职高数学知识点总结.docx
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职高数学知识点总结
数学知识要点总结
初中基础知识:
1.相反数、绝对值、分数的运算;
2.因式分解:
提公因式:
xy-3x=(y-3)x
2xxx十字相乘法如:
3x52(31)
(2)
配方法如:
2xx
2x32(
1
4
2
)
25
8
公式法:
(x+y)2=x2+2xy+y2(x-y)
2=x2+2xy+y2(x-y)
2=x2-2xy+y2x2-y2=(x-y)(x+y)
3.一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法:
(1)代入法
(2)消元法
6.完全平方和(差)公式:
22abb2(ab)2
a
22abb2(ab)
a
2
2babab
2
7.平方差公式:
()()
a
3b3aba2abb2
8.立方和(差)公式:
()()
aa()()
3b3aba2abb2
第一章集合
1.构成集合的元素必须满足三要素:
确定性、互异性、无序性。
2.集合的三种表示方法:
列举法、描述法、图像法(文氏图)。
注:
描述法{x|x,x};另重点类型如:
{y|yx23x1,x(1,3]}
元素
元素性质取值范围
3.常用数集:
N(自然数集)、Z(整数集)、Q(有理数集)、R(实数集)、
*
N(正整
数集)、Z(正整数集)
4.元素与集合、集合与集合之间的关系:
(1)元素与集合是“”与“”的关系。
(2)集合与集合是“”“”“”“”的关系。
注:
(1)空集是任何集合的子集,任何非空集合的真子集。
(做题时多考虑是否满足题意)
(2)一个集合含有n个元素,则它的子集有
n
n个,非空真子集有2n2
2个,真子集有21
个。
5.集合的基本运算(用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法)
(1)AB{x|xA且xB}:
A与B的公共元素(相同元素)组成的集合
(2)AB{x|xA或xB}:
A与B的所有元素组成的集合(相同元素只写一次)。
1
(3)CUA:
U中元素去掉A中元素剩下的元素组成的集合。
注:
CU(AB)CACBCU(AB)CUACUB
UU
6.逻辑联结词:
且()、或()非()如果⋯⋯那么⋯⋯()
量词:
存在()任意()
真值表:
pq:
其中一个为假则为假,全部为真才为真;
pq:
其中一个为真则为真,全部为假才为假;
p:
与p的真假相反。
(同为真时“且”为真,同为假时“或”为假,真的“非”为假,假的“非”为真;真“推”
假为假,假“推”真假均为真。
)
7.命题的非
(1)是不是
都是不都是(至少有一个不是)
(2)⋯⋯,使得p成立对于⋯⋯,都有p成立。
对于⋯⋯,都有p成立⋯⋯,使得p成立
(3)(pq)pq(pq)pq
8.充分必要条件
p是q的⋯⋯条件p是条件,q是结论
充分
pq
p是q的充分不必要条件(充分条件)
不必要
不充分
pq
p是q的必要不充分条件(必要条件)
必要
充分
pq
必要
p是q的充分必要条件(充要条件)
不充分
pq
不必要
p是q
的既不充分也不必要条
件
第二章不等式
1.不等式的基本性质:
注:
(1)比较两个实数的大小一般用比较差的方法;另外还可以用平方法、倒数法如:
20102009与20092008(倒数法)等。
(2)不等式两边同时乘以负数要变号!
!
2
(3)同向的不等式可以相加(不能相减),同正的同向不等式可以相乘。
2.重要的不等式:
(均值定理)
2,当且仅当ab时,等号成立。
2
(1)ab2ab
(2)ab2ab(a,bR),当且仅当ab时,等号成立。
(3)abc3abc(a,b,cR),当且仅当abc时,等号成立。
ab
注:
(算术平均数)ab(几何平均数)2
3.一元一次不等式的解法
4.一元二次不等式的解法
(1)保证二次项系数为正
(2)分解因式(十字相乘法、提取公因式、求根公式法),目的是求根:
(3)定解:
(口诀)大于两根之外,大于大的,小于小的;
小于两根之间
注:
若0或0,用配方的方法确定不等式的解集。
5.绝对值不等式的解法
若a0,则
|
|
x
x
|
|a
ax
ax
a或x
a
a
6.分式不等式的解法:
与二次不等式的解法相同。
注:
分母不能为0.
第三章函数
1.映射:
一般地,设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,
在集合B中都有惟一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合A到集合B的映射,记作:
f:
AB。
注:
理解原象与象及其应用。
(1)A中每一个元素必有惟一的象;
(2)对于A中的不同的元素,在B中可以有相同的象;
(3)允许B中元素没有原象。
2.函数:
(1)定义:
函数是由一个非空数集到时另一个非空数集的映射。
(2)函数的表示方法:
列表法、图像法、解析式法。
注:
在解函数题时可以画出图像,运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。
3.函数的三要素:
定义域、值域、对应法则
(1)定义域的求法:
使函数(的解析式)有意义的x的取值范围
主要依据:
①分母不能为0
②偶次根式的被开方式0
③特殊函数定义域
3
y
x,0x
0x
0
ya
x,(0且1),
aax,(0且1),
x
R
ylogax,(a0且a1),x0
y
tanx,xk,(kZ)
2
(2)值域的求法:
y的取值范围
①正比例函数:
ykx和一次函数:
ykxb的值域为R
2的值域求法:
配方法。
如果x的取值范围不是R则还需画图
②二次函数:
yaxbxc
像
③反比例函数:
y
1
x
的值域为{y|y0}
④
axba
y的值域为{y|y}
cxdc
⑤
y
mxn
2的值域求法:
判别式法
axbxc
⑥另求值域的方法:
换元法、反函数法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。
(3)解析式求法:
在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。
4.函数图像的变换
(1)平移
yf
向右平移
(x)yf(xa)
a个单位
y
f
向左平移
()yf(xa)
x
a个单位
向上平移
yf(x)yf(x)
a个单位
a
向下平移
yfx
yf(x)()
a
个单位
a
(2)翻折
yf
沿
x轴
(x)yf(x)
上、下对折
y
f
保留轴上方图像
x
()y|f(x)
x
下方翻折到上方
|
yf
保留
y轴右边图像
(x)yf(|x
右边翻折到左边
|)
5.函数的奇偶性:
(1)定义域关于原点对称
(2)若f(x)f(x)奇若f(x)f(x)偶
注:
①若奇函数在x0处有意义,则f(0)0
②常值函数f(x)a(a0)为偶函数
4
③f(x)0既是奇函数又是偶函数
6.函数的单调性:
对于[,]
x1、xab且x1x2,若
2
f(
x)
1
f
(x
2
),
称
f
(
x)在[
a,
b]上为增函数
f(
x)
1
f
(x
2
),
称
f
(x)在
[a,b]上为减函数
增函数:
x值越大,函数值越大;x值越小,函数值越小。
减函数:
x值越大,函数值反而越小;x值越小,函数值反而越大。
复合函数的单调性:
h(x)f(g(x))
f(x)与g(x)同增或同减时复合函数h(x)为增函数;f(x)与g(x)相异时(一增一减)复合函
数h(x)为减函数。
注:
奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断。
7.二次函数:
(1)二次函数的三种解析式:
2
①一般式:
f(xaxbxc(a0)
)
2
②顶点式:
f(xaxkh(a0),其中(k,h)为顶点
)()
③两根式:
f()()()(a0),其中x1、x2是f(x)0的两根
xaxx1xx
2
(2)图像与性质:
二次函数的图像是一条抛物线,有如下特征与性质:
①开口a0开口向上a0开口向下
②对称轴:
x
b
2a
2
b4acb
③顶点坐标:
)
(,
2a4a
0
有两交点
④与x轴的交点:
0有1交点
0
无交点
⑤一元二次方程根与系数的关系:
(韦达定理)
x
1
x
1
x
2
x
2
b
a
c
a
2
⑥f(xaxbxc为偶函数的充要条件为b0
)
⑦二次函数(二次函数恒大(小)于0)
5
a0
f图像位于x轴上方
(x)0
0
f(x)0
a
0
0
图像位于x
轴下方
⑧若二次函数对任意x都有f(tx)f(tx),则其对称轴是xt。
⑨若二次函数f(x)0的两根
x1、x
2
ⅰ.若两根x1、x2一正一负,则
x1x
2
0
0
ⅱ.若两根
x1、x同正(同负)
2
00
若同正,则
x
1
x0
2
若同负,则
x
1
x
2
0
xx
12
0
x
1
x
2
0
ⅲ.若两根
x1、x位于(a,b)内,则利用画图像的办法。
2
00
若a0,
则f(a)0若a0,则f(a)0
f(b)0f(b)0
注:
若二次函数f(x)0的两根
x1、x;x1位于(a,b)内,x2位于(c,d)内,同样利用画
2
图像的办法。
8.反函数:
(1)函数yf(x)有反函数的条件
x与y是一一对应的关系
(2)求yf(x)的反函数的一般步骤:
①确定原函数的值域,也就是反函数的定义域②由原函数的解析式,求出x
③将x,y对换得到反函数的解析式,并注明其定义域。
(3)原函数与反函数之间的关系
①原函数的定义域是反函数的值域
原函数的值域是反函数的定义域
②二者的图像关于直线yx对称
③原函数过点(a,b),则反函数必过点(b,a)
④原函数与反函数的单调性一致
6
第四章指数函数与对数函数
1.指数幂的性质与运算:
(1)根式的性质:
①n为任意正整数,
(ana)n
na)n
nn;当n为偶数时,nan|a|
②当n为奇数时,aa
③零的任何正整数次方根为零;负数没有偶次方根。
0
(2)零次幂:
1
a(a0)
(3)负数指数幂:
a
n
1(0,)
*
anN
n
a
m
(4)分数指数幂:
nm
n
aa(a0,m,nN且n1)
(5)实数指数幂的运算法则:
(a0,m,nR)
①
maa
nmn
a②
ma
nmn
(a)③
(
nanb
n
ab)
2.幂运算时,注意将小数指数、根式都统一化为分数指数;一般将每个数都化为最小的一
个数的n次方。
3.幂函数
y
a
x
当
a
当
a
0
时,
0
时,
y
y
a
x
在(
0,
a
x0,
在(
)上单调递增
)上单调递减
4.指数与对数的互化
blog(a0且a1)、(N0)aNaNb
logN④aNN①对数基本性质:
①logaa1②loga10③aNlog
a
a
⑤logab与logba互为倒数
1
logbloga1logb⑥
aalog
b
a
b
log
n
n
amlog
ba
m
b
M
5.对数的基本运算:
loga(MN)logaMlogaNMN
logaloglog
aa
N
6.换底公式:
logN
b
logN(b0且b1)
alog
a
b
7.指数函数、对数函数的图像和性质
指数函数对数函数
定
义
ya
xylogx(a0,a1的常数)
(a0,a1的常数)
a
7
图
像
(1)xR,y0
(1)xR,y0
性
(2)图像经过(0,1)点
(2)图像经过(1,0)点
质
(3)
a
0
1,
a
y
1,
a
y
x
为增函数;
x
a为减函数
(3)
a
0
1,
a
y
1,
log
y
x在(0,
logx在(0,
a
8.利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小,将其变为同底、同幂
(次)或用换底公式或是利用中间值0,1来过渡。
9.指数方程和对数方程
(1)指数式和对数式互化
(2)同底法
(3)换元法(4)取对数法
注:
解完方程要记得验证根是否是增根,是否失根。
第五章数列
等差数列等比数列
每一项与前一项之差为同一个常数每一项与前一项之比为同一个常数
定
义
a2aa3a2anan1d
1
aaa
23n(q0)
q
aaa
12n1
注:
当公差d0时,数列为常数列注:
等比数列各项及公比均不能为0;
当公比为1时,数列为常数列
通项
公式
ana1(n1)d
n
anaq
1
1
推
(1)
d
a
n
n
a
m
m
(1)
n
q
m
a
n
a
m
论
(2)anam(nm)d
(2)
n
anaq
m
m
(3)若mnpq,则(3)若mnpq,则amanapaq
amaaa
npq
8
中项
三个数a、b、c成等差数列,则有三个数a、b、c成等比数列,则有
公式ac
2bacb
2
2
b
ac
前n
项和
公式
n(aa)n(n
1n
Sna
n2
1
2
1)
d
n
a(1q)a1aq
1(q1)
n
S
n11
其
它
S2n1(2n1)a如:
S77a4
n
等差数列的连续n项之和仍成等差等比数列的连续n项之和仍成等比数
数列列
1.已知前n项和
S的解析式,求通项an:
n
S
1
a
nSS
nn
1
(
n
(n
1)
2)
第六章三角函数
1.弧度和角度的互换:
ooo
o弧度0.01745弧度,1弧度(180)5718'
180弧度,1
180
2.扇形弧长公式和面积公式
L||r,
扇
111
2
S扇(记忆法:
与Sah
Lr||r
ABC2
22
类似)
注:
如果是角度制的可转化为弧度制来计算。
3.任意三角函数的定义:
sin
对边
斜边
1
倒数记忆法:
S、C互为倒数
csc
sin
cos
邻边
斜边
1
倒数记忆法:
C、S互为倒数
sec
cos
tan
对边
邻边
倒数
cot
1
tan
4.特殊三角函数值:
0
0
0
6
0
30
4
00
4560
3
2
0
90
一象限
sin
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
43210
cos
22222
tan0
313不存在
3
5.三角函数的符号判定:
(1)口诀:
一全二正弦,三切四余弦。
(三角函数中为正的,其余的为负)
(2)图像记忆法
6.三角函数基本公式:
9
sin1
tan(可用于化简、证明等)
coscot
sin
22(1.可用于已知sin求cos;或者反过来运用。
2.注意1的运用)
cos1
2sec
2
1tan(可用于已知cos(或sin)求tan或者反过来运用)
7.诱导公式:
(1)口诀:
奇变偶不变,符号看象限。
解释:
指k(),若k为奇数,则函数名要改变,若k为偶数函数名不变。
kZ2
(2)分类记忆
①去掉偶数倍(即2k)
②将剩下的写成(一象限)、(二象限)、(三象限)、(四象限)再看象
限定正负号(函数名称不变);或写成-(一象限)、(二象限)
22
负号(要变函数名称)
,再看象限定正
③要特别注意以上公式中互余、互补公式及运用;做题时首先观察两角之间是否是互余
或互补的关系。
8.已知三角函数值求角
(1)确定角所在的象限
(2)求出函数值的绝对值对应的锐角'
(3)写出满足条件的0~2的角
(4)加上周期(同终边的角的集合)
9.和角、倍角公式:
sin()sincoscossin注意正负号相同
cos()coscossinsin注意正负号相反
tantan
tan()tantantan()(1tantan)
1tantan
sin22sincos,cos2
2sin22cos2112sin
cos
2
2tan
tan2,
2
1tan
tan
2
1
cos
sin
1
sin
cos
1
1
cos
cos
10.三角函数的图像与性质
性质
函数图像
定义域值域同期
奇
偶
性
单调性
10
[1,1]
T2奇
[2k,2k
2
[2k,2k
2
]
2
3
2
ysinxxR
]
[2k,2k]
[1,1]
ycosxxR
T2偶
[2k,2k]
ytanx
x
k
k
Z
2RT奇(k,k)
22
11.正弦型函数yAsin(x)(A0,0)
2
(1)定义域R,值域[A,A]
(2)周期:
T
(3)注意平移的问题:
一要注意函数名称是否相同,二要注意将x的系数提出来,再看是
怎样平移的。
2b2x
(4)y
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