统编高中数学人教A版必修第二册 优化课堂 第六章 635.docx
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统编高中数学人教A版必修第二册优化课堂第六章635
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
学习目标
1.掌握平面向量数量积的坐标表示.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.
知识点 平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
则a·b=x1x2+y1y2.
(1)若a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=
.
若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则a=(x2-x1,y2-y1),|a|=
.
(2)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
(3)cosθ=
=
.
思考 若两个非零向量的夹角满足cosθ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角吗?
答案 不一定,当cosθ<0时,两向量的夹角θ可能是钝角,也可能是180°.
1.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1y2-x2y1=0.( × )
2.若两个非零向量的夹角θ满足cosθ>0,则两向量的夹角θ一定是锐角.( × )
提示 当两向量同向共线时,cosθ=1>0,但夹角θ=0°,不是锐角.
3.两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2-x2y1=0,则向量a与b的夹角为0°.( × )
4.若向量a=(1,0),b=
,则|a|=|b|.( × )
提示 |a|=1,|b|=
=
,显然|a|≠|b|.
一、数量积的坐标运算
例1 已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+2b)·(a-3b)等于( )
A.10B.-10C.3D.-3
答案 B
解析 a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10.
反思感悟 进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系
(1)|a|2=a·a.
(2)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.
(3)(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.
跟踪训练1 向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a等于( )
A.-1B.0C.1D.2
答案 C
解析 因为a=(1,-1),b=(-1,2),
所以2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),
则(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.
二、平面向量的模
例2 已知平面向量a=(3,5),b=(-2,1),求a-2b及其模的大小.
解 ∵a=(3,5),b=(-2,1),
∴a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3),
∴|a-2b|=
=
.
反思感悟 求向量a=(x,y)的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方,即a2=|a|2=x2+y2,求模时,勿忘记开方.
(2)a·a=a2=|a|2或|a|=
=
,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
跟踪训练2 已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5
,则|b|等于( )
A.
B.
C.5D.25
答案 C
解析 ∵a=(2,1),∴a2=5,
又|a+b|=5
,∴(a+b)2=50,
即a2+2a·b+b2=50,
∴5+2×10+b2=50,∴b2=25,∴|b|=5.
三、平面向量的夹角、垂直问题
例3
(1)已知|a|=1,b=(0,2),且a·b=1,则向量a与b夹角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 因为|a|=1,b=(0,2),且a·b=1,
设a与b的夹角为θ,
则cosθ=
=
=
.
又因为θ∈[0,π],则θ=
.
所以向量a与b夹角的大小为
.
(2)设向量m=(2x-1,3),向量n=(1,-1),若m⊥n,则实数x的值为( )
A.-1B.1C.2D.3
答案 C
解析 因为向量m=(2x-1,3),向量n=(1,-1),m⊥n,
所以m·n=(2x-1)×1+3×(-1)=2x-1-3=0,解得x=2.
反思感悟 解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法:
由cosθ=
=
直接求出cosθ.
(2)注意事项:
利用三角函数值cosθ求θ的值时,应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cosθ=
判断θ的值时,要注意cosθ<0时,有两种情况:
一是θ是钝角,二是θ为180°;cosθ>0时,也有两种情况:
一是θ是锐角,二是θ为0°.
跟踪训练3 已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=________.
答案 7
解析 ∵a=(-1,2),b=(m,1),
∴a+b=(-1+m,2+1)=(m-1,3).
又a+b与a垂直,∴(a+b)·a=0,
即(m-1)×(-1)+3×2=0,
解得m=7.
1.若向量a=(x,2),b=(-1,3),a·b=3,则x等于( )
A.3B.-3C.
D.-
答案 A
解析 a·b=-x+6=3,故x=3.
2.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 |a|=
=5,|b|=
=13.
a·b=3×5+4×12=63.
设a与b的夹角为θ,所以cosθ=
=
.
3.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b与b垂直,则|a|等于( )
A.1B.
C.2D.4
答案 C
解析 ∵(2a-b)·b=2a·b-|b|2
=2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0,
∴n2=3,∴|a|=
=2.
4.若平面向量a=(1,-2)与b的夹角是180°,且|b|=3
,则b等于( )
A.(-3,6)B.(3,-6)
C.(6,-3)D.(-6,3)
答案 A
解析 由题意,设b=λa=(λ,-2λ)(λ<0),
则|b|=
=
|λ|=3
,
又λ<0,∴λ=-3,故b=(-3,6).
5.已知向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于( )
A.
B.
C.2
D.10
答案 B
解析 由题意可得a·b=x·1+1×(-2)=x-2=0,解得x=2.
再由a+b=(x+1,-1)=(3,-1),
可得|a+b|=
.
1.知识清单:
(1)平面向量数量积的坐标表示.
(2)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0(a,b为非零向量).
(3)cosθ=
(θ为非零向量a,b的夹角).
2.方法归纳:
化归与转化.
3.常见误区:
两向量夹角的余弦公式易记错.
1.设向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论中正确的是( )
A.|a|=|b|B.a·b=0
C.a∥bD.(a-b)⊥b
答案 D
解析 a-b=(1,-1),所以(a-b)·b=1-1=0,
所以(a-b)⊥b.
2.已知a=(3,-1),b=(1,-2),则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 ∵|a|=
,|b|=
,a·b=5,
∴cosθ=
=
=
(θ为a,b的夹角).
又∵a,b的夹角的范围为[0,π].
∴a与b的夹角为
.
3.已知向量a=(1,2),b=(-1,m),若a⊥b,则m的值为( )
A.-2B.2C.
D.-
答案 C
解析 因为向量a=(1,2),b=(-1,m),a⊥b,
所以a·b=-1+2m=0,解得m=
.
4.a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|2-4a·b等于( )
A.23B.57C.63D.83
答案 D
解析 3|a|2-4a·b=3[(-4)2+32]-4(-4×5+3×6)=83.
5.已知向量a=(1,-2),b=(x,4),且a∥b,则|a-b|等于( )
A.5
B.3
C.2
D.2
答案 B
解析 因为a∥b,所以4+2x=0,所以x=-2,
a-b=(1,-2)-(-2,4)=(3,-6),
所以|a-b|=3
.
6.已知a=(-1,1),b=(1,2),则a·(a+2b)=________.
答案 4
解析 ∵a+2b=(1,5),∴a·(a+2b)=4.
7.设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m=________.
答案 -1
解析 由题意得ma-b=(m+1,-m),
根据向量垂直的充要条件可得1×(m+1)+0×(-m)=0,
所以m=-1.
8.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=________.
答案 -2
解析 由|a+b|2=|a|2+|b|2,得a·b=0,
即m+2=0,解得m=-2.
9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).
(1)若a⊥b,求x的值;
(2)若a∥b,求|a-b|.
解
(1)∵a⊥b,
∴a·b=0,即1×(2x+3)+x×(-x)=0,
解得x=-1或x=3.
(2)∵a∥b,∴1×(-x)-x(2x+3)=0,
解得x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),
∴a-b=(-2,0),∴|a-b|=2.
当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),
∴a-b=(2,-4),
∴|a-b|=2
.
∴|a-b|=2或2
.
10.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角α为钝角,求实数λ的取值范围.
解 ∵a=(1,-1),b=(λ,1),
∴|a|=
,|b|=
,a·b=λ-1.
又∵a,b的夹角α为钝角,
∴
即
∴λ<1且λ≠-1.
∴λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).
11.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ等于( )
A.-4B.-3C.-2D.-1
答案 B
解析 因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),
由(m+n)⊥(m-n),
可得(m+n)·(m-n)=(2λ+3,3)·(-1,-1)=-2λ-6=0,解得λ=-3.
12.已知
=(-2,1),
=(0,2)且
∥
,
⊥
,则点C的坐标是( )
A.(2,6)B.(-2,-6)
C.(2,-6)D.(-2,6)
答案 D
解析 设C(x,y),则
=(x+2,y-1),
=(x,y-2),
=(2,1),
∵
∥
,∴2(x+2)=0,①
∵
⊥
,∴2x+y-2=0,②
由①②可得
∴C(-2,6).
13.设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“⊗”为m⊗n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p⊗q=(-4,-3),则q的坐标为________.
答案 (-2,1)
解析 设q=(x,y),则p⊗q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3).
∴
∴
∴q=(-2,1).
14.如图所示,在矩形ABCD中,AB=
,BC=2,点E在边CD上,且
=2
,则
·
的值是________.
答案
解析 以A为原点,AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.
∵AB=
,BC=2,
∴A(0,0),B(
,0),C(
,2),D(0,2),
∵点E在边CD上,且
=2
,
∴E
.∴
=
,
=
,
∴
·
=-
+4=
.
15.已知向量a=(1,1),b=(1,m),其中m为实数,则当a与b的夹角在
内变动时,实数m的取值范围是( )
A.(0,1)B.
C.
∪(1,
)D.(1,
)
答案 C
解析 如图,作
=a,则A(1,1).
作
,
,
使∠AOB1=∠AOB2=
,
则∠B1Ox=
-
=
,
∠B2Ox=
+
=
,
故B1
,B2(1,
).
又a与b的夹角不为0,故m≠1.
由图可知实数m的取值范围是
∪(1,
).
16.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:
AB⊥AD;
(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值.
(1)证明 ∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
∴
=(1,1),
=(-3,3).
又∵
·
=1×(-3)+1×3=0,
∴
⊥
,即AB⊥AD.
(2)解 ∵
⊥
,四边形ABCD为矩形,
∴
=
.
设C点坐标为(x,y),则
=(1,1),
=(x+1,y-4),
∴
解得
∴C点坐标为(0,5).
由于
=(-2,4),
=(-4,2),
∴
·
=8+8=16.
又|
|=2
,|
|=2
,
设
与
的夹角为θ,
则cosθ=
=
=
>0,
∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为
.
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