第二节 直线和平面的投影特性.docx
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第二节直线和平面的投影特性
第二节 直线和平面的投影特性(建议3课时)
考纲要求
熟练掌握线、面的投影规律。
知识网络
知识要点
一、直线的投影(见下表)
位置
分类
一般位置直线
投影面平行线
水平线
正平线
侧平线
投影面垂直线
铅垂线
正垂线
侧垂线
位置特性
与三个投影面都倾斜
平行于一个投影面,与另两投影面倾斜
垂直于某一投影面的直线
投影特性
1.三面投影均不反映实长
2.三面投影均与投影轴倾斜
1.在所平行的投影面上的投影反映实长且与两投影轴倾斜
2.其余两面投影分别平行于相应投影轴,不反映实长
1.在所垂直的投影面上积聚为一点
2.其余两面投影平行于同一投影轴且反映实长
投影规律
1.直线的投影为直线或积聚为点
2.点在直线上,则点的三面投影必在直线的同名投影上
3.点分线段之比,投射后保持不变
二、平面的投影(见表)
位置
分类
一般位置平面
投影面垂直面
铅垂面
正垂面
侧垂面
投影面平行面
水平面
正平面
侧平面
位置特性
与三个投影面都倾斜
垂直于一个投影面,与另两面倾斜
平行于一个投影面,而垂直于其他两投影面
投影特性
1.三面投影均为类似形
2.三面投影均不反映实形
1.在所垂直的投影面上投影积聚为一直线
2.在其他两投影面上的投影均为类似形
1.在所平行的投影面上投影反映实形
2.其余两面投影积聚成直线,且平行于投影轴
典型例题
【例1】 根据下图中直线的两面投影,判别直线的空间位置。
【解题指导】 (a)图中,直线EF的正面投影平行OX轴说明zE=zF,水平投影也平行于OX轴说明yE=yF,则E、F两点的侧面投影e″、f″为一对重影,即E、F两点的侧面投影重合在一起,所以EF为侧垂线。
同理,(d)图中直线GH为铅垂线。
(b)图中,直线EF的正面投影e′f′∥OX轴,则e′f′上任一点到OX轴的距离均相等,即e′f′上任一点的z坐标都相等,所以EF上任一点到H面距离均相等,即EF∥H面。
由侧面投影及正面投影可知,EF上任两点的x、y坐标值均不相等,所以EF为水平线。
同理(c)图中直线GH为一般位置直线。
【答案】 (a)EF为侧垂线;(b)EF为水平线;(c)GH为一般位置直线;(d)GH为铅垂线
【点评】 根据直线段的两面投影判别其空间位置,首先要熟练掌握各种位置直线的投影特性,其次要分析所给投影的特性,进而判别出直线的空间位置。
如果直线的两面投影都与投影轴平行且平行于同一个投影轴,则该直线为投影面垂直线;如果直线的两面投影平行于不同投影轴,则该直线为投影面平行线。
【例2】 判断点M、N是否在平面ABC上。
【解题指导】 线是由点构成的,面也是由点构成的。
某点是否在平面上,要先看点是否处于平面内的某一确定的直线上。
粗一看N点的两面投影都在平面的一条直线的投影上,其实N点正面投影与AC边上的1点是重影点,水平投影与BC边上的2点是重影点。
对于M点连接b′m′交a′c′于e′,通过投影关系,可以看出,M点的水平面投影m也在bc上,所以M点在平面ABC上。
【答案】 M点在平面ABC上,N点不在平面ABC上。
【点评】 根据辅助线法作出其投影然后再判别。
【例3】 完成平面图形ABCDE的水平投影。
【解题指导】 平面图形ABCDE的正面投影为已知,水平投影只知道a、b、e三点,要完成ABCDE的水平投影关键是要找出C、D两点的水平投影。
由于不共线的三点可唯一确定一个平面,所以C、D两点可以看作是平面ABE上的点,求作C、D两点水平投影实际上也就是求作平面ABE上两点的水平投影。
首先连接b′e′,再连接a′c′、a′d′与b′e′分别交于1′、2′两点,在俯视图上连接be线,过1′、2′作OX轴垂直线并与be分别交于1、2两点。
连接a1线并延长与过c′的垂线交于c点,该点即为所求点C的水平投影。
同理可得D的水平投影d。
最后依次连接bc、cd、de,即得平面图形ABCDE的水平投影。
【答案】
【点评】 在前面例2的基础上,将本题求作ABCDE平面图形的水平投影看作是求作ABE面上两点C、D的投影,更易于理解。
当然,基本方法依然是辅助线法。
【例4】 完成平面图形ABCD的水平投影。
【解题指导】 要完成平面四边形ABCD的水平投影,关键是要求出点D的水平投影d。
但若采用辅助线法求解已不能求出点d,这是由于BD恰好处于特殊位置即BD为侧平线。
因而这里可采用点分线段之比投影后保持不变这一特性来求解。
作图过程如下:
连ac,过点b作竖直线交ac于点e,再过点b作一射线,并使b2=b′e′,b1=b′d′,连接e2,过1点作e2线的平行线交be延长线于点d,则得点D的水平投影d,连接ad,dc得平面图形的水平投影。
【答案】
【点评】
(1)本题另一种解法是先求出a″,b″,c″,再求出d″点,最后由d′,d″求出d点。
(2)点分线段之比投影后保持不变这一特性是直线投影的重要特性之一,在许多求作图形题中可以应用。
【例5】 根据所给轴测图及三视图,在三视图中标出各顶点的三面投影并判别各条棱线及各侧面相对于投影面的位置。
【解题指导】 该几何体是一个四棱锥,侧面SAD为正平面,侧面SAB为正垂面,侧面SDC为侧平面。
SA为正平线,SC为侧平线,SD为铅垂线,SB为一般位置直线。
在判别这些平面和直线的位置时,应先在图中找出S、A、B、C、D各点的三面投影,进而找出各侧棱及侧面的三面投影,判别出它们相对于投影面的位置。
【答案】
【点评】
(1)学习点、线、面的投影最终是为读懂三视图打好基础,在读图中要学会分析各种不同位置线、面的投影,进而正确判别它们相对投影面的位置。
这种方法实质上就是线面分析法;
(2)本题要求对线、面的投影特性很熟练地掌握,要把知识转换成读图分析的能力。
【例6】 已知平面四边形ABCD,BC为水平线,AD为正平线,求作ABCD的正面投影。
【解题指导】 四边形ABCD为平面四边形,因而AD与BC两直线间的位置关系只有两种:
平行或相交。
由于AD为正平线,BC为水平线,故此AD与BC一定相交。
在H面上延长ad、bc交于点e,延长d′a′,过e作ee′⊥OX轴交d′a′延长线于e′。
由于BC为水平线,因而b′c′∥OX轴。
过e′作OX轴平行线,分别过b、c作bb′⊥OX轴,cc′⊥OX轴,交e′c′于b′点、c′点,依次连接d′c′、c′b′、b′a′得四边形ABCD的正面投影。
【答案】
【点评】
(1)本题是一道综合性较强的题,解题的关键在于找出b′点;
(2)要将本例同前面例3、例4做一比较,从中体会求作平面图形的不同方法。
巩固训练
1.作下列直线的两面投影:
(1)水平线AB,从点A向左,向前,长30mm。
(2)正垂线CD,从点C向后,长15mm。
第1题图
2.直线AB与正平线CD相交于K点,试补全它们的三面投影。
第2题图
3.已知正垂面P与H面倾角为30°,作出V、W面投影(只求一解)。
第3题图
4.判别图几何体表面上直线、平面的位置,完成填空。
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