。
又由137÷12=11……5,所以余数是5。
练习三
1、李明在计算有余数的除法时,把被除数171错写成117,结果商比原来少了3,而余数正好相同。
求这道除法算式正确的商和余数。
2、刘强在计算有余数的除法时,把被除数137错写成174,结果商比原来多3,余数比原来多1。
求这道除法算式的除数和余数。
例4:
小龙在做两位数乘两位数的题时,把一个因数的个位数字4错当作1,乘得的结果是525,实际应为600。
这两个两位数各是多少?
分析与解答:
一个因数的个位4错当作1,所得的结果比原来少了(4-1)个另一个因数;实际的结果与错误的结果相差600-525=75,75÷3=25,600÷25=24。
所以一个因数是24,另一个因数是25。
练习四
1、小菊做两位数乘两位数的乘法时,把一个因数的个位数字1误写成7,结果得646,实际应为418。
这两个两位数各是多少?
2、李晓在计算两位数乘两位数的题目时,把一个因数十位上的3误当作8,结果得2150,这道题的正确积应是900。
这两个两位数各是多少?
例5:
方方和圆圆做一道乘法式题,方方误将一个因数增加14,计算的积增加了84,圆圆误将另一个因数增加14,积增加了168。
那么,正确的积应是多少?
分析与解答:
由“方方将一个因数增加14,计算结果增加了84”可知另一个因数是84÷14=6;又由“圆圆误将另一个因数增加14,积增加了168”可知,这个因数是168÷14=12。
所以正确的积应是12×6=72。
练习五
1、两个数相乘,如果一个因数增加3,另一个因数不变,那么积增加18;如果一个因数不变,另一个因数减少4,那么积减少200。
原来的积是多少?
2、小敏在做两位数乘两位数的题时,把一个因数的个位数字5误写成3,得出的乘积是552;另一个学生却把这个5写成8,得出的乘积是672。
正确的乘积是多少?
第5讲图形问题
专题简析:
解答有关“图形面积”问题时,应注意以下几点:
1、细心观察,把握图形特点,合理地进行切拼,从而使问题得以顺利地解决;
2、从整体上观察图形特征,掌握图形本质,结合必要的分析推理和计算,使隐蔽的数量关系明朗化。
例1:
人民路小学操场长90米,宽45米。
改造后,长增加10米,宽增加5米。
现在操场面积比原来增加了多少平方米?
分析与解答:
用操场现在的面积减去操场原来的面积,就得到增加的面积。
操场现在的面积是(90+10)×(45+5)=5000平方米,操场原来的面积是90×45=4050平方米。
所以,现在的面积比原来增加5000-4050=950平方米。
练习一
1、一块长方形铁板,长18分米,宽13分米。
如果长和宽各减少2分米,面积比原来减少多少平方分米?
2、一块长方形地,长是80米,宽是45米。
如果把宽增加5米,要使面积不变,长应减少多少米?
例2:
一个长方形,如果宽不变,长增加6米,那么它的面积增加54平方米;如果长不变,宽减少3米,那么它的面积减少36平方米。
这个长方形原来的面积是多少平方米?
分析与解答:
由“宽不变,长增加6米,面积增加54平方米”可知,它的宽为54÷6=9米;由“长不变,宽减少3米,面积减少36平方米”可知,它的长为36÷3=12米。
所以,这个长方形原来的面积是12×9=108平方米。
练习二
1、一个长方形,如果宽不变,长增加5米,那么它的面积增加30平方米;如果长不变,宽增加3米,那么它的面积增加48平方米。
这个长方形原来的面积是多少平方米?
2、一个长方形,如果它的长减少3米,或它的宽减少2米,那么它的面积都减少36平方米。
求这个长方形原来的面积。
例3:
下图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场,求它的占地面积。
分析与解答:
根据题意,因为一面利用着墙,所以两条长加一条宽等于16米。
而宽是4米,那么长是(16-4)÷2=6米,占地面积是6×4=24平方米。
练习三
1、用56米长的木栏围成长或宽是20米的长方形,其中一边利用围墙,怎样才能使围成的面积最大?
2、用15米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃,其中一面利用着墙。
如果每边的长度都是整数,怎样才能使围成的面积最大?
例4:
街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路,如果水泥路的总面积是12平方米,中间花坛的面积是多少平方米?
分析与解答:
把水泥路分成四个同样大小的长方形(如下图)。
因此,一个长方形的面积是12÷4=3平方米。
因为水泥路宽1米,所以小长方形的长是3÷1=3米。
从图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差,所以小正方形的边长是3-1=2米。
中间花坛的面积是2×2=4平方米。
练习一
1、四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形(如上图),大正方形的面积是64平方米,小正方形的面积是4平方米,长方形的短边是多少米?
2、已知大正方形比小正方形的边长多4厘米,大正方形的面积比小正方形面积大96平方厘米(如下图)。
问大小正方形的面积各是多少?
例5:
一块正方形的钢板,先截去宽5分米的长方形,又截去宽8分米的长方形(如图),面积比原来的正方形减少181平方分米。
原正方形的边长是多少?
分析与解答:
把阴影部分剪下来,并把剪下的两个小长方形拼起来(如图),再被上长、宽分别是8分米、5分米的小长方形,这个拼合成的长方形的面积是181+8×5=221平方分米,长是原来正方形的边长,宽是8+5=13分米。
所以,原来正方形的边长是221÷13=17分米。
练习五
1、一个长方形的木板,如果长减少5分米,宽减少2分米,那么它的面积就减少66平方分米,这时剩下的部分恰好是一个正方形。
求原来长方形的面积。
2、一块正方形的的玻璃,长、宽都截去8厘米后,剩下的正方形比原来少448平方厘米,这块正方形玻璃原来的面积是多大?
第6讲巧妙求和
专题简析:
某些问题,可以转化为求若干个数的和,在解决这些问题时,同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和,才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时,应根据题目的具体特点,有时可考虑将题中的数适当分组,并将每组中的数合理配对,使问题得以顺利解决。
例1:
刘俊读一本长篇小说,他第一天读30页,从第二天起,他每天读的页数都前一天多3页,第11天读了60页,正好读完。
这本书共有多少页?
分析与解答:
根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数,即30、33、36、……57、60。
要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列,首项=30,末项=60,项数=11,因此可以很快得解:
(30+60)×11÷2=495(页)
想一想:
如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答?
练习一
1、胡茜读一本故事书,她第一天读了20页,从第二天起,每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完,这本书共有多少页?
2、丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学1个,最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词?
例2:
30把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试几次?
分析与解答:
开第一把锁时,如果不凑巧,试了29把钥匙还不行,那所剩的一把就一定能把它打开,即开第一把锁至多需要试29次;同理,开第二把锁至多需试28次,开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁,剩下的最后一把不用试,一定能打开。
所以,至多需试29+28+27+…+2+1=(29+1)×29÷2=435(次)。
练习二
1、有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了?
2、有10只盒子,44只羽毛球。
能不能把44只羽毛球放到盒子中去,使各个盒子里的羽毛球只数不相等?
例3:
某班有51个同学,毕业时每人都和其他的每个人握一次手。
那么共握了多少次手?
分析与解答:
假设51个同学排成一排,第一个人依次和其他人握手,一共握了50次,第二个依次和剩下的人握手,共握了49次,第三个人握了48次。
依次类推,第50个人和剩下的一人握了1次手,这样,他们握手的次数和为:
50+49+48+…+2+1=(50+1)×50÷2=1275(次)
练习三
1、在一次同学聚会中,一共到43位同学和4位老师,每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。
那么一共握了多少次手?
2、假期里有一些同学相约每人互通两次电话,他们一共打了78次电话,问有多少位同学相约互通电话?
例4:
求1~99这99个连续自然数的所有数字之和。
分析与解答:
首先应该弄清楚这题是求99个连续自然数的数字之和,而不是求这99个数之和。
为了能方便地解决问题,我们不妨把0算进来(它不影响我们计算数字之和)计算0~99这100个数的数字之和。
这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等,是9+9=18,一共有100÷2=50对,所以,1~99这99个连续自然数的所有数字之和是18×50=900。
练习四
1、求1~999这999个连续自然数的所有数字之和。
2、求1~3000这3000个连续自然数的所有数字之和。
第7讲还原问题
专题简析:
已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果,要求原数,这类问题叫做还原问题,还原问题又叫逆运算问题。
解决这类问题通常运用倒推法。
遇到比较复杂的还原问题,可以借助画图和列表来解决这些问题。
例1:
小刚的奶奶今年年龄减去7后,缩小9倍,再加上2之后,扩大10倍,恰好是100岁。
小刚的奶奶今年多少岁?
分析与解答:
从最后一个条件恰好是100岁向前推算,扩大10倍后是100岁,没有扩大10倍之前应是100÷10=10岁;加上2之后是10岁,没有加2之前应是10-2=8岁;没有缩小9倍之前应是8×9=72岁;减去7之后是72岁,没有减去7前应是72+7=79岁。
所以,小刚的奶奶今年是79岁。
练习一
1、在□里填上适当的数。
20×□÷8+16=26
2、一个数的3倍加上6,再减去9,最后乘上2,结果得60。
这个数是多少?
例2:
某商场出售洗衣机,上午售出总数的一半多10台,下午售出剩下的一半多20台,还剩95台。
这个商场原来有洗衣机多少台?
分析与解答:
从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推,剩下的95台和下午多卖的20台合起来,即95+20=115台正好是上午售后剩下的一半,那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数。
而230台和10台合起来,即230+10=240台又正好是总数的一半。
那么,240×2=480台就是原有洗衣机的台数。
练习二
1、爸爸买了一些橘子,全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个,第二天吃了剩下的一半多1个,第三天又吃掉了剩下的一半多1个,还剩下1个。
爸爸买了多少个橘子?
2、某水果店卖菠萝,第一次卖掉总数的一半多2个,第二次卖掉了剩下的一半多1个,第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多1个,这时只剩下一个菠萝。
三次共卖得48元,求每个菠萝多少元?
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