文科一轮学案111事件与概率.docx
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文科一轮学案111事件与概率
学案11.1事件与概率
自主预习案自主复习夯实基础
【双基梳理】
1.事件
(1)不可能事件、必然事件、随机事件:
在同样的条件下重复进行试验时,有的结果,它称为不可能事件;有的结果在每次试验中,它称为必然事件;有的结果,也,它称为随机事件.
(2)基本事件、基本事件空间:
试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件,它是试验中不能再分的最简单的;所有基本事件构成的称为基本事件空间,基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示.
2.概率与频率
(1)概率定义:
在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率
,当n很大时,总是在某个常数附近摆动,随着n的增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A).
(2)概率与频率的关系:
可以通过来“测量”,是的一个近似.
3.事件的关系与运算
名称
定义
并事件
(和事件)
由事件A和B所构成的事件C
互斥事件
不可能的两个事件A、B
互为对立
事件
不能且的两个事件A、B
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:
.
(2)必然事件的概率:
P(E)=.
(3)不可能事件的概率:
P(F)=.
(4)互斥事件的概率加法公式:
①P(A∪B)=(A,B互斥).
②P(A1∪A2∪…∪An)=(A1,A2,…,An彼此互斥).
(5)对立事件的概率:
P(
)=.
【知识拓展】
互斥事件与对立事件的区别与联系
互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)事件发生频率与概率是相同的.( )
(2)随机事件和随机试验是一回事.( )
(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( )
(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( )
(5)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.( )
(6)两互斥事件的概率和为1.( )
考点探究案典例剖析考点突破
考点一事件关系的判断
例1 某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报纸”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报纸”,事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件.
(1)A与C;
(2)B与E;(3)B与C;(4)C与E.
变式训练:
判断下列各对事件是不是互斥事件或对立事件:
某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中
(1)恰有1名男生和恰有2名男生;
(2)至少有1名男生和至少有1名女生;
(3)至少有1名男生和全是女生.
考点二随机事件的频率与概率
例2 (2015·北京)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?
变式训练:
某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检测,检查结果如下表所示:
抽取球数n
50
100
200
500
1000
2000
优等品数m
45
92
194
470
954
1902
优等品频率
(1)计算表中乒乓球优等品的频率;
(2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?
(结果保留到小数点后三位)
考点三:
互斥事件、对立事件的概率
命题点1 互斥事件的概率
例3 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是
,得到黑球或黄球的概率是
,得到黄球或绿球的概率也是
,试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少?
命题点2 对立事件的概率
例4 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)1张奖券的中奖概率;
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
变式训练:
国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩,正在加紧备战,经过近期训练,某队员射击一次命中7~10环的概率如下表所示:
命中环数
10环
9环
8环
7环
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该射击队员射击一次:
(1)射中9环或10环的概率;
(2)命中不足8环的概率.
当堂达标:
1.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A.至多有一次中靶B.两次都中靶
C.只有一次中靶D.两次都不中靶
2.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175](单位:
cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为( )
A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8
3.(2015·湖北)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:
粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )
A.134石B.169石
C.338石D.1365石
4.给出下列三个命题,其中正确的命题有________个.
①有一大批产品,已知次品率为10%,从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此正面出现的概率是
;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
5.(教材改编)袋中装有9个白球,2个红球,从中任取3个球,则①恰有1个红球和全是白球;②至少有1个红球和全是白球;③至少有1个红球和至少有2个白球;④至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中,是对立事件的为________.
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1.下列命题:
①将一枚硬币抛两次,设事件M:
“两次出现正面”,事件N:
“只有一次出现反面”,则事件M与N互为对立事件;②若事件A与B互为对立事件,则事件A与B为互斥事件;③若事件A与B为互斥事件,则事件A与B互为对立事件;④若事件A与B互为对立事件,则事件A∪B为必然事件,其中,真命题是( )
A.①②④B.②④
C.③④D.①②
2.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为
,都是白子的概率是
,则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A.
B.
C.
D.1
3.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是
,那么概率是
的事件是( )
A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡
4.从存放的号码分别为1,2,3,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:
卡片
号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到
次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到号码为奇数的卡片的频率是( )
A.0.53B.0.5C.0.47D.0.37
5.对一批产品的长度(单位:
毫米)进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为( )
A.0.09B.0.20C.0.25D.0.45
6.在200件产品中,有192件一级品,8件二级品,则下列事件:
①在这200件产品中任意选出9件,全部是一级品;
②在这200件产品中任意选出9件,全部是二级品;
③在这200件产品中任意选出9件,不全是二级品.
其中________是必然事件;________是不可能事件;________是随机事件.
7.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:
先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.
8.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是________________.
9.(2014·陕西)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额(元)
0
1000
2000
3000
4000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.
10.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高,被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分组:
第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4.
(1)求第七组的频率;
(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上(含180cm)的人数;
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为x,y,事件E={|x-y|≤5},事件F={|x-y|>15},求P(E∪F).
学案11.1时间与概率
自主预习案自主复习夯实基础
【双基梳理】
1.事件
(1)不可能事件、必然事件、随机事件:
在同样的条件下重复进行试验时,有的结果始终不会发生,它称为不可能事件;有的结果在每次试验中一定会发生,它称为必然事件;有的结果可能发生,也可能不发生,它称为随机事件.
(2)基本事件、基本事件空间:
试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件,它是试验中不能再分的最简单的随机事件;所有基本事件构成的集合称为基本事件空间,基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示.
2.概率与频率
(1)概率定义:
在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率
,当n很大时,总是在某个常数附近摆动,随着n的增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A).
(2)概率与频率的关系:
概率可以通过频率来“测量”,频率是概率的一个近似.
3.事件的关系与运算
名称
定义
并事件
(和事件)
由事件A和B至少有一个发生所构成的事件C
互斥事件
不可能同时发生的两个事件A、B
互为对立
事件
不能同时发生且必有一个发生的两个事件A、B
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:
0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率:
P(E)=1.
(3)不可能事件的概率:
P(F)=0.
(4)互斥事件的概率加法公式:
①P(A∪B)=P(A)+P(B)(A,B互斥).
②P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(A1,A2,…,An彼此互斥).
(5)对立事件的概率:
P(
)=1-P(A).
【知识拓展】
互斥事件与对立事件的区别与联系
互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)事件发生频率与概率是相同的.( × )
(2)随机事件和随机试验是一回事.( × )
(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( √ )
(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( × )
(5)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.( √ )
(6)两互斥事件的概率和为1.( × )
考点探究案典例剖析考点突破
考点一事件关系的判断
例1 某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报纸”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报纸”,事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件.
(1)A与C;
(2)B与E;(3)B与C;(4)C与E.
解
(1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B不发生可导致事件E一定发生,且事件E不发生会导致事件B一定发生,故B与E还是对立事件.
(3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能:
“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”,事件C“至多订一种报纸”中有这些可能:
“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”,由于这两个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件.
(4)由(3)的分析,事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能,即事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不是互斥事件.
变式训练:
判断下列各对事件是不是互斥事件或对立事件:
某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中
(1)恰有1名男生和恰有2名男生;
(2)至少有1名男生和至少有1名女生;
(3)至少有1名男生和全是女生.
解
(1)是互斥事件,不是对立事件.
“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”,与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是互斥事件,不是对立事件.
(2)不是互斥事件,也不是对立事件.
“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“2名都是男生”两种结果,“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“2名都是女生”两种结果,它们可能同时发生.
(3)是互斥事件且是对立事件.
“至少有1名男生”,即“选出的2人不全是女生”,它与“全是女生”不可能同时发生,且其并事件是必然事件,所以两个事件互斥且对立.
考点二随机事件的频率与概率
例2 (2015·北京)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?
解
(1)从统计表可以看出,在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,
所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为
=0.2.
(2)从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为
=0.3.
(3)与
(1)同理,可得:
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为
=0.2,
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为
=0.6,
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为
=0.1.
所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.
变式训练:
某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检测,检查结果如下表所示:
抽取球数n
50
100
200
500
1000
2000
优等品数m
45
92
194
470
954
1902
优等品频率
(1)计算表中乒乓球优等品的频率;
(2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?
(结果保留到小数点后三位)
解
(1)依据公式f=
,计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.
(2)由
(1)知,抽取的球数n不同,计算得到的频率值不同,但随着抽取球数的增多,频率在常数0.950的附近摆动,所以质量检查为优等品的概率约为0.950.
考点三:
互斥事件、对立事件的概率
命题点1 互斥事件的概率
例3 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是
,得到黑球或黄球的概率是
,得到黄球或绿球的概率也是
,试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少?
解 方法一 从袋中选取一个球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A,B,C,D,则有
P(A)=
,P(B∪C)=P(B)+P(C)=
,
P(C∪D)=P(C)+P(D)=
,P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-
=
,解得P(B)=
,P(C)=
,P(D)=
,因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是
,
,
.
方法二 设红球有n个,则
=
,
所以n=4,即红球有4个.
又得到黑球或黄球的概率是
,所以黑球和黄球共5个.
又总球数是12,所以绿球有12-4-5=3(个).
又得到黄球或绿球的概率也是
,所以黄球和绿球共5个,而绿球有3个,所以黄球有5-3=2(个).所以黑球有12-4-3-2=3(个).
因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是
=
,
=
,
=
.
命题点2 对立事件的概率
例4 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)1张奖券的中奖概率;
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
解
(1)P(A)=
,P(B)=
=
,
P(C)=
=
.
故事件A,B,C的概率分别为
,
,
.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A∪B∪C.
∵A、B、C两两互斥,
∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
=
=
.
故1张奖券的中奖概率为
.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,
∴P(N)=1-P(A∪B)=1-
=
.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为
.
变式训练:
国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩,正在加紧备战,经过近期训练,某队员射击一次命中7~10环的概率如下表所示:
命中环数
10环
9环
8环
7环
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该射击队员射击一次:
(1)射中9环或10环的概率;
(2)命中不足8环的概率.
解 记事件“射击一次,命中k环”为Ak(k∈N,k≤10),则事件Ak彼此互斥.
(1)记“射击一次,射中9环或10环”为事件A,那么当A9,A10之一发生时,事件A发生,由互斥事件的加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.
(2)设“射击一次,至少命中8环”的事件为B,则
表示事件“射击一次,命中不足8环”.
又B=A8∪A9∪A10,由互斥事件概率的加法公式得
P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)
=0.18+0.28+0.32=0.78.
故P(
)=1-P(B)=1-0.78=0.22.
因此,射击一次,命中不足8环的概率为0.22.
当堂达标:
1.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A.至多有一次中靶B.两次都中靶
C.只有一次中靶D.两次都不中靶
答案 D
解析 射击两次的结果有:
一次中靶;两次中靶;两次都不中靶,故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶.
2.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175](单位:
cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为( )
A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8
答案 B
解析 因为必然事件发生的概率是1,所以该同学的身高超过175cm的概率为1-0.2-0.5=0.3,故选B.
3.(2015·湖北)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:
粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )
A.134石B.169石
C.338石D.1365石
答案 B
解析 因为样品中米内夹谷的比为
,所以这批米内夹谷为1534×
≈169(石).
4.给出下列三个命题,其中正确的命题有________个.
①有一大批产品,已知次品率为10%,从中任取100件,必有10件是次品;②做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此正面出现的概率是
;③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
答案 0
解析 ①错,不一定是10件次品;②错,
是频率而非概率;③错,频率不等于概率,这是两个不同的概念.
5.(教材改编)袋中装有9个白球,2个红球,从中任取3个球,则①恰有1个红球和全是白球;②至少有1个红球和全是白球;③至少有1个红球和至少有2个白球;④至少有1个
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