深圳大学 徐希《数学分析》课程教学大纲.docx
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深圳大学徐希《数学分析》课程教学大纲
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
(2006年10月重印版)
课程编号22123010C
课程名称数学分析
课程类别专业必修
教材名称数学分析
制订人徐希
审核人刘则毅
2005年4月修订
一、课程设计的指导思想
(一)课程性质
1.课程类别:
专业必修课
2.适应专业:
数学与应用数学
3.开设学期:
第一至第三学期
4.学时安排:
周学时6,总学时282
5.学分分配:
6学分
(二)开设目的
本课程是数学与应用数学专业(本科)一门必修的重要基础课。
它一方面为后继课程,如微分方程、概率论、经济数学等基础课及专业课和有关的其他选修课提供所需基础,同时还为培养学生的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力提供必要的训练。
学生学好这门课程的基本内容和方法,对今后的学习研究和应用,对自己本身素质的提高,都会起着关键性的作用。
(三)基本要求
通过教学,要求学生掌握微积分(含无穷级数)内容的基本概念、基本理论和基本运算;并通过大量习题的训练,培养学生的运算技能和对数学问题的思维、论证能力。
(四)主要内容
一元及多元微分、积分的基本理论、方法及应用,无穷级数理论及其应用等。
(五)先修课程
无
(六)后继课程
微分方程、复变函数、微分几何、实变函数与泛函分析等及有关研究生课程
(七)考核方式
闭卷考试
(八)使用教材
华东师大编,《数学分析》,北京:
高等教育出版社,2001年第三版.
(九)参考书目
(1)刘玉琏等编《数学分析讲义》,北京:
高等教育出版社,2003年第四版.
(2)《微积分学教程》,格.米.菲赫金哥尔茨,北京大学高等数学教研室译,人民教育出版社,1954年
二、教学内容
第一章实数集与函数
教学目的
弄清数集及确界原理,理解变量与函数、反函数、基本初等函数、复合函数。
主要内容
第一节实数
第二节数集、确界原理
第三节函数概念
第四节具有某些特性的函数
教学要求
了解:
数集及确界原理
理解:
变量与函数、反函数、基本初等函数、复合函数。
掌握:
函数运算法则、特性函数的性质与应用。
第二章数列极限
教学目的
引入数列极限概念及性质,介绍证明数列极限存在及求极限的基本方法。
主要内容
第一节数列极限概念
第二节收敛数列的性质
第三节数列极限存在的条件
教学要求
理解:
数列极限概念及性质。
掌握:
证明数列极限存在及求极限的基本方法。
第三章函数极限
教学目的
引入数列极限概念及性质,介绍证明数列极限存在及求极限的基本方法。
介绍两个
重要的极限及无穷大量与无穷小量
主要内容
第一节函数极限概念
第二节函数极限的性质
第三节函数极限存在的条件
第四节两个重要的极限
第五节无穷大量与无穷小量
教学要求
理解:
函数极限的概念,单侧极限
掌握:
熟练掌握函数极限的性质及运算,两个重要极限,无穷小量与无穷大量的阶.
第四章函数的连续性
教学目的
引入连续性概念,介绍连续函数的性质、一致连续及初等函数的连续性。
主要内容
第一节连续性概念
第二节连续函数的性质
第三节初等函数的连续性
教学要求
理解:
函数连续概念
掌握:
熟练掌握函数极限的性质及运算,两个重要极限,无穷小量与无穷大量的阶.
(1)掌握幂级数、收敛半径、收敛域的概念;
(2)熟悉基本初等函数的Taylor展式,会据此把一些解析函数展为Taylor级数,掌握解析函数的幂级数刻画;
(3)掌握解析函数的零点孤立性、唯一性定理、最大模原理与最小模原理。
第五章导数和微分
教学目的
理解导数的概念和微分的定义,熟练掌握求导法则,微分法则,掌握参数方程所表
示的函数的微分法,高阶导数和高阶微分法,理解无穷小量与无穷大量。
主要内容
第一节导数的概念
第二节求导法则
第三节参变量函数的导数
第四节高阶导数
第五节无穷小量与无穷大量
教学要求
理解:
理解导数的概念和微分的定义,无穷小量与无穷大量。
掌握:
求导法则,微分法则,掌握参数方程所表示的函数的微分法,高阶导数和高阶微分法
第六章微分中值定理及其应用
教学目的
理解并熟练掌握中值定理和泰勒公式及不定式极限的求法。
掌握函数的单调、极值、
最大最小值、凸性、拐点、渐近线、函数作图。
主要内容
第一节拉格朗日定理和函数的的单调性
第二节柯西中值定理和不定式极限
第三节泰勒公式
第四节函数的极值与最大(小)值
第五节函数的凸性与拐点
第六节函数图象的讨论
第七节方程的近似解
教学要求
理解:
理解并熟练掌握中值定理和泰勒公式。
掌握:
掌握中值定理和泰勒公式及不定式极限的求法。
掌握函数的单调、极值、最大最小值、凸性、拐点、渐近线、函数作图。
第七章实数的完备性
教学目的
了解确界原理、单调有界原理、区间套定理、有限覆盖定理、致密性定理、聚点定
理、柯西准则等定理的证明方法、等价性及其应用。
主要内容
第一节关于实数集完备性的基本定理
第二节闭区间上连续函数性质的证明
第三节上极限和下极限
教学要求
了解:
了解确界原理、单调有界原理、区间套定理、有限覆盖定理、致密性定理、聚点定理、柯西准则等定理的证明方法、等价性及其应用。
第八章不定积分
教学目的
理解不定积分的概念,熟练掌握不定积分基本公式及运算技巧,掌握换元法、分部
积分法,了解有理函数积分法。
主要内容
第一节不定积分概念与基本积分公式
第二节换元积分法与分部积分法
第三节有理函数和可化为有理函数的不定积分
教学要求
了解:
有理函数积分法。
理解:
不定积分的概念,熟练掌握不定积分基本公式及运算技巧
掌握:
不定积分基本公式及运算技巧,掌握换元法、分部积分法
第九章定积分
教学目的
理解定积分的概念及其基本性质,了解定积分可积条件,掌握定积分基本定理,熟
练掌握定积分的分部积分法和换元法。
主要内容
第一节定积分概念
第二节牛顿-莱布尼茨公式
第三节可积条件
第四节定积分的性质
第五节微积分学基本定理,定积分的计算(续)
第六节可积性理论补叙
基本要求
了解:
了解定积分可积条件。
理解:
理解定积分的概念及其基本性质。
掌握:
定积分基本定理,熟练掌握定积分的分部积分法和换元法。
第十章定积分的应用
教学目的
重点掌握定积分的几何应用,包括平面图形面积、体积、曲线弧长。
掌握定积分的
物理应用,包括力矩和重心等。
主要内容
第一节平面图形的面积
第二节由平等截面面积求体积
第三节平面曲线的弧长与曲率
第四节旋转曲面的面积
第五节定积分在物理中的某些应用
第六节定积分的近似计算
基本要求
掌握:
定积分的几何应用,包括平面图形面积、体积、曲线弧长。
掌握定积分的物理应用,包括力矩和重心等。
第十一章反常积分
教学目的
理解各种反常积分的概念,掌握反常积分的性质、敛散性的各种判别方法及计算反
常积分的方法。
主要内容
第一节反常积分概念
第二节牛顿-莱布尼茨公式无穷积分的性质与收敛判别
第三节瑕积分的性质与收敛判别
基本要求
理解:
各种反常积分的概念
掌握:
反常积分的性质、敛散性的各种判别方法及计算反常积分的方法。
第十二章数项级数
教学目的
理解无穷级数的概念及其性质,熟练掌握正项级数敛散性判别法,包括比较判别法、
柯西判别法、达朗贝尔判别法、积分判别法。
理解级数的绝对收敛和条件收敛,掌
握任意项级数的敛散性判别法,包括莱布尼兹判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判
别法,以及绝对收敛级数的性质。
主要内容
第一节级数的收敛性
第二节正项级数
第三节一般项级数
基本要求
了解:
任意项级数的阿贝尔判别法、狄利克雷判别法。
理解:
理解无穷级数的概念及其性质,级数的绝对收敛和条件收敛,绝对收敛级数的性质。
掌握:
正项级数敛散性判别法,包括比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、积分判别法。
第十三章函数列与函数项级数
教学目的
理解一致收敛的概念。
了解一致收敛的性质,掌握一致收敛的判别法,包括M-判
别法,阿贝尔判别法、狄利克雷判别法。
主要内容
第一节一致收敛性
第二节一致收敛函数列与函数项级数的性质
基本要求
了解:
一致收敛的性质。
理解:
一致收敛的概念。
掌握:
一致收敛的判别法,包括M-判别法,阿贝尔判别法、狄利克雷判别法。
第十四章幂级数
教学目的
掌握幂级数的收敛半径,柯西阿达马定理,阿贝尔定理及幂级数的性质、级数求和
法、函数的幂级数展开。
主要内容
第一节幂级数
第二节函数的幂级数展开
第三节复变量的指数函数,欧拉公式
基本要求
掌握:
掌握幂级数的收敛半径,柯西阿达马定理,阿贝尔定理及幂级数的性质、级数求和法、函数的幂级数展开。
第十五章傅里叶级数
教学目的
了解三角函数的正交性,傅里叶系数,傅里叶级数,傅里叶级数的性质,包括收敛性定理等。
掌握函数的傅里叶展开法。
主要内容
第一节傅里叶级数
第二节以
为周期的函数的展开式
第三节收敛定理的证明
基本要求
了解:
三角函数的正交性。
理解:
傅里叶系数,傅里叶级数,傅里叶级数的性质,包括收敛性定理。
掌握:
函数的傅里叶展开法。
第十六章多元函数的极限与连续
教学目的
理解平面点集、聚点原理,多元函数极限,累次极限,连续函数及知道闭区间上连
续函数的性质。
主要内容
第一节平面点集与多元函数
第二节二元函数的极限
第三节二元函数的连续
基本要求
了解:
闭区间上连续函数的性质。
理解:
理解平面点集、聚点原理,多元函数极限,累次极限。
掌握:
简单二元函数极限的计算。
第十七章多元函数微分学
教学目的
理解偏导数与全微分的定义,可微与可导及可微与连续的关系,高阶偏导数。
熟练
掌握链式法则。
掌握中值定理,方向导数,梯度,极值和泰勒公式。
主要内容
第一节可微性
第二节复合函数微分法
第三节方向导数与梯度
第四节泰勒公式与极值问题
基本要求
了解:
可微与可导及可微与连续的关系。
理解:
偏导数与全微分的定义。
掌握:
掌握链式法则。
掌握中值定理,方向导数,梯度,极值和泰勒公式。
第十八章隐函数定理及其应用
教学目的
理解隐函数的概念与存在性,反函数及雅可比行列式的性质,掌握隐函数的求导法
及条件极值。
掌握多元函数微分学的几何应用。
主要内容
第一节隐函数
第二节隐函数组
第三节几何应用
基本要求
理解:
理解隐函数的概念与存在性,反函数及雅可比行列式的性质,掌握隐函数的求导法及条件极值。
掌握:
多元函数微分学的几何应用。
第十九章含参量积分
教学目的
理解含参量积分(包括正常与反常积分)的概念与性质,一致收敛及其判别方法,
了解欧拉积分的概念与性质。
主要内容
第一节含参量正常积分
第二节含参量反常积分
第三节欧拉积分
基本要求
了解:
欧拉积分的概念与性质。
理解:
含参量积分(包括正常与反常积分)的概念与性质。
掌握:
一致收敛判别方法。
第二十章曲线积分
教学目的
理解两类曲线积分的概念与性质,掌握两类积分的计算方法。
了解两类积分之间的
关系。
主要内容
第一节第一型曲线积分
第二节第二型曲线积分
基本要求
了解:
两类积分之间的关系。
。
理解:
两类曲线积分的概念与性质。
掌握:
两类积分的计算方法。
第二十一章重积分
教学目的
理解二重积分的定义及性质,了解可积的充要条件和可积函数类,熟练掌握二重积分的计算,了解二重积分的换元法。
熟悉并掌握格林公式及其应用。
熟悉三重积分的概念及其计算。
了解三重积分的换元法。
了解重积分的应用。
主要内容
第一节二重积分概念
第二节直角坐标系下二重积分的计算
第三节格林公式,曲线积分与路线的无关性
第四节二重积分的变量变换
第五节三重积分
第六节重积分的应用
基本要求
了解:
了解二重积分可积的充要条件和可积函数类,三重积分的换元法。
了解重积分的应用。
理解:
理解理解二重积分及三重积分的定义及性质。
掌握:
二重、三重积分的计算,包括换元积分法。
掌握格林公式及其应用,曲线积分与路线的无关性。
第二十二章曲面积分
教学目的
理解两类曲面积分的概念与性质,掌握两类积分的计算方法。
了解两类积分之间的关系。
熟悉高斯公式与斯托克斯公式及其应用。
了解场论的有关概念。
主要内容
第一节第一型曲面积分
第二节第二型曲面积分
第三节高斯公式与斯托克斯公式
第四节场论初步
基本要求
了解:
两类积分之间的关系。
场论的有关概念。
理解:
两类曲面积分的概念与性质,高斯公式与斯托克斯公式及其应用。
掌握:
两类积分的计算方法
第二十三章流形上微积分学初阶(不讲)
注:
根据各课程的具体情况编写,但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。
三、课时分配及其它
(一)课时分配
课程总教学时数为282学时,安排在第一、二、三学期,每周6学时,上课18周。
具体分配如下
第一章实数集与函数12学时
第二章数列极限10学时
第三章函数极限12学时
第四章函数的连续性10学时
第五章导数和微分16学时
第六章微分中值定理及其应用18学时
第七章实数的完备性10学时
第八章不定积分16学时
第九章定积分16学时
第十章定积分的应用10学时
第十一章反常积分12学时
第十二章数项级数10学时
第十三章函数列与函数项级数12学时
第十四章幂级数10学时
第十五章傅里叶级数8学时
第十六章多元函数的极限与连续16学时
第十七章多元函数微分学16学时
第十八章隐函数定理及其应用12学时
第十九章含参量积分12学时
第二十章曲线积分12学时
第二十一章重积分20学时
第二十二章曲面积分12学时
第二十三章流形上微积分学初阶(不讲)
(二)考核要求
1.成绩评价
平时成绩(含考勤、作业与测验)占30%,期末(卷面)成绩占70%。
2.命题说明
题型应多样化,设计适当的开放性问题。
基本题(
主要考查学生对数学分析基本概念、理论与方法的一般理解)、计算题(主要考查学生对数学分析基本方法的具体、灵活应用)、证明题(主要考查学生对数学分析基本理论、基本方法的综合运用能力)各占约1/3。
难易比例控制在15%难、50%适中、35%易之间。
涉及教材章的100%,节的85%,知识点的70%左右。
试卷末设置难度系数在0.7~0.9、分值为30分的附加题,目的在于筛选基础知识扎实、探索精神强烈、创新意识浓厚的同学。
试卷采用A、B卷。
注:
写明各学期教学总时数及各周学时数。
- 配套讲稿:
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- 数学分析 深圳大学 徐希数学分析课程教学大纲 徐希 课程 教学大纲